编者的话作文

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之

第四单元正比例和反比例部分（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材

知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例

题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用

两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点

在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第四单元正比例和反比例部分。本部分内容主要以正

比例和反比例的认识、判断及图表应用为主，而利用正比例和反比

例解决生活实际问题则编辑在《比例的应用部分》中。本部分内容

偏理解，建议根据学生情况选择性进行讲解，一共划分为九个考

点，欢迎使用。

【考点一】认识正比例。

【方法点拨】

一、正比例的意义

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应

的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例

关系，用字母表示为

k

x

y



(一定）

二、判断两种量是否成正比例关系的方法

先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两

个数的比值是否一定），最后作出判断。

三、正比例关系图象的特点

正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观

地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另

一种量的值。

【典型例题】

科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。

（1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。

解析：竹竿的高增加1m，竿影的长随之增加0.4m。

（2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现?

解析：竿影的长/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么变化，竿影的长和竹竿的高

的比值是不变的。

（（3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。

解析：竹竿的高与竿影的长成正比例，因为它们的比值一定。

【对应练习1】

乘船的人数与所付船费如下表。

（1）表格中的（）和（）是两种相关联的量，船费随着

（）的变化而变化；

（2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是（），这个比值实际上

表示（）；

（3）因为每人的（）一定，所以（）和（）成（）

比例关系。

解析：

（1）人数；船费；人数；(2)5；每人付的船费；（3）船费；船费；人数；正

【对应练习2】

乘船的人数与所付的船费为：

（1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化?

（2）乘船船费与人数有什么关系?

解析：

（1）每张船票的价钱没有变化；

（2）正比例关系

【对应练习3】

观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表：

运货时间

（时）

123456…

运货吨数

（吨）

51015202530…

（1）表中变化的量有()和()。

（2）()扩大，()也随着扩大。

（3）3小时运货()吨，运30吨需要()小时。

（4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于()，所

以表中的两种量成()比例。

解析：（1）运货时间；运货吨数；（2）运货时间；运货吨数；（3）15；6；

（4）5；正

【考点二】认识反比例。

【方法点拨】

一、反比例的意义

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应

的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例

关系，用字母表示为xy=k（一定）。

二、判断两种量是否成反比例关系的方法

先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个

数的乘积是否一定），最后作出判断。

【典型例题】

小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。

（1）表中（）和（）是两种相关联的量。

（2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是（），这个积表示的

是（）。

（3）由此可知∶（）一定时，（）和（）成（）比

例关系。

解析：

（1）每天看的页数；所用的天数；(2)200；这本书的总页数；（3）总页数；

每天看的页数；所用的天数；反

【对应练习1】

某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。

（1）表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?

（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这

个积表示什么?

（3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么?

解析：

（1）有每天生产的个数和需要的天数两种量；是相关联的量；

（2）200×30=300×20=400×15=500×12=6000；积6000表示零件总个数；

（3）成反比例关系；因为每天生产的个数和需要的天数的乘积一定。

【对应练习2】

运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表：

每天运的吨数350

需要的天数123456

（1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。

（2）说明这个积表示什么？

（3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？

解析：

（1）因为积都是300，所以积相等；

（2）这批货物的总吨数；

（3）反比例关系．因为表中相对应的两个数的乘积一定。

【对应练习3】

生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。

工作效率（个/时）…

工作时间/时234…

（1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？

（2）相对应的两个数的乘积各是多少？

（3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间

之间的关系吗？

（4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？

解析：

生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。

工作效率（个/时）…

工作时间/时23456…

（1）工作时间是随着工作效率的变化而变化的；

（2）相对应的两个数的乘积是240；

（3）这个乘积的实际意义是生产240个零件，工作效率×工作时间＝工作总

量；

（4）工作效率和工作时间成反比例。因为工作效率和工作时间是两个相关联的

两个量，并且工作时间随着工作效率的变化而变化，工作效率×工作时间＝工

作总量（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。

【考点三】利用“商正积反”直接判断比例关系。

【方法点拨】

判断正比例和反比例关系主要有三点：

1.是否为相关联的量；

2.是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方

向相同，反比例关系两种量的变化方向相反；

3.比值或乘加是否一定（“商正积反”）：

①若两个变量的比值一定，则成正比例；

②若两个变量的乘积一定，则成反比例。

补充：

正比例关系和反比例关系的异同点：

【典型例题1】

下面各题中的两个量，哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例也不成

反比例?

（1）等边三角形的周长与边长。

（2）妙想从家步行到学校的平均速度与所花的时间。

（3）每年体检，你们班视力正常的人数与近视的人数。

解析：（1）正比例；（2）反比例；（3）既不成正比例，也不成反比例。

【典型例题2】

关于圆，下列说法（）是错误的。

A.圆的周长与直径成正比例

B.圆的周长与半径成正比例

C.圆的面积与半径成正比例

D.圆的周长与面积不成正比例

解析：C

【对应练习1】

判断下列各题中的两种量是否成比例，成什么比例。

（1）全班的学生人数一定，每组的人数和组数。()

（2）圆柱的体积一定，底面积和高。()

（3）在平地上，同一时间的竿长和竿影长。()

解析：反比例反比例正比例

【对应练习2】

下面各题中两种量是否成比例，如果成比例成什么比例，填一

填。

（1）苹果的单价一定，购买苹果的总量和总价（）比

例。

（2）长方形的周长是20厘米，它的长和宽（）比例。

（3）圆锥体的体积一定，它的底面积和高（）比例。

解析：正不成反

【对应练习3】

判断下面各题中的两种量是否成比例关系？如果成比例，成什么比例关系？

（1）圆锥的体积一定，圆锥的底面积与高。()

（2）《作文辅导报》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。()

（3）全班人数一定，男生人数与女生人数。()

（4）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量。()

解析：反比例正比例不成比例反比例

【考点四】正比例和反比例的简单应用。

【方法点拨】

此类题型已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例

的数量关系进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积

一定。

【典型例题1】

已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。

解析：

3

4

；9.6；

15

1

；24；5

【典型例题2】

下表中x和y两个量成反比例关系，请把表格填写完整。

解析：2；10；

2

1

；3；54

【对应练习1】

下表中，如果x与y成正比例，那么？处表示的数是()；如果x与y成反

比例，那么？处表示的数是()。

x48

y6？

解析：123

【对应练习2】

如下图，当表格中的两个量A、B成反比例时，则C的值是()。

A3C

B69

解析：2

【对应练习3】

在下表的空格中填上合适的数。

（1）x与y成正比例关系。

x2()8

y2.46()

（2）x与y成反比例关系。

x0.1

1

5

()

y100()

2

3

解析：59.61550

【考点五】正比例和反比例的综合应用。

【方法点拨】

正比例和反比例的综合应用，一是判断比例关系，二是利用比例关系求值。

【典型例题】

一个工程队修路的时间与修路的米数的情况如下表。

（1）将上面的表格填写完整。

（2）工程队修路的时间和修路的米数成正比例关系吗?为什么?

（3）如果修8天，可以修路多少米?

解析：

（1）180；240；300

（2）成正比例关系，因为修路的米数与时间的比值一定，为60；

（3）480m。

【对应练习1】

给一间房子铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的数量如下：

（1）每块地砖的面积和所需地砖数量有什么关系?

（2）若每块地砖的面积是0.5平方米，需要多少块地砖?

解析：（1）成反比例；（2）120块。

【对应练习2】

用同等规格的方砖铺地。

地面面积（m2）13()15

方砖（块）41224()

①把表格填完整。

②表中相对应的两个数可以求出()。

③因为()一定，所以表中()和()成

()比例。

解析：

①

地面面

积（m2）

13（6）15

方砖

（块）

41224（60）

②表中相对应的两个数可以求出（每平方米需要方砖的块

数）。

③因为（每平方米需要方砖的块数）一定，所以表中

（方砖块数）和（地面面积）成

（正）比例。

【对应练习3】

新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升。某工厂接到任务，紧急生产一批口

罩，下面是每小时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。

每小时生产口

罩的数量/万只

3468

时间/时48362418

（1）这项任务一共需要生产（）万只口罩。

（2）如果用a表示每小时生产口罩的数量（单位：万只），t表示完成任务需

要的时间，那么a和t成（）比例关系，这两种量的关系式是

（）。

（3）如果每小时生产9万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少小时？

解析：

（1）144

（2）反；144at

（3）16小时

【考点六】根据乘积式或分数式，判断比例关系。

【方法点拨】

已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例

关系。

【典型例题1】

若

3

1

A=5B（A、B均为大于0的自然数），则A和B成（）比例。

解析：由题意，A:B=15，所以A和B成正比例。

【典型例题2】

已知

a

b

＝c（a、b、c都不为零）。

当a一定时，b与c成_____比例。

当b一定时，a与c成_____比例。

当c一定时，a与b成_____比例。

解析：反正正

【对应练习1】

如果4a＝3b，那么a∶b＝（）∶（），a和b成（）比

例。

解析：3；4；正

【对应练习2】

已知5x＝4y（x、y均不为0），x：y＝()∶()，x和y成

()比例。

解析：4；5；正

【对应练习3】

如果

8

x

y（x、y均不为0），那么x与y成()比例关系；如果

8

y

x



（x、y均不为0），那么x与y成()比例关系。

解析：正反

【对应练习4】

在A×B＝C中，当B一定时，A和C成()比例，当C一定时，A和B成

()比例。

解析：正；反

【对应练习5】

如果y＝

7

x

，那么x和y成()比例关系；如果y＝

2

x

，那么x和y成

()比例关系。

解析：正；反

【考点七】图表中的正比例。

【方法点拨】

正比例关系图象的特点：

正比例关系的图象是一条从（0.0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直

观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的

另一种量的值。

【典型例题】

下图表示某工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所

用时间成（）比例，照这样计算，修筑650米公路需要（）小时。

解析：（1）正；（2）6.5

【对应练习1】

如图表示的是某种汽车所行路程和耗油量关系的图象，根据图象回答下面问

题。

（1）汽车耗油量与所行路程成（）比例关系；

（2）汽车行驶60km的耗油量是（）L。

解析：（1）正；（2）8

【对应练习2】

一根弹簧挂上物体（质量不超过20千克）后长度会伸长，下图表示一个物体的

质量和弹簧伸长的长度之间的关系。

（1）物体的质量与弹簧伸长的长度成（）比例。

（2）如果挂上7干克的物体，那么弹簧应伸长多少厘米?

（3）要使弹簧伸长4.5厘米，应挂上多少干克的物体?

解析：

（1）正；

（2）7÷2×0.5=1.75（厘米）；

（3）4.5÷（0.5÷2）=18（干克）。

【对应练习3】

电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下

图并回答后面的问题。

（1）校园卡每分钟话费是多少?

（2）通话1小时需要话费多少?

（3）淘气和国外表哥通话花费16.5元，他俩通话了多长时间?

解析：

（1）0.3元；（2）18元；（3）55分钟

【考点八】图表中的反比例。

【方法点拨】

反比例关系图像的特点：

从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可

以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。

【典型例题】

把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高

度关系的图象如图所示：

（1）底面积和水面高度成（）比例关系。

（2）底面积是10cm²的杯子中，水面的高度是（）cm，底面积是30cm²

的杯子中，水面的高度是（）cm。

（3）估计一下，底面积是40cm²的杯子中，水面的高度是（）cm。

解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5

【对应练习1】

小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的

关系。

（1）图中的一条曲线，反映了（）和（）成（）比例；

（2）由图象判断，整本书有（）页，如果20天读完，每天要读

（）页；如果每天读5页，需要读（）天。

解析：（1）读书的天数；每天读书的页数；反；（2）80；40；6

【对应练习2】

下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。

（1）在这个过程中，哪种量没有变？

（2）速度和所对应的时间成什么比例关系？

（3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多

少小时？

解析：

（1）路程；

（2）反比例；

（3）2.5小时

【对应练习3】

小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。

把图像所表示的数据填在下面的表内。

时间/时

速度（千米/

时）

回答下面问题：

（1）在这一过程中，哪个量没有变？

（2）速度和时间有什么关系？

（3）不计算，从图中观察，如果每小时行40千米，大约用多少小时？

解析：

填表如下：

时间/时1251020

速度（千米/

时）

1005020105

（1）路程没有变；

（2）成反比例关系；

（3）2.5小时

【考点九】正比例和反比例在图表中的综合应用（绘图）。

【方法点拨】

正比例、反比例实际应用的解题步骤：

1.结合图像观察来确定是正比例还是反比例。

2.若是正比例则利用两个量商一定的关系求解；若是反比例就利用两个量积一

定的关系求解。

【典型例题】

小宇和小奇参加自行车比赛。

（1）如果他们都是匀速行驶，请将下表补充完整。

（2）根据表中的数据，在右图中找出小宇和小奇行驶的时间和路程的对应点，

再把这些点按顺序连起来。

（3）他们所用的时间和对应的路程成什么比例关系?为什么?

解析：

（1）若是匀速行驶，小宇1小时行驶15km，2小时行驶30km，则3小时行驶

45km，4小时行驶60km，5小时行驶75km。

若是匀速行驶，小奇1小时行驶20km，2小时行驶40km，则3小时行驶60km，

4小时行驶80km，5小时行驶100km。

（2）

（3）正比例，因为他们的速度一定，所用的时间越多，行驶的路程越长。

【对应练习1】

下图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量的关系。

（1）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成（）比例关系。

（2）根据图像判断，行驶75干米耗油（）升。

（3）如果汽车在市区行驶，每行驶50干米耗油6升，照这样计算，在图中描

出行驶50干米、100千米......路程和耗油量对应的点，再按顺序连接起来，

画出其图像。

解析：

（1）正；

（2）6；

（3）

【对应练习2】

磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。

时间/分012345…

路程/千

米

…

（1）上表中路程与时间成（）关系。

（2）图中的A点表示1分钟时列车行驶了7千米。请描出其他各点。顺次连接

各点，你发现了什么？

解析：

（1）路程与时间有正比例关系。

（2）根据下表在图中描点，连接各点，发现了正比例关系图象是一条过原点的

直线。

【对应练习3】

购买一种坚果的质量与应付金额如下表。

质量/千克012345…

应付金额/

元

00…

（1）应付金额和质量是不是成正比例？说明理由。

（2）在下图中描出应付金额与质量对应的点，然后将它们连起来。

（3）30元最多可以买多少千克这种坚果？

解析：

（1）成正比例关系。因为40∶1＝80∶2＝120∶3＝160∶4＝200∶5＝40，应

付金额与坚果的质量比值一定，所以它们成正比例关系；

（2）根据表中数据描点，然后顺次连接起来：

（3）解：设30元最多可以买x千克这种坚果，

3040

=

x1

40x＝30

x＝0.75

答：30元最多可以买0.75千克这种坚果。

【对应练习4】

甲、乙两台机器的工作时间和耗电量如表．

时间/时123456

甲机器耗电量/千瓦时380

乙机器耗电量/千瓦时3200

根据表中的数据，在下图中描出每一组工作时间与耗电量所对应的点，再把它

们按顺序连接起来．

（1）根据画出的图象，（）机器的工作时间和耗电量成正比例。

（2）根据画出的图象，工作2.5小时，甲机器的耗电量大约是（）千瓦

时，乙机器的耗电量大约是（）千瓦时。

解析：

画图如下：

（1）甲；（2）75；82.5。