eix

-

.z.

微分算子法

微分算子法分类小结

一、n阶微分方程

1、二阶微分方程：

2

2

d

yd

x

+p(x)

xd

dy

+q(x)y=f(x)

2、n阶微分方程：y(n)+a

1

y(n-1)+a

2

y(n-2)+a

3

y(n-3)+...+a

n

y=f(x)

二、微分算子法

1、定义符号：D

x

=

d

d

，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x

求导n次；

D

1表示积分，如

D

1x=x

2

1

2,

nD

1

x表示

对x积分n次，不要常数。

2、计算

将n阶微分方程改写成下式：

Dny+a

1

Dn-1y+a

2

Dn-2y+a

3

Dn-3y+...+a

n-1

Dy+a

n

y=f(x)

即〔Dn+a

1

Dn-1+a

2

Dn-2+a

3

Dn-3+...+a

n-1

D+a

n

〕y=f(x)

记F(D)=Dn+a

1

Dn-1+a

2

Dn-2+a

3

Dn-3+...+a

n-1

D+a

n

规定特解：y*=)(

F(D)

1

xf

3、

F(D)

1

的性质

(1)性质一：

F(D)

1ekx=

F(k)

1ekx

(F(k)不等于0〕

注：假设k为特征方程的m重根时，有

-

.z.

F(D)

1ekx=xm

(D)F

1

(m)

ekx=xm

(k)F

1

(m)ekx

(2)性质二：

F(D)

1ekxv(x)=ekx

k)F(D

1

+

v(x)

(3)性质三：特解形如

F(D)

1

sin(ax)和

F(D)

1cos(ax)

i.考察该式〔该种形式万能解法〕：

F(D)

1eiax

利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部

作为原方程的特解

注：欧拉公式eiax=cos(ax)+isin(ax)

虚数i2=-1

ii.假设特解形如

)F(D

1

2sin(ax)和

)F(D

1

2cos(ax)，也

可按以下方法考虑：

假设F(-a2)≠0，那么

)F(D

1

2

sin(ax)=

)F(-a

1

2

sin(ax)

)F(D

1

2

cos(ax)=

)F(-a

1

2

cos(ax)

假设F(-a2)=0，那么按i.进展求解，或者设-a2为F(-a2)

的m重根，那么

)F(D

1

2

sin(ax)=xm

)(DF

1

2(m)sin(ax)

)F(D

1

2

cos(ax)=xm

)(DF

1

2(m)cos(ax)

-

.z.

(4)性质四〔多项式〕：

F(D)

1

〔xp+b

1

xp-1+b

2

xp-2+...+b

p-1

x+b

p

〕

=Q(D)〔xp+b

1

xp-1+b

2

xp-2+...+b

p-1

x+b

p

〕

注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p。

(5)性质五〔分解因式〕:

)(

F(D)

1

xf=)(

)(F(D)F

1

21

xf

D•

=)(

)(F(D)F

1

12

xf

D•

(6)性质六:

))()((

F(D)

1

21

xfxf+=)(

F(D)

1

)(

F(D)

1

21

xfxf+

三、例题练习

例1.

2

2

d

yd

x

+4y=ex

那么(D2+4)y=ex,特解y*=

4

1

2+D

ex=

41

1

2+

ex=

5

1ex(性质一)

例2、y(4)+y=2cos(3x〕，那么(D4+1)y=2cos(3x〕

特解y*=

1

1

4+D

2cos(3x〕=2

1

1

4+D

cos(3x〕

=2

1)3-(

1

22+

cos(3x〕=

41

1

cos(3x〕(性质三)

例3、

2

2

d

yd

x

-4

xd

dy

+4y=x2e2x,那么(D2-4D+4)y=x2e2x

特解y*=

+44-

1

2DD

x2e2x=e2**

2-2

1

2）（+D

2

=e2**

1

2D

2=

12

1

x4e2x

〔性质二〕

-

.z.

例4、

3

3

d

yd

x

-3

2

2

d

yd

x

+3

xd

dy-y=ex,那么(D3-3D2+3D-1)y=ex

特解y*=

31-

1

）（D

ex=ex

31-1

1

）（+D

•

1

=ex

3

1

D

•

1=

6

1

x3ex

(性质二〕

例5、

3

3

d

yd

x

-y=sinx,那么(D3-1)y=sinx,特解y*=

1-

1

3D

sinx

考察

1-

1

3D

eix

1-

1

3D

eix=

1-i

1

3eix=

1i

1

-

+

eix=

2

1-i

eix

=

2

1-i

(cosx+isinx)

=-

2

1

(cosx+sinx)+i

2

1

(cosx-sinx)

取虚部为特解y*=

2

1

(cosx-sinx)(性质一、三)

例6、

2

2

d

yd

x

+y=cosx，那么(D2+1)y=cosx，特解y*=

1

1

2+D

cosx

考察

1

1

2+D

eix

1

1

2+D

eix=

i)i)(D-(

1

+D

eix=

i)i)(D-(

1

+D

eix

=

i2i)-(

1

•D

eix=eix

i)-i(i2

1

+•D

•

1

=-

2

i

xeix=

2

1

xsinx-i

2

1

xcosx

-

.z.

取实部为特解y*=

2

1

xsinx(性质一、二、三〕

例7、

4

4

d

yd

x

-y=ex，那么(D4-1)y=ex

特解y*=

1-

1

4D

ex=

)11)(D1)(D-(

1

2++D

ex

=

)11)(11)(1-(

1

2++D

ex

=

1-

1

D

•

2

1

2

1

•ex=

1-

1

D4

1ex

=

4

1ex

1-1

1

+D

•1=

4

1

xex〔性质一、二、五〕

例8、

2

2

d

yd

x

+y=x2-x+2,那么(D2+1)y=x2-x+2

特解y*=

1

1

2+D

(x2-x+2)

=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x(性质四)

例9、

2

2

d

yd

x

+2

xd

dy

+2y=x2e-x,那么(D2+2D+2)y=x2e-x

特解y*=

1)1(

1

2++D

x2e-x=e-**

1)11-(

1

2++D

2

=e-**

1

1

2+D

2=e-x

(1-D2)x2=e-x

(x2-2)

〔性质二、四〕

例10、

2

2

d

yd

x

+y=xcosx，那么(D2+1)y=xcosx，

特解y*=

1

1

2+D

xcosx，考察

1

1

2+D

xeix

-

.z.

1

1

2+D

xeix=

i)i)(D-(

1

+D

xeix=ei**

i)ii)(D-i(

1

+++D

=ei**

i)2(D

1

+D

=ei**

)

4i2

1

(

1D

D

+

=ei**

)

4

1

i2

x

(

1

+

D

=ei**

)x

4

1

i4

x

(

2

+

=(cosx+isinx))x

4

1

i4

x

(

2

+x

=

4

1

(xcosx+x2sinx)+i

4

1

(xsinx-x2cosx)

取实部为特解y*=

4

1

(xcosx+x2sinx)(性质二、三、四〕