二元一次方程的解法

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一、二元一次方程组解法总结

1、二元一次方程组解法的基本思想

二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转

化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未

知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.

即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.

2、代入消元法

由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一

方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代

入法.

3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤

（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一

个未知数的代数式表示出来.

（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.

（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.

（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，

从而确定方程组的解.

4、加减消元法

两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相

加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，

简称加减法.

5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个

未知数的系数互为相反数或相等；

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（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方

程；

（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出

另一个未知数的值；

（5）把求出的未知数的值写成的形式.

6、二元一次方程组解的情况

若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），

则

（1）当时，这个方程组只有唯一解；

（2）当时，这个方程组无解；

（3）当时，这个方程组有无穷多个解.

二、重难点知识归纳

二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学

问题．

三、典型例题讲解

例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）

①②③

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④mn＋m=7⑤x＋y=6

A．1个B．2个C．3个D．4个

（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k

的值为（）

A．2B．－2C．±2D．以上都不对

分析：

一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：

①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．

解答：

（1）∵方程①③不是整式方程，

∴它们不是二元一次方程．

∵mn的次数为2，

∴方程④不是二元一次方程．

∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．

故此题应选择B．

（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，

∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，

解得k=±2且k≠2且k≠－1．

∴k=－2．

例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．

由于方程的解必使方程左右两边的值相等，

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所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．

解答：

∵是方程3x－ay=0的一个解，

∴3×3－a·2=0，

例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得

求a、b、c的值．

将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，

但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？

方程组的解应满足每一个方程，因此正确解

满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，

那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．

解答：

都是方程①的解．

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又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．

故a、b、c的值分别为

例4、解下列方程组.

（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.

（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消

去哪个未知数.

解：

（1）将①化简得：3y=4x＋5③

把③代入②得：2x－(4x＋5)=1

解得x=－3

将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5

∴

∴原方程组的解为.

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（2）原方程组整理为

由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.

将b=2代入③，得a=2.

∴原方程组的解为.

例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b的值.

题设的已知条件是两个方程组有相同的解。按常规思路是分别求出这两个方程组的

解，再根据其解相同，得到关于a、b的方程组从而求出问题的解，显然这两个方程不

易求解，须另辟思路，根据方程组的解相同，利用解的定义可知，这一组解既满足第一

个方程组，又满足第二个方程组，因此该组解必须满足第一个方程组中的第一个方程2x

＋3y=7，又满足第二个方程组的第二个方程4x－5y=3。所以两方程组的相同解即为方程

组的解.

例7、已知，

求（1）x︰z的值；（2）x︰y︰z的值；（3）的值.

把未知数z看做是常数，则把方程组看做是关于x，y的二元一次方程组，解这个方程

组，即可把x，y用z的代数式表示出来.

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解：

由①－②，得3x－2z=0，

例9、市府超市某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料

一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？

问题中包含两个条件：罐头价格－饮料价格=1元，3听罐头的金额＋两听饮料的金额=16

元.

设罐头的单价为x元，饮料的单价为y元，根据两个条件，得

由①得x=y＋1③

把③代入②得3(y＋1)＋2y=16

解这个方程，得y=2.6

把y=2.6代入③得x=3.6

这个方程的解是：x=3.6y=2.6