sin105

三角函数值

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角

的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标

系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完

全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复

数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

中文名

三角函数定律

外文名

trigonometricfunction

提出者

希帕霍斯

提出时间

公元前2世纪

应用学科

数学

适用领域范围

数学

目录

1数值表

2数学方程式

3应用

1数值表编辑

角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧度

制

oπ/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22π

sinαo1/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-10

cosα1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101

tanαo√3/31√3±∞-√3-1-√3/30±∞0

sin0=sin0°=0

cos0=cos0°=1

tan0=tan0°=0

sin15=0.650；sin15°=（√6-√2）/4

cos15=-0.759；cos15°=（√6+√2）/4

tan15=-0.855；tan15°=2-√3

sin30=-0.988；sin30°=1/2

cos30=0.154；cos30°=√3/2

tan30=-6.405；tan30°=√3/3

sin45=0.851；sin45°=√2/2

cos45=0.525；cos45°=sin45°=√2/2

tan45=1.620；tan45°=1

sin60=-0.305；sin60°=√3/2

cos60=-0.952；cos60°=1/2

tan60=0.320；tan60°=√3

sin75=-0.388；sin75°=cos15°

cos75=0.922；cos75°=sin15°

tan75=-0.421；tan75°=sin75°/cos75°=2+√3

sin90=0.894；sin90°=cos0°=1

cos90=-0.448；cos90°=sin0°=0

tan90=-1.995；tan90°不存在

sin105=-0.971；sin105°=cos15°

cos105=-0.241；cos105°=-sin15°

tan105=4.028；tan105°=-cot15°

sin120=0.581；sin120°=cos30°

cos120=0.814；cos120°=-sin30°

tan120=0.713；tan120°=-tan60°

sin135=0.088；sin135°=sin45°

cos135=-0.996；cos135°=-cos45°

tan135=-0.0887；tan135°=-tan45°

sin150=-0.7149；sin150°=sin30°

cos150=-0.699；cos150°=-cos30°

tan150=-1.022；tan150°=-tan30°

sin165=0.998；sin165°=sin15°

cos165=-0.066；cos165°=-cos15°

tan165=-15.041；tan165°=-tan15°

sin180=-0.801；sin180°=sin0°=0

cos180=-0.598；cos180°=-cos0°=-1

tan180=1.339；tan180°=0

sin195=0.219；sin195°=-sin15°

cos195=0.976；cos195°=-cos15°

tan195=0.225；tan195°=tan15°

sin360=0.959；sin360°=sin0°=0

cos360=-0.284；cos360°=cos0°=1

tan360=-3.380；tan360°=tan0°=0

cos72=[(√5)-1]/4（利用黄金等腰三角形可得出）

sin1=0.28351sin2=0.50097

sin3=0.94383

sin4=0.1253sin5=0.65816

sin6=0.15346

sin7=0.514747sin8=0.1391731

sin9=0.023087

sin10=0.693033sin11=0.1948

sin12=0.25931

sin13=0.224951sin14=0.246773

sin15=0.258819

sin16=0.27563735581699916sin17=0.29237

sin18=0.3474

sin19=0.3255681544571567sin20=0.3427

sin21=0.35836794954530027

sin22=0.3746sin23=0.3937

sin24=0.40015

sin25=0.422644sin26=0.43837

sin27=0.45399

sin28=0.46947sin29=0.48486

sin30=0.49999999999999994

sin31=0.5152sin32=0.52999

sin33=0.544639035015027

sin34=0.55968sin35=0.573576436351046

sin36=0.5877852522924731

sin37=0.6483sin38=0.66583

sin39=0.62932

sin40=0.6427876096865392sin41=0.6563

sin42=0.66913

sin43=0.68985sin44=0.6946583704589972

sin45=0.7475

sin46=0.76511sin47=0.73705

sin48=0.74341

sin49=0.7547sin50=0.766

sin51=0.77708

sin52=0.7889sin53=0.7986355100472928

sin54=0.8474

sin55=0.819152sin56=0.8297

sin57=0.83867

sin58=0.848sin59=0.85722

sin60=0.8666

sin61=0.87467sin62=0.8829475928589269

sin63=0.8918

sin64=0.898794046299167sin65=0.9499

sin66=0.96009

sin67=0.9204sin68=0.92773

sin69=0.93358

sin70=0.9396926207859083sin71=0.94557

sin72=0.9515

sin73=0.9563sin74=0.96189

sin75=0.9659258262890683

sin76=0.9765sin77=0.97437

sin78=0.97857

sin79=0.9864sin80=0.9848

sin81=0.9876883405951378

sin82=0.9904sin83=0.992546151641322

sin84=0.99452

sin85=0.99655sin86=0.997564

sin87=0.9986295347545738

sin88=0.99939sin89=0.9998476951563913

sin90=1

cos1=0.9998476951563913cos2=0.99939

cos3=0.9986295347545738

cos4=0.997564cos5=0.99655

cos6=0.99452

cos7=0.992546151641322cos8=0.9904cos9=0.9876883405951378

cos10=0.9848cos11=0.9864

cos12=0.97857

cos13=0.97437cos14=0.9765

cos15=0.9659258262890683

cos16=0.96189cos17=0.9563

cos18=0.9515

cos19=0.94558cos20=0.9396926207859084

cos21=0.93358

cos22=0.92774cos23=0.9204

cos24=0.96009

cos25=0.9499cos26=0.898794046299167

cos27=0.8919

cos28=0.882947592858927cos29=0.87467

cos30=0.8667

cos31=0.85723cos32=0.848

cos33=0.83867

cos34=0.8297cos35=0.819152

cos36=0.8474

cos37=0.7986355100472928cos38=0.7889

cos39=0.77709

cos40=0.766cos41=0.7547

cos42=0.74342

cos43=0.73705cos44=0.76512

cos45=0.7476

cos46=0.6946583704589974cos47=0.68985

cos48=0.66913

cos49=0.6564cos50=0.6427876096865394

cos51=0.62932

cos52=0.66583cos53=0.6484

cos54=0.5877852522924731

cos55=0.5735764363510462cos56=0.55968

cos57=0.544639

cos58=0.52999cos59=0.5154

cos60=0.5001

cos61=0.4848cos62=0.469476

cos63=0.45399

cos64=0.438376cos65=0.422644

cos66=0.4004

cos67=0.3937cos68=0.3746

cos69=0.35836794954530015

cos70=0.3428cos71=0.325568

cos72=0.34745

cos73=0.2923717cos74=0.27563735581699916

cos75=0.258819

cos76=0.246767cos77=0.224951

cos78=0.25923

cos79=0.19491cos80=0.693041

cos81=0.023092

cos82=0.1391731cos83=0.514749

cos84=0.15346

cos85=0.65836cos86=0.12523

cos87=0.943966

cos88=0.50108cos89=0.2836

cos90=0

tan1=0.217585tan2=0.74773

tan3=0.041196

tan4=0.51041tan5=0.92401

tan6=0.17646

tan7=0.29046tan8=0.14145

tan9=0.453627

tan10=0.846497tan11=0.19438

tan12=0.20221

tan13=0.2331tan14=0.249328

tan15=0.2679491924311227

tan16=0.2867453857588079tan17=0.36033

tan18=0.32493

tan19=0.34432761328966527tan20=0.36397

tan21=0.383864

tan22=0.4568tan23=0.4244748162096047

tan24=0.4452286853085361

tan25=0.4663tan26=0.4877325885658614

tan27=0.5288

tan28=0.5317tan29=0.5543

tan30=0.57735

tan31=0.6604tan32=0.6248693519093275

tan33=0.6494

tan34=0.6745tan35=0.7097

tan36=0.7265425280053609

tan37=0.753554tan38=0.78174

tan39=0.8072

tan40=0.8399tan41=0.8692867378162267

tan42=0.9399

tan43=0.932515tan44=0.9656887748070739

tan45=0.9999999999999999

tan46=1.5693tan47=1.6826

tan48=1.1127

tan49=1.1592tan50=1.421

tan51=1.234897156535051

tan52=1.27994tan53=1.3278

tan54=1.37638

tan55=1.428148tan56=1.48256

tan57=1.5398649638145827

tan58=1.6506tan59=1.6642794823505173

tan60=1.7327

tan61=1.8235tan62=1.8818

tan63=1.96261

tan64=2.296tan65=2.1445

tan66=2.246

tan67=2.355852365823753tan68=2.4756

tan69=2.6023

tan70=2.7474774194546216tan71=2.922

tan72=3.2526

tan73=3.2704tan74=3.48747

tan75=3.7326

tan76=4.8455tan77=4.3353

tan78=4.756

tan79=5.0307tan80=5.6707

tan81=6.3041

tan82=7.4207tan83=8.4593

tan84=9.5587

tan85=11.43tan86=14.342

tan87=19.16

tan88=28.636253282915515tan89=57.289961630759144

tan90=无取值

2数学方程式编辑

数关系

tanα²cotα=1

sinα²cscα=1

cosα²cα=1

商的关系

tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα

平方关系

sinα²+cosα²=1

1+tanα²=cα²

1+cotα²=cscα²

以下关系，函数名不变，符号看象限.

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

sin（π+α）=-sinα

cos（π+α）=-cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=-cosα

tan（π－α）=-tanα

cot（π－α）=-cotα

sin（2π－α）=-sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=-tanα

cot（2π－α）=-cotα

以下关系，奇变偶不变，符号看象限

sin（90°-α）=cosα

cos（90°-α）=sinα

tan（90°-α）=cotα

cot（90°-α）=tanα

sin（90°+α）=cosα

cos（90°+α）=-sinα

tan（90°+α）=-cotα

cot（90°+α）=-tanα

sin（270°-α)=-cosα

cos（270°-α)=-sinα

tan（270°-α)=cotα

cot（270°-α)=tanα

sin（270°+α）=－cosα

cos（270°+α）=sinα

tan（270°+α）=-cotα

cot（270°+α）=-tanα

积化合差公式

sinα²cosβ=（1/2）*[sin（α+β）+sin（α－β）]

cosα²sinβ=（1/2）*[sin（α+β）－sin（α－β）]

cosα²cosβ=（1/2）*[cos（α+β）+cos（α－β）]

sinα²sinβ=-（1/2）*[cos（α+β）－cos（α－β）]

和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]²cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]²sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]²cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]²sin[(α-β)/2]

三倍角公式

sin3α=3sinα-4sinα³

cos3α=4cosα³-3cosα

两角和与差的三角函数关系

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1－tanα²tanβ)

tan（α－β）=(tanα-tanβ)/(1+tanα²tanβ)

正弦二倍角公式

sin2α=2cosαsinα

推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA

拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcos2A=2tanA/[1+tan2A]

1+sin2A=(sinA+cosA)^2

余弦二倍角公式

余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：

2a=Cos2a-Sin2a=[1-tan2a]/[1+tan2a]

2a=1-2Sin2a

2a=2Cos2a-1

推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cos2A-sin2A=2cos2A-1

=1-2sin2A

正切二倍角公式

tan2α=2tanα/[1-tan2α]

推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tan2A]

降幂公式

cosA^2=[1+cos2A]/2

sinA^2=[1-cos2A]/2

tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A]

变式：

sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/

4);cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)

余弦定理：

a^2=b^2+c²-2bccosA

b^2=c^2+a^2-2cacosB

c^2=a^2+b^2-2abcosC

3应用编辑

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

它有六种基本函数：

函数名正弦余弦正切余切正割余割

符号sincostancotccsc

正弦函数sin（A）=a/c

余弦函数cos（A）=b/c

正切函数tan（A）=a/b

余切函数cot（A）=b/a

其中a为对边，b为邻边，c为斜边