平行四边形的判定定理

平行四边形的判定定理（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．

2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．

【要点梳理】

要点一、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个

行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

【典型例题】

类型一、平行四边形的判定

1、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）．

（1）在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形．

（2）若以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点D的坐标是

________________.

【思路点拨】（1）分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时，

画出图形，根据A、B、C的坐标求出即可；

（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可．

【答案与解析】

（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），

以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD

1

，D

1

的坐标

是（-6，2），

以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD

2

，D

2

的坐标

是（0，2），

以BC为对角线时，得出平行四边形ABD

3

C，D

3

的坐标

是（-2，-2），

（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直

角坐标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），

故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）．

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运

用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论．

举一反三

【变式】（2016呼伦贝尔）如图，分别以△RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△

ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

【答案】

证明：（1）∵△RtABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF

∴AF=BC，

在△RtAFE和△RtBCA中，

，

∴△RtAFE≌△RtBCA（HL），

∴AC=EF；

（△2）∵ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∵AC=EF，AC=AD，

∴EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．

2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右

平移1个单位．用实数加法表示为3+（-2）=1．

若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|

个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序

数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算

法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．

解决问题：

（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；

（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”

{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”

{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．

②证明四边形OABC是平行四边形．

（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码

头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项

加前项，后项加后项．

（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．

（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可．

【答案与解析】

解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；

{1，2}+{3，1}={4，3}．

（2）①画图

最后的位置仍是B．

②证明：由①知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）

∴OC=AB=12225，

OA=BC=321210，

∴四边形OABC是平行四边形．

（3）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}，

同理得到P到Q的平移量为{3，2}，从Q到O的平移量为{-5，-5}，故有

{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0，0}．

【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出

的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，

克服思维定势．

举一反三：

【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单

位．用实数加法表示为5+（-2）=3．

若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为

负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），

则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，

d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．

（1）计算：{3，1}+{1，2}；

（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”

{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，

并直接写出点D的坐标；

（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE、

BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算

式表示动点P的平移过程．

【答案】

解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；

（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，2+2）=（2，4）；D点坐

标为：（2-2，4-1）=（0，3）；

①如图所示：

②D（0，3）．

（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；

点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；

点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单位；

故动点P的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．



FDO

＝

EBO,

OD

＝

OB

3、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD

的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．

【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面

的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可证OF=OE，OA=OC，根据条件

在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．

【答案与解析】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，OA=OC，

∵AB∥CD，

∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴在△FDO和△EBO中，



DFO

＝



BEO





∴△FDO≌△EBO（AAS），

∴OF=OE，

∴四边形AECF是平行四边形．

【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，

同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用

4、（2015•河南模拟）如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，

点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交

于点F．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判

定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；

（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何

数量关系？请直接写出你的结论．

【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的

性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；

（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，

即可得出结论．

【答案与解析】

解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：

∵D、E移动的速度相同，

∴BD=CE，

∵DG∥AE，

∴∠DGB=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DGB，

∴BD=GD=CE，

又∵DG∥CE，

∴四边形CDGE是平行四边形；

（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：

由（1）得：BD=GD=CE，

∵DM⊥BC，

∴BM=GM，

∵DG∥AE，

∴GF=CF，

∴BM+CF=GM+GF=MF．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等

腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

举一反三

【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边

形MENF的形状（不必说明理由）．

【答案】

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：由（1）可知：BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=∠NBD，

∵DM=BN，

∴△DMF≌△BNE，

∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，

∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

5、如图，已知在YABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA

和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不

用说明理由）



ABE

＝

CDF,

AEB

＝

CFD

【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等

得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得

GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．

（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．

【答案与解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．

∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．

（2）解：仍成立．（证法同上）

【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

举一反三

【变式】如图，YABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BG⊥AG

于G，DH⊥AC于H．求证：四边形GEHF是平行四边形．

【答案】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

在△ABE和△CDF中,



AB

＝

CD





∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF，

∴BO-BE=DO-DF，

即：EO=FO，

同理：△ABG≌△CDH，

∴AG=CH，

∴AO-AG=CO-CH，

即：GO=OH，

∴四边形GEHF是平行四边形．