高等数学试题及答案

1

2006~2007-2高等数学A

2

试题A卷

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．函数

),(yxf

在点),(yx可微分是

),(yxf

在该点连续的条件.

2．半径为a的均匀半圆薄片（面密度为）对其直径边的转动惯量为.

3．L为圆周222ayx，则



L

ndsyx22=.

4．函数

0,

0,

)(

















xx

xx

xf的傅里叶级数展开式为

























xn

n

xxxxf12cos

12

1

5cos

5

1

3cos

3

1

cos

4

2

)(

222



)(x，则级数







22212

1

5

1

3

1

1

n

的和等于.

5．方程0ln



yyyx的通解是.

二、选择题（每小题3分，共15分）

6．函数22,yxyxyxf在点)1,1(P处沿方向















4

1

,

4

1

l



的方向导数（）。

(A)最大;(B)最小;(C)1;(D)0.

7．设区域

D

是由0,42yxy围成，则



D

dxdyyaxI)(

（）。

(A)

0I

;(B)

0I

;(C)

0I

;(D)

I

的符号与a有关.

8．下列各式中正确的是（）

(A)0

22







Lyx

ydxxdy

，其中1:22yxL，沿逆时针方向；

(B)



















dSRQPdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP

5

32

5

2

5

3

),,(),,(),,(；

其中是平面63223zyx在第一卦限的部分的上侧。

(C)

















































































dz

y

P

x

Q

dy

x

R

z

P

dx

z

Q

y

R

RdxdyQdzdxPdydz

其中是的边界曲线，且的方向与侧符合右手法则；

(D)向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA



),,(),,(),,(),,(的散度

k

y

P

x

Q

j

x

R

z

P

i

z

Q

y

R

Adiv























































































.

2

9．级数







1

2

)1(

n

n

n

nb

为（）。

(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)收敛性与b的取值有关；(D)发散.

10．设线性无关的函数

321

,,yyy都是方程微分方程)()()(xfyxqyxpy







的解，

21

,CC为任意常数，则该方程的通解是（）。

(A)

32211

yyCyC；(B)

3212211

yCCyCyC；

(C)

3212211

1yCCyCyC；

(D)

3212211

1yCCyCyC.

三、计算题（共70分）

11．（7分）求函数223333yxyxz的最小值.

12．（7分）xyzxfz,,其中f具有二阶连续偏导数求:

yx

z



2

。

13．（7分）计算积分



1

3

1

021x

dy

y

xy

dxI。

14．（7分）计算积分计算积分









31zyx

dxdydz

I，其中



是由平面1zyx及

三个坐标面围成的四面体。

15．（7分）计算曲线积分：







Lyx

bydxaxdy

I，其中2:yxL沿逆时针方向。

16．（7分）计算曲面积分



zdxdydydzx2，其中



为抛物面22yxz介于

0z

和

1z

之间的下侧。

17．（7分）求幂级数

1

2

n

n

n

x

n

的收敛域。

3

18．（7分）将函数

34

1

)(

2



xx

xf展开成)1(x的幂级数，并求)1()(nf。

19．（7分）求微分方程0)1(2







yxyx满足初始条件1)0(,0)0(



yy的特解。

20.（7分）设)(xf具有二阶连续导数，且1)0(,0)0(



ff，已知

0)()()(2



dyyxxfdxyxfyxxy

为全微分方程，求)(xf及此全微分方程之通解。

4

高等数学A2试题A卷参考答案及评分标准

一.填空题（每小题3分共15分）

1.充分2.4

8

a



3.122na4.

8

2



二.选择题（每小题3分共15分）

6.（A）7.（C）8.（B）9.（B）10.(D)

三.计算题（每小题7分共70分）

11．（7分）求函数223333yxyxz的最小值.

解：由















063

063

2

2

yyz

xxz

y

x分1

得驻点：0,0，2,0，0,2，2,2分2

66xz

xx

，0

xy

z，66yz

yy

分3

在驻点0,0处：

06A

，

0B

，

6C

且0362ACB，故0,0是极大点，

其极大值00,0z分4

在驻点2,0处：

6A

，

0B

，

6C

且0362ACB，故2,0不是极值点，分5

在驻点0,2处：

6A

，

0B

，

6C

且0362ACB，故0,2不是极值点，分6

在驻点2,2处：

06A

，

0B

，

6C

且0362ACB，故2,2为极小点，

其极小值02,2z分7

12．（7分）xyzxfz,,其中f具有二阶连续偏导数求:

yx

z



2

。

解：

yzff

x

z















21

分3

222

2

12

2

fzfxyzfxz

yx

z















分7

13．（7分）计算二次积分



1

3

1

021x

dy

y

xy

dxI。

5

解：



1

3

1

021x

dy

y

xy

dxI



ydx

y

xy

dy

0

3

1

01

分3





1

0

3

2

1

2

1

dy

y

y分5

12

3

1

分7

14．（7分）计算积分











31zyx

dxdydz

I，其中



是由平面1zyx及三个坐标面

围成的四面体。

解：

I







1

0

1

0

1

0

31

xyx

zyx

dz

dydx(3分)





















1

0

1

0

28

1

12

1xdy

yx

dx(5分)





















1

04

1

1

8

1

12

1

dxx

x

(6分)















8

5

2ln

2

1

(7分)

15．（7分）计算曲线积分：







Lyx

bydxaxdy

I，其中2:yxL沿逆时针方向。

解：方法一

4321

LLLLL

badxbxbax

bydxaxdy

yx

bydxaxdy

xyLxyL















0

22:2:

2

2

1

2

11

，分3

badxbxbax

bydxaxdy

yx

bydxaxdy

xyLxyL















2

02:2:

2

2

1

2

22

分4

badxbxbax

bydxaxdy

yx

bydxaxdy

xyLxyL















0

22:2:

2

2

1

2

33

分5

badxbxbax

bydxaxdy

yx

bydxaxdy

xyLxyL















2

02:2:

2

2

1

2

44

分6

ba

yx

bydxaxdy

I

L







4分7

6

方法二









LL

bydxaxdy

yx

bydxaxdy

I

2

1

(3分)









2

2

1

yx

dxdyba(6分)

ba4(7分)

16．（7分）计算曲面积分



zdxdydydzx2，其中为抛物面22yxz介于

0z

和

1z

之间的下侧。

解：添加辅助面1,1:22

1

yxz，取其上侧，分1



dxdydzxdxdydz

z

z

yx

x

zdxdydydzx

































12

0

1

2

2分3

drrrrddzrrdrd

r



1

0

2

2

0

1

0

12

0

11cos21cos2

2





(4分)

24

1

cos

15

42

0





















d分5





2

2



zdxdydydzx





上

1

2zdxdydydzx

2





上

1

zdxdy



XY

D

dxdy

2

分6

22







分7

17．（7分）求幂级数

1

2

n

n

n

x

n

的收敛域。

解：

2

1

1

2

/

2

lim

1









nn

R

nn

n

分2

当

2

1

x时，

nn

n

nn

n

n1

1

2

12

11























，收敛分4

当

2

1

x时，





















11

1

2

12

nn

n

n

nn

，发散分6

7

故幂级数

1

2

n

n

n

x

n

的收敛域为













2

1

,

2

1分7

18．（7分）将函数

34

1

)(

2



xx

xf展开成)1(x的幂级数，并求)1()(nf。

解：

4

1

1

1

8

1

2

1

1

1

4

1

3

1

2

1

1

1

2

1

34

1

)(

2























xx

xx

xx

xf分2















0

2

1

1

2

1

1

1

n

n

n

n

x

x

，

31x

；（3分）















0

4

1

1

4

1

1

1

n

n

n

n

x

x

，

53x分4

n

nn

n

nn

nn

n

nxxxf1

2

1

1

2

1

11

42

1

2

1

1

12

1

12

0













































，31x

分6

















12

)(

2

1

1

2

!

1)1(

nn

n

n

n

f分7

19．（7分）求微分方程0)1(2







yxyx满足初始条件1)0(,0)0(



yy的特解。

解：令pypy











,，则0)1(2



xppx，分2

由

21x

xdx

p

dp



得：

1

21ln

2

1

lnCxp，分4

即

1

21ln

2

1

lnCxy



，由1)0(



y得：0

1

C分5

21

1

x

y







，

2

arcsinCxy，由0)0(y得：0

2

C分6

故所求方程满足初始条件的特解为：xyarcsin分7

20.（7分）设)(xf具有二阶连续导数，且1)0(,0)0(



ff，已知

0)()()(2



dyyxxfdxyxfyxxy

为全微分方程，求)(xf及此全微分方程之通解。

8

解：由题意yxxf

x

yxfyxxy

y

2













得:

2xxfxf

分1

通解为：2sincos2

21

xxCxCxf，分3

把1)0(,0)0(



ff代入上式得：1,2

21

CC

故2sincos22xxxxf分4

所以原方程为：

02cossin22sincos2)(22dyyxxxxdxyxxxyxxy

即

0sin2cossincos22222dyxxydxxxxdyydxydyxdxxy分5

其通解为：Cxy

yx

xyxy2

2

cossin2

22分7