一元二次方程练习题及答案

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一元二次方程根与系数的关系

一、选择题

1.（2011•南通）若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（）

A、﹣2B、2C、﹣5D、5

分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．

解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B．

点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．

2.（2011南昌，9，3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.1B.2C.﹣2D.﹣1

分析：根据根与系数的关系得出x

1

x

2

=

a

c

=﹣2，即可得出另一根的值．

解答：解：∵x=1是方程x

2+bx﹣2=0的一个根，∴x

1

x

2

==﹣2，∴1×x

2

=﹣2，则方程的

另一个根是：﹣2，故选C．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题

的关键．

3.（2011湖北荆州，9，3分）关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的

实根x

1

、x

2

，且有x

1

－x

1

x

2

+x

2

=1－a，则a的值是（）

A、1B、－1C、1或－1D、2

分析：根据根与系数的关系得出x

1

+x

2

=－ba，x

1

x

2

=ca，整理原式即可得出关于a的方程求

出即可．

解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a（a+1）＞0，

即a2－2a+1＞0，（a－1）2＞0，a≠1，

∵关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x

1

、x

2

，且有x

1

－x

1

x

2

+x

2

=1

－a，

∴x

1

－x

1

x

2

+x

2

=1－a，

∴x

1

+x

2

－x

1

x

2

=1－a，

∴3a+1a－2a+2a=1－a，

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解得：a=±1，又a≠1，

∴a=－1．

故选：B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x

1

－x

1

x

2

+x

2

=1－a，得出x

1

+x

2

－x

1

x

2

=1－a是解

决问题的关键．

4.（2011湖北咸宁，6，3分）若关于x的方程x2

﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为

（）

A、﹣3B、﹣1C、1D、3

分析：设方程另一个根为x

1

，根据一元二次方程根与系数的关系得到x

1

+（﹣1）=2，

解此方程即可．

解答：解：设方程另一个根为x

1

，

∴x

1

+（﹣1）=2，

解得x

1

=3．

故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别

为x

1

，x

2

，则x

1

+x

2

=﹣，x

1

•x

2

=．

5.（2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2

﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）

A、1B、﹣1

C、2D、﹣2

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x

1

•x

2

=来求方程的另一个根．

解答：解：设x

1

、x

2

是关于x的一元二次方程x2

﹣mx﹣2=0的两个根，

∴由韦达定理，得x

1

•x

2

=﹣2，即﹣x

2

=﹣2，

解得，x

2

=2．

即方程的另一个根是2．

故选C．

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点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x

1

+x

2

=﹣、x

1

•x

2

=时，

要注意等式中的a、b、c所表示的含义．

6.（2011年四川省绵阳市，12，3分）若x

1

，x

2

（x

1

＜x

2

）是方程（x－a）（x－b）=1（a

＜b）的两个根，则实数x

1

，x

2

，a，b的大小关系为（）

A、x

1

＜x

2

＜a＜bB、x

1

＜a＜x

2

＜bC、x

1

＜a＜b＜x

2

D、a＜x

1

＜b＜x

2

．

分析：因为x

1

和x

2

为方程的两根，所以满足方程（x－a）（x－b）=1，再有已知条件x

1

＜

x

2

、a＜b可得到x

1

，x

2

，a，b的大小关系．

解答：解：∵x

1

和x

2

为方程的两根，

∴（x

1

－a）（x

1

－b）=1且（x

2

－a）（x

2

－b）=1，

∴（x

1

－a）和（x

1

－b）同号且（x

2

－a）和（x

2

－b）同号；

∵x

1

＜x

2

，

∴（x

1

－a）和（x

1

－b）同为负号而（x

2

－a）和（x

2

－b）同为正号，可得：x

1

－a＜0且x

1

－b＜0，x

1

＜a且x

1

＜b，

∴x

1

＜a，∴x

2

－a＞0且x

2

－b＞0，

∴x

2

＞a且x

2

＞b，

∴x

2

＞b，

∴综上可知a，b，x

1

，x

2

的大小关系为：x

1

＜a＜b＜x

2

．

故选C．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x

1

和x

2

为方程的两根则代入一定满足方程，

对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．

7（2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是

（）

A.1B.2C.－2D.－1

分析：根据根与系数的关系得出x

1

x

2

=－2，即可得出另一根的值．

解答：解：∵x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，

∴x

1

x

2

=－2，

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∴1×x

2

=－2，

则方程的另一个根是：－2，

故选C．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题

的关键．

8.（2011湖北武汉，5，3分）若x

1

，x

2

是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x

1

•x

2

的值

是（）

A．4B．3C．﹣4D．﹣3

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x

1

•x

2

=

c

a

解答并作出选择．

解答：解：∵一元二次方程x

2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，

∴x

1

•x

2

=

c

a

=3．

故选B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关

系x

1

•x

2

=

c

a

中的a与c的意义．

二、填空题

1.（2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则

代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于____．

考点：根与系数的关系．

专题：计算题．

分析：欲求（a－b）（a+b－2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，

代入数值计算即可．

解答：解：∵a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，

∴ab=－1，a+b=2，∴（a－b）（a+b－2）+ab=（a－b）（2－2）+ab=0+ab=－1，

故答案为：－1．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种

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经常使用的解题方法．

2.（2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=

1，另一个根是﹣3．

分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x

2+mx﹣6=0，然后解关于m

的一元一次方程；再根据根与系数的关系x

1

+x

2

=﹣

b

a

解出方程的另一个根．

解答：解：根据题意，得

4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，

解得，m=1；

由韦达定理，知

x

1

+x

2

=﹣m；

∴2+x

2

=﹣1，

解得，x

2

=﹣3．

故答案是：1．﹣3．

点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x

1

+x

2

=

﹣

b

a

．x

1

•x

2

=

c

a

来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．

3.（2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接

正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是如：x

2

﹣

5

x+1=0．

分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，

则可求得AC•BC=DC

2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系

数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．

解答：解：连接AD，BD，OD，

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∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵四边形DCFE是正方形，

∴DC⊥AB，

∴∠ACD=∠DCB=90°，

∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，

∴∠A=∠CDB，

∴△ACD∽△DCB，

∴

BC

DC

DC

AC

，

又∵正方形CDEF的边长为1，

∵AC•BC=DC

2=1，

∵AC+BC=AB，

在Rt△OCD中，OC

2+CD2=OD2

，

∴OD=

2

5

，

∴AC+BC=AB=

5

，

以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x

2

﹣

5

x+1=0．

故答案为：此题答案不唯一，如：x

2

﹣

5

x+1=0．

点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于

开放题，注意数形结合与方程思想的应用．

4.（2011•德州，14，4分）若x

1

，x

2

是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x

1

2+x

2

2=．

分析：先根据根与系数的关系求出x

1

+x

2

和x

1

•x

2

的值，再利用完全平方公式对所求代数式

变形，然后把x

1

+x

2

和x

1

•x

2

的值整体代入计算即可．

解答：解：∵x

1

，x

2

是方程x2+x﹣1=0的两个根，

∴x

1

+x

2

=﹣

b

a

=﹣1，x

1

•x

2

=

c

a

=﹣1，

∴x

1

2+x

2

2=（x

1

+x

2

）2﹣2x

1

•x

2

=（﹣1）2

﹣2×（﹣1）=1+2=3．

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故答案是：3．

点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x

1

+x

2

和x

1

•x

2

的

值．

5.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2

﹣3y+1=0的两个实数根分别为y

1

、y

2

，

则（y

1

﹣1）（y

2

﹣1）的值为﹣1．

分析：先根据一元二次方程y

2

﹣3y+1=0的两个实数根分别为y

1

、y

2

，求出y

1

+y

2

及y

1

•y

2

的

值，再代入（y

1

﹣1）（y

2

﹣1）进行计算即可．

解答：解：∵一元二次方程y

2

﹣3y+1=0的两个实数根分别为y

1

．y

2

，

∴y

1

+y

2

=3，y

1

•y

2

=1，

∴（y

1

﹣1）（y

2

﹣1），

=y

1

y

2

﹣y

1

﹣y

2

+1，

=y

1

y

2

﹣（y

1

+y

2

）+1，

=1﹣3+1，

=﹣1．

故答案为：﹣1．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x

1

，x

2

是一元二次方

程ax

2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x

1

+x

2

=﹣

a

b

，x

1

x

2

=

a

c

．

6.（2011四川泸州，16，3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方

和等于11，则k的值为．

分析：由题意设方程x2+（2k+1）x+k2－2=0两根为x

1

，x

2

，得x

1

+x

2

=－（2k+1），x

1

•x

2

=k2

－2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．

解答：解：设方程方程x2+（2k+1）x+k2－2=0设其两根为x

1

，x

2

，得x

1

+x

2

=－（2k+1），

x

1

•x

2

=k2－2，

△=（2k+1）2－4×（k2－2）=4k+9＞0，∴k＞－

4

9

，

∵x

1

2+x

2

2=11，∴（x

1

+x

2

）2－2x

1

•x

2

=11，∴（2k+1）2－2（k2－2）=11，

解得k=1或－3；∵k＞－

4

9

，故答案为k=1．

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点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根

的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

7.（2011四川遂宁，12，4分）若x

1

、x

2

是方程x2

﹣2x﹣5=0的两根，则x

1

2+x

1

x

2

+x

2

2=．

分析：由于方程x

2

﹣2x﹣5=0的两个实数根为x

1

，x

2

，所以直接利用根与系数的关系即可得

到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x

1

2+x

1

x

2

+x

2

2

的值．

解答：解：∵x

1

、x

2

是方程x2

﹣2x﹣5=0的两根，∴x

1

+x

2

=2，x

1

•x

2

=﹣5，x

1

2+x

1

x

2

+x

2

2=

（x

1

+x

2

）2

﹣x

1

x

2

=4+5=9．故答案为9．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种

经常使用的解题方法．

8.（2011四川省宜宾市，12，3分）已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，

则

1

a

+

1

b

的值是

分析：根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=－5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，

求出代数式的值．

答案：解：∵a，b是一元二次方程的两根，

∴a+b=6，ab=－5，

+===－．

故答案是：－．解：∵a，b是一元二次方程的两根，

∴a+b=6，ab=－5，

+===－．

故答案是：－．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．

9.（2011杭州，15，4分）已知分式

2

-3

-5+

x

xxa

，当x=2时，分式无意义，则a=；当a

＜6时，使分式无意义的x的值共有个．

分析：根据分式无意义的条件：分母等于零求解．

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解答：解：由题意，知当x=2时，分式无意义，

∴分母=x2－5x+a=22－5×2+a=－6+a=0，

∴a=6；

当x2－5x+a=0时，△=52－4a=25－4a，

∵a＜6，

∴△＞0，

∴方程x2－5x+a=0有两个不相等的实数根，

即x有两个不同的值使分式

2

-3

-5+

x

xxa

无意义．

故当a＜6时，使分式无意义的x的值共有2个．

故答案为6，2．

点评：本题主要考查了分式无意义的条件及一元二次方程根与系数的关系．（2）中要求

当a＜6时，使分式无意义的x的值的个数，就是判别当a＜6时，一元二次方程x2－5x+a=0

的根的情况．

10.（2011广西来宾，17，3分）已知一元二次方程220xmx的两个实数根分别是

1,2

xx

。

则

12

xx=

分析：根据一元二次方程ax

2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x

1

，

x

2

，则x

1

+x

2

=﹣，x

1

•x

2

=即可得到答案．

解答：解：∵一元二次方程x

2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x

1

，x

2

，

∴x

1

•x

2

==﹣2．

故答案为﹣2．

点评：本题考查了一元二次方程ax

2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别

为x

1

，x

2

，则x

1

+x

2

=﹣，x

1

•x

2

=．

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三、解答题

1.（2011湖北潜江，17，6分）若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为

x

1

、x

2

，且满足x

1

＝3x

2

，试求出方程的两个实数根及k的值．

分析：根据根与系数的关系（x

1

＋x

2

＝—

a

b

，x

1

•x

2

＝

a

c

）列出等式，再由已知条件“x

1

＝3x

2

”

联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．

解答：解：由根与系数的关系，得

x

1

＋x

2

＝4①，

x

1

•x

2

＝k—3②（2分）

又∵x

1

＝3x

2

③，

联立①、③，解方程组得











1

3

2

1

x

x

（4分）

∴k＝x

1·

x

2

＋3＝3×1＋3＝6（5分）

答：方程两根为x

1

＝3，x

2

＝1；k＝6．（6分）

点评：此题主要考查了根与系数的关系：x

1

＋x

2

＝—

a

b

，x

1

•x

2

＝

a

c

．解答此题时，一定要弄

清楚韦达定理中的a、b、c的意义．

2.（2011•南充，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x

1

和x

2

．

（1）求k的取值范围；

（2）如果x

1

+x

2

﹣x

1

x

2

＜﹣1且k为整数，求k的值．

分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b

2

﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；

（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x

1

+x

2

=﹣2，x

1

x

2

=k+1．再代入不等式x

1

+x

2

﹣x

1

x

2

＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．

解答：解：（1）∵方程有实数根，

∴△=2

2

﹣4（k+1）≥0，

解得k≤0．

故K的取值范围是k≤0．

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x

1

+x

2

=﹣2，x

1

x

2

=k+1

x

1

+x

2

﹣x

1

x

2

=﹣2﹣（k+1）．

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由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．

又由（1）k≤0，

∴﹣2＜k≤0．

∵k为整数，

∴k的值为﹣1和0．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系

解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．

3.（2011•湖南张家界，23，8）阅读材料：

如果x

1

、x

2

是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么，

12

b

xx

a

，

12

c

xx

a

．这

就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：

已知m与n是方程2x

2

﹣6x+3=0的两根

（1）填空：m+n=，m•n=；

（2）计算

nm

11

的值．

分析：（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n和mn；

（2）先把变形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可．

解答：解：（1）答案为3，

3

2

．

（2）

mn

nm

nm





11

=

2

3

3

=2．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别

为x

1

，x

2

，则

12

b

xx

a

，

12

c

xx

a

．

4.（2011湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x2

﹣2（k﹣1）x+k

2=0有两个实数根x

1

，

x

2

．

（1）求k的取值范围；

（2）若|x

1

+x

2

|=x

1

x

2

﹣1，求k的值．

分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b

2

﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；

（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x

1

+x

2

=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式

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第12页

关系，可得出k的值．

解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得

△=b2

﹣4ac=4（k﹣1）

2

﹣4k

2≥0，

解得，k≤

1

2

；

（2）依据题意可得，x

1

+x

2

=2（k﹣1），

由（1）可知k≤

1

2

，

∴2（k﹣1）＜0，

∴﹣2（k﹣1）=k

2

﹣1，

解得k

1

=1（舍去），k

2

=﹣3，

∴k的值是﹣3．

答：（1）k的取值范围是k≤

1

2

；（2）k的值是﹣3．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解

题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．

5.（2011•玉林，20，6分）已知：x

1

、x

2

是一元二次方程x2

﹣4x+1的两个实数根．

求：（x

1

+x

2

）2÷（

21

11

xx

）的值．

分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x

1

与x

2

的两根之积与两根之和的值，再

根据

21

11

xx

=

21

21

xx

xx

即可解答．

解答：解：∵一元二次方程x

2

﹣4x+1=0的两个实数根是x

1

、x

2

，

∴x

1

+x

2

=4，x

1

•x

2

=1，

∴（x

1

+x

2

）2÷（

21

11

xx

）

=42÷

21

21

xx

xx

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第13页

=42÷4

=4．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．

6.（2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，

把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一

张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。

（1）用列表法求关于

x

的方程02cbxx有实数解的概率；

（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。

【考点】列表法与树状图法；根的判别式．

【分析】（1）根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与关于x的方程x2+bx+c=0

有实数解的情况数，根据即可概率公式求解；

（2）首先求得（1）中方程有两个相等实数解的情况，然后即可根据概率公式求解．

【解答】解：（1）列表得：

（1，－2）（2，－2）（－1，－2）（－2，－2）

（1，－1）（2，－1）（－1，－1）（－2，－1）

（1，2）（2，2）（－1，2）（－2，2）

（1，1）（2，1）（－1，1）（－2，1）

∴一共有16种等可能的结果，

∵关于x的方程x2+bx+c=0有实数解，即b2－4c≥0，

∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的有（1，－1），（1，－2），（2，1），（2，－1），（2，

－2），（－1，－1），（－1，－2），（－2，1），（－2，－1），（－2，－2）共10种情况，

∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率为：

10

16

=

5

8

；

（2）（1）中方程有两个相等实数解的有（－2，1），（2，1），

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第14页

∴（1）中方程有两个相等实数解的概率为：

2

16

=

1

8

．

【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不

相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．

7..（2011广西防城港20，6分）已知：x

1

、x

2

是一元二次方程x2

－4x＋1＝0的两个实数

根．求（x

1

＋x

2

）2÷)

11

(

21

xx

的值．

分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，确定出x

1

与x

2

的两根之积与两根之和的值，

再根据

21

21

21

11

xx

xx

xx



即可解答．

解答：∵一元二次方程x

2

－4x＋1＝0的两个实数根是x

1

、x

2

∴x

1

＋x

2

＝4，x

1

•x

2

＝1

∴（x

1

＋x

2

）2÷)

11

(

21

xx

＝42÷

21

21

xx

xx

＝42÷

1

4

＝16÷4＝4．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．

8.（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x的一元二次方程

0342kxx的两个实数根为

1

x、

2

x，且满足

21

3xx，试求出方程的两个

实数根及k的值.

分析：根据根与系数的关系（x

1

+x

2

=－，x

1

•x

2

=）列出等式，再由已知条件“x

1

=3x

2

”

联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．

答案：17.解:由根与系数的关系得:4

21

xx①，

21

xx3k②

又∵

21

3xx③，联立①、③，解方程组得











1

3

2

1

x

x

∴63133

21

xxk

答：方程两根为

12

=3,=1;=6xxk.

点评：此题主要考查了根与系数的关系：x

1

+x

2

=－，x

1

•x

2

=．解答此题时，一定要弄

清楚韦达定理中的a、b、c的意义．