空集是任何集合的子集

1

在集合中有一个特殊的集合

——

空集，而且作为初学者，空集是一个难理解的抽象的

概念，同时也是在解题过程中常常容易忽略的一个知识点，接下来就来说说怎样理解空集

的概念，以及空集在解决集合问题中的应用，对

“

空集

”

来个全面的理解

.

一、理解空集的概念：

空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作符号.

我们可以举几个在数学解题中经常出现的空集的形式，比如方程、不等式无解的情况

来理解空集的概念：

例如方程无解

2|1xRx

；

不等式的解集

|2<<1xRx

为空集

.

二、几个

“

相近

”

概念的理解：

思考：

0

，

{0}

，

,，

之间有什么关系？

解：元素与集合的关系：

.00，，0，0

集合与集合的关系：

.，，

从以上的关系，我们可以发现：

由于数字

0

，在人们的观念里表示

“

没有

”

，所以容易和空集的概念进行混淆，于是对

上面

4

个概念要区分清楚：

2

（

1

）

0

只是一个数字

.

（

2

）

{0}

是含有一个元素

0

的集合

.

（

3

）是不含有任何元素的集合，即空集

.

（

4

）是含有一个元素的集合

.

明确了上述具体的

“

概念

”

后，我们再从元素与集合的关系、集合与集合的关系两方面，

来分析

4

者的关系就会得出来

.

同时要注意两点：

1.

空集是任何集合的子集；

2.

空集是任何非空集合的真子集

.

三、在集合的关系、集合的运算习题中的应用：

首先看第一个例题

.

例

1

：已知集合

|34,|211,AxxBxmxm

且

BA

求实数

m

的取

值范围

.

解：,121,1当时解得

321

142.

211

m

mm

m

B

m

，

2当时，有，解得-1

，

1.m综上得

通过以上解题可以发现，这是有关集合的关系或运算的习题

.

3

在求解此类问题时，一定要注意

“

空集

”

的特殊情况，因此我们采取分类讨论的方式，

对上述的集合

B

，从集合

B

是空集、集合

B

不是空集两方面来讨论

.

然后利用集合的包含关系列出符合题意的不等关系

.

再来看另一个例题：

例

2.

已知2{}3{2020}AxxxBxax∣，∣，

且BA，求实数

a

组成的集合

C.

下面给出几个练习题来体会空集的特殊情况：

练习题：

1.

已知集合2112,23xAyyayaByyx或，，

若

AB，

则实数

a

的取值范围是

()

A.,2B.

,33,2

C.

,23,2

D.

3,2

4

2.

已知集合

25121AxxBxmxm，，

若AB，，求实数

m

的取值

范围

.

3.

已知集合

|25,|121,AxxBxmxm

若

,AB

求实数

m

的取

值范围

.

4.

已知集合

10,10,MxxNxax

若

,MN

求实数

a

的值为多少

.

练习题解析：

1.

已知集合2112,23xAyyayaByyx或，，

若

AB，

则实数

a

的取值范围是

()

A.,2B.

,33,2

C.

,23,2

D.

3,2

2.

已知集合

25121AxxBxmxm，，

若

AB，

，求实数

m

的取值

范围

.

5

3.

已知集合

|25,|121,AxxBxmxm

若

,AB

求实数

m

的取

值范围

.

解：（

1

）当

|121Bxmxm

时，

即121mm，

2.m

（

2

）当

|121Bxmxm

时，

即121mm，

2.m

,AB

15m或212m，

6

4m或

1

.

2

m

4m.

综上，2m或4m.

4.

已知集合

10,10,MxxNxax

若

,MN

求实数

a

的值为多少

.