清华自主招生

、选择题

2

()

(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)

3.设A、B是抛物线y=x2上两点，0是坐标原点，若OAL0B,则()

(A)|OA|•|OB|>2(B)|OA|+|OB|(C)直线AB过抛物线y=x2的焦点(D)O至煩线AB的距离小于等于

Xy

f(x)>0,x€(-1,0)；②f(X)+f(y)=f(),X、y€

1xy

(-1,1)，则f(x)为

(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数

5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)-kx有(

/C=—，且sinC+sin(B-A)-

2sin2A=0,则有(

3

(A)b=2a(B)△ABC的周长为2+2-.3(C)△ABC的面积为一空(D)△ABC的外接圆半径为3

7.设函数f(x)(x23)ex，则()

(A)f(x)有极小值，但无最小值(B)f(x)有极大值，但无最大值

(C)若方程f(x)=b恰有一个实根，则b>-

6

|(D)若方程f(x)=b恰有三个不同实根，则0

ee

1.设复数z=cos-

3

+isin

(A)0(B)1(C)

2冲1

3，则仁

(D)

3

2

1

1z2

2.设数列｛aj为等差数列,

p,q,k,l为正整数，则

p+q>k+l”是“ap

a

q

akal”的()条件

既不充分也不必要

4.设函数f(x)的定义域为(-1,1)，且满足：①

个极小值点(D)3个极小值点

8.已知A={(x,y)1x

2

22

yr},

B={(x,y)1(x222

a)(yb)r,已知AnB={(x1,yJ,(X2,y2)},

则()

(A)0

1

y

2

)0

(C)X1X2=a,y1y2=b(D)2a

b2=2ax12by1

9.已知非负实数x,y,z满足4x24y2

2

z+2z=3,

则5x+4y+3z的最小值为()

(A)1(B)2(C)3(D)4

10.设

数列｛an｝的前n项和为Sn，若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am，则()

(A)｛an｝可能为等差数列(B)｛an｝可能为等比数列

(c)｛an｝的任意一项均可写成｛an｝的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m使得an=S

m

11.运动

会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道

的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手

都不可能获得第一名•比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是

()

(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁

1

(A)若S=4,则k的值唯一(B)若S=^，贝Uk的值有2个

2

2

(C)若D为三角形，则0

3

12.长方体ABCDAEGD中,

AB=2,

AD=AA1=1，贝UA到平面ABD的距离为(

(A)-(B)

3

(D)

13.设不等式组

|x||y|2y2k(x

1)

所表示的区域为D,其面积为S,U(

k>4

14.△ABC勺三边长是2,3,4，其外心为0,则

uuuuuu

OAAB

uuuuuuuuuruuu

OBBC0CCA=(

(A)0(B)-15(C)-

21

(D)

2

29

2

15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5

(A)P(A)=0.4(B)P(B-A)=0.3(C)P(AB)=0.2(D)P(A+B)=0.9

16.过厶ABC的重心作直线将厶

3

(A)最小值为一(B)最小值为

4

17.从正15边形的顶点中选出

,P(A-B)=0.2，则(

ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的(

44

(C)最大值为一

53

3个构成钝角三角形，

5

(D最大值为一

4

则不同的选法有(

(A)105种(B)225种(C)315种(D)420种

18.已知存在实数r，使得圆周x2y2r2上恰好有n个整点，则n可以等于(

22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有(

421V2

(A)最小值为一(B)最小值为一(C)最大值为1(D)最大值为--------------------

553

(A)4(B)6(C)8(D)12

19.设复数z满足2|z|w|z-1|，则(

1

(A)|z|的最大值为1(B)|z|的最小值为—(C)z

3

21

的虚部的最大值为

2

(D)z的实部的最大值为

1

33

20.设m,n是大于零的实数，a=(mcosa,msina),b=(ncos3,nsin3)，其中a,B€[0,2n)a,B€

r1,_

[0,2n)•定义向量a2=(、、.mcos—,、.msin一),b2

=(、.n2

cos—

2

，、齐sin—)，记9=a-3,贝

U

2

r[r1rr1r1___

(A)a2

•a2=a(B)a2b2=、.mncos—(C)

2

r]r]„

|a2b2|

4、一mn

sin2—

4

r1r]2_2

(D)|a2b2|24,mncos2—

4

21.设数列｛an

｝满足：a1

=6,

a

n1

，则(

(A)?n€N?,an

<(n1)3

(B)

?n€N?,an丰2015

(C)?n€N?,an为完全平方数

(D)

?n€N?,an为完全立方数

1

(A)p=

cossin

23.设函数f(x)s

inx

，则(

xx1

4

(A)f(x)w(B)|f(x)|w5|x|(C)曲线y=f(x)存在对称轴

3

24.△ABC的三边分别为a,b,c，若△ABC为锐角三角形，则(

(B)p=—

1

(C)

2sin

1

p=—

2cos

(D)

(D)

1

12sin

曲线y=f(x)存在对称中心

(A)sinA>cosB(B)tanA>cotB(C)

a2b2c2(D)a3b3c3

25.设函数f(x)的定义域是(-1,1),

若f(0)=f(0)=1,则存在实数s€(0,1)，使得()

(A)f(x)>0,x€(-S,S)(B)f(x)在(-S,S)上单调递增

(C)f(x)>1,x€(0,S)(D)f(x)>1,x€(-S,0)

26.在直角坐标系中，已知

A(-1,0),

B(1,0)•若对于y轴上的任意n个不同的点Pk

(k=1,2，…,n)，总存

在两个不同的点R,Pj,

1

使得|sin/APjB-sin/APjB|w—,贝Vn的最小值为(3

(A)3(B)4(C)5(D)6

27.设非负实数x,y满足

2x+y=1，则x+x2y2的(

)

1

28.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行)，则(

(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多

(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个

(D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,

同的五位数有(

(A)300个(B)450

其中有两个数字各用两次，例如

12231,则能得到的不

30.设曲线L的方程为

(A)L是轴对称图形

(C)L?{(x,y)I

##A

nswer

##1.【解析】丄

1-z

)

个(C)900

y4(2x2

(B)L

个(D)1800个

242

2)y(x2x)=0,则(

是中心对称图形

1

(D)L?{(x,y)

zz1

zz

_______1

-2.2

1-cosisin

33

2

cos

3

..2

isin

___3

2

2isin

3

2sin2i2sincos—

333

cos0isinO

2sin—[cos(—)isin(

-)isin(

3

、、3(cos—

2

-洽2os(

cos(

isin)

2

7

)isin(

6

7)]

丄(cos—isin—

.366

△)=1,选B

2

2.【简解】ap(akQ)=[(p+q)-(k+l)]d，与公差

d的符号有关，选

3.【解析】设A(2

X1,X1),B(

2uuuuuu

X2,X2),OAOB=X1X2(1X1X2)=0X2

X

1

答案(A),|0A|l

OB

I^x^(1好)4(1—1^)=j1X21

2X1

1>/22|X1|丄=2,正确;

|X1|

答案

(B),|OA|+|OB|>2..|OA「|OB|>2.2,正确；答案(C),直线AB的斜率为

22

2^=X2

x2x1

X

1

程为y-xj=(x

1

1

)(x-

x1

),焦点(0,1)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：(

4

X

1

1

)x-y+仁

0

X1

的距离d=w1,正确。选ABD

(X

1Jr1

R

(X

i,

y

i)、

P

2

(X

2>

y

2

)

°0<|OC|<2|r|0

是菱形对角线OC与RP2

4.【解析】x=y=Of(0)=O,y=-xf(x)f(x),f(x)为奇函数，(A)正确；f(x).0,(B)错误;

XiX2,f(xj-f(X2)=f(xi)+f(X2)=f®空>0

1xi屜

f(x)=-tanx满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C

2

5.【简解】将直线平移知：斜率为k的直线，与曲线y=f(x)至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个

区间，先上方后下方的三个区间，故F(x)有三个极大值点，两个极小值点。选BC

6.【解析】2R=

2_

R='、3,D正确;

3

又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=—或

2

0—A=0—

b=2a;A=—时，b=—J3,a=—J3,周长为2+J3,面积为一J3;b=2a时，

2333

222

c=ab2abcosC

2—

a=一J3,B=—:

,冋样有周长为2+..3，面积为2&°选BCD

323

7.【简解】f(x)=(x+3)(x-1)

e,

f

极大(

x)

6

f(3)—,

e

f极小(x)f(1)-2e,

作出其大致图象，如图

选BD

222222

O：xyr与OC：(xa)(yb)r交于相异的两点

f(xi)>f(X2)f(x)J,(C)正确;

8.【解析】已知即半径相等的两圆O

一一222222

垂直且平分，(B)(C)正确；ab=2axi2byi(aXi)(byi)Xiyi|CR||0R|,(D)

正确。

总之，选BCD

d>2ab-3=2|a||b|cos(a,b)-3=2..13cos(a,b)-3,

(a,b)最大值是b与OY夹角，此时d>213L-3=3。选C

4(1qn)

1q

m11qn

agm11q常数，也不可能；答案(C),anSnSn1=amat,满足要求；答案

q

(D),

a

n=

S

m=at，并非对所有数列成立。选AC

时,

qz1

10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,…满足要求；答案(B),公比

q=1时因na1za1,结论假,

11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D

12.等体积法，选B

13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形

9.【解析】关于z的方程z22z4x24y230有非负实数解，z=-1+21

x2x2

d=5x+4y+3z=5x+4y+6.1x2y2-3,设x=rcos0,y=rsin0,[0,㊁】,「

€[0,

d=r(5cos0+4sin0)+6,1r2-3=r■.29sin(0+arctan

-)+6..1r2-3

4

>4r+6,1r2-3=2(2r+3Jr2)-3,设a=(2,3),b=(r,1

一2r

)

作图知

>4,故S=4只有一解，(A)正确；△RAB△P3P4D的面积分别

5

特别的x,y€{0,1}时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为

1

当x,y€(0,1)时，

△ADE面

积

S=[ADXAEsinA=-xABXyACsinA=xy,D、

GE三点共线存在实数入，使

22

UULT

得DG

uuurUULUUuuurUULTuuurUULT

=(1-入)AD+入

UUUuuuUULT

DEAGAD

=入(

AEAD)

AG

AE=(1-

入)xAB+入

yAC,又

UULT

AG=-

1uuu1uuur—

AB+—AC

(1)x

1

3

1

消去入得到

1

1「11

=3,因__>2.厂1

2

,S

S

2

>S

33

y

1

3

xyxyVxy3

41

为一、1,都比一大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为

5

是三角形，

14.

【简解】

1

的直线，(B)正确；k<0时，围成的仍然

22

(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC的斜率4，(D)正确。选ABD

uuuuuu12

D,则OAAB=OAXABXcos(n-/OAB)=-ABX(OAXcos/OAB)=-_AB2同理

2，

取AB的中点

uu

u

OB

12

uULr

BC2,OC

2

【简解】设P(AB)=x，贝UP(A)=0.2+x，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)X0.5

uuu

BC=

urn12122229

CACA2，原式=(AB2BC2CA2).选D

222

x=0.2;P(A)=0.4,

正确；P(AB)=0.2,(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。

15.

(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)

选ABC

16.［解析】设厶ABC的重心为G,面积为1,过点G的直线与三角形边ABAC分别相交于DE,AD=xAB,AE=yAC,

1

则有一ABXACsinA=1,如图

2

4245

>-,等号成立当且仅当x=y=DE//BC,故S最小值为一，1-S的最大值为—；故两面积比值有最小值

9399

45

-，最大值-。选BD

54

17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角

形个数，加设此点为A,从A逆时针方向的点依次记为

Ak(k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为Ak

(k=1,2,3,…,7),△要构成以A为钝角的钝

角三角形，则n+mc7,有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15X21=315个钝角三角形。选C

18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。选ACD

122412

19.【简解】设x=x+yi(x,y€R),代入化简得到(x丄)2y2

4

，表示以(--,0)为圆心，以-为半径的

3933

圆及其内部，根据图形，选ACD

r1r1

20.【解析】a1

•a2是一个数值，不是向量，(A)错；

r1r1.....

a2b2=ncoscosnsinsin=、..mncos=.mncos—,(B)正确；

222222

r1r1

|a2b212=(、、mcos—、、ncos—)2+(、、msin—,nsin—)2=m+

2222

m+n-2mncos—>2mn(1-cos—)=4,mnsin2—,(C)正确;

224

同理(D)正确

选BCD

21.-------------------------------【简解】亠1,迭乘得到an

=(n+2)(n+1)n；a.(n1)3n(n+2)<(n

1)2,(A)正确；2015=5

ann

X13X31,不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)

错误。选AB

1

(D)为p=表示双曲线。选BC

12cos(-)

1

g(x)=4x24x43sinx>0,g极小值(x)二g(—)=0,(A)正确；|f(x)|

c

2

21

xx|.作图象知成立,(B)正确；x=是其一条对称轴，(C)正确；

2

f(ax)f(ax)不可能为常数，故(D)错误。选ABC

22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1,表示直线;

(B)为p=-

1

—-表示椭圆;

2cos(2

(C)

1

为p=----^2------表示椭圆;

1cos

2

4

23.【解析】f(x)c

3

5|x||sinnx|c|x3

24.【简解】A+B>—A>—-BsinA>sin(—-B)=cosB,tanA>tan(

222

—-B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形,

2

定有a2

22

bc,(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1

时，满足锐角三角形条件，但

33

0.50.9

0.854<1,(D)错误。总之，选ABC

25.【解析】

根据导数定义，对任意£>0,存在3>0,当|x|<

3时，|

f(x)f(0

)-1|<£x(1-

x

£)+10,知在0附近存在区间,f(X)>0,(B)正

确；对于函数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC

21

26.［解析】将所有的|sin/ARBSin/APjB|，按从小到大排序，共有C：个，其中最小者不大于，最

3

12

大为2，于是-C

n

>2,n的最小值为4.选B

3

27.【解析】设x=rcos0,y=rsin0,0€[0,].2x+y=1r=,x+.x2y2=rcos

22cossin

+r=

cos-----1——，记作T；去分母得到Tsin0+(2T-1)cos0=1,,T2(2T

2cossin

2T14

+arctan)=1w、T2(2T1)2,解得T>,等号成立当且仅当0+arctan

TN5

3

+arctan=—,(A)正确；当0=0时T=2,0=一时T=1，最大值为2,(C)正确。选AC

422

28.[简解】黑球先放好，放白球，选A

1)2sin(

2T1

T

29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有

3

C5种方法，如选了123;在确定不重复用的数

字，有C3种方法，如选3;对数字3安排有A；种方法，余下的对数字1安排有C：种方法，剩下的两位安

排2;有C5C3A

1

C4

2=900.

选C

30.［简解】解方程得到y2x214x21，易知它关于两坐标轴及原点都对称,

(A)(B)正确;

x

2y2=•4x211w1有-—3wxw—3条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tan0,0€(——,

222

13111

),y2=-c2+c0-一，当c0=2时，y2

max

=,-—wyw,(D)正确。选ABD

244422