什么叫奇函数

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函数的奇偶性

教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）学会判断函数的奇偶性．

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．

教学过程：

引入课题

1．实践操作：（也可借助计算机演示）

取一X纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图

形，然后按如下操作并回答相应问题：

○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的

痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数

y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐

标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，

即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象

限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数

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y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐

标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象

上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．

2．观察思考

新课教学

（一）函数的奇偶性定义

象上面实践操作○1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作○2中的图象关于

原点对称的函数即是奇函数．

1．偶函数（evenfunction）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)

就叫做偶函数．

（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数（oddfunction）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)

就叫做奇函数．

注意：

○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内

的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（二）具有奇偶性的函数的图象的特征

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偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

（三）典型例题

1．判断函数的奇偶性

例1．应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学

生讨论，师生共同总结具体方法步骤）

解：（略）

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：

若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的

奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇

非偶函数．

2．利用函数的奇偶性补全函数的图象

规律：

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

3．函数的奇偶性与单调性的关系

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（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断

奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．

例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也

是增函数

解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规X格式与步骤)

规律：

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图

象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原

点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象

充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

作业布置

2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：

○1

1

22

)(

2







x

xx

xf

；

○2

xxxf2)(3

；

○3

axf)(

（

Rx

）

○4













)1(

)1(

)(

xx

xx

xf

.0

,0





x

x

课后思考：

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已知

)(xf

是定义在R上的函数，

设

2

)()(

)(

xfxf

xg





，

2

)()(

)(

xfxf

xh





○1试判断

)()(xhxg与

的奇偶性；

○2试判断

)()(),(xfxhxg与

的关系；

○3由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．