初一数学竞赛题

截长补短练习

1直角三角形ABC中，∠C=90，CD是高，AD=1,BD=3.求∠A

2在△ABC中,AB+BD=CD，AD是高。求证∠B=2∠C

3如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：EO=OD

4如图，在△ABC中，EO=OD，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，且AB不等于BC

求∠ABC，求证AE+CD=AC

5已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC

交CM于D，交BC于T，E在BC上且CT=BE.

求证：DE//AB

D

A

B

C

M

T

E

6如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，CE=DE，CE=DE。连结EC、

ED，求证：AE=BD

7三角形ABC中，I为形内一点，AI平分∠BAC，满足ID⊥AB于D,IE⊥AC于E，连BI,IC

∠BIC=90+

1

2

∠BAC求证：BD+CE=BC

8等边三角形ABC中，P在三角形外若BP+CP=AP则∠BPC=120°

9三角形ABC中，I为形外一点，AI平分∠BAC，满足ID⊥AB于D,IE⊥AC于E，连BI,IC

∠BIC=90—

1

2

∠BAC求证：BD+CE=BC

面积法与传统几何

1如图2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线．求证：AB∶

AC=BD∶DC．

2在三角形ABC中，D在线段BC上满足AB∶AC=BD∶DC。.求证：AD平分∠BAC

3O为正三角形ABC内任意一点，过O向AB,BC,CA作垂线段OD,OE,OF求证0D+0E+0F

的值是定值

4平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

∠DPA＝∠DPC．求证：AE＝CF．

F

P

D

E

C

B

A

5在△ABC中，DF=EF。在AB边上取点D，在AC延长线上了取点E，使CE=BD，

连接DE交BC于点F，求证：AB=AC，

6已知：如图6所示在ABC中，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。若B60

求证：三角形AE0与三角形OCD面积和等于三角形AOC面积

图6

B

C

A

E

D

F

O

1

4

2

3

5

6

7已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的点且

1

2ADMABCD

SS



求证：CM=BM

DC

NM

AB

F

C

B

A

E

D

平移旋转对称练习

1如图所示，ABC是边长为2的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为

顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

2如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，

求证：CD⊥AC

3如图，ABC中，100AACAB，，BD平分ABC。

求证：BCBDAD。

A

D

1

B2

EFC

4等腰直角三角形ABC中，AC与BC垂直，M,N在AB上求证以AM,MN,NB可以构成直

角三角形

5正三角形ABC中，O为形内一点求证以OA,OB,OC为长可以构成一个三角形

N

M

D

CB

A

C

D

B

A

6已知：如图2－4－10所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，点D为BA上任一点，

DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．证明:ME=MF,ME⊥MF。

7如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB

上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，

CH⊥AB于H点，交AE于G．

求证：BD＝CG．

8如图，ABC中，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，且AP、BQ分别是BAC、A

BC的角平分线，求证：AQ+BQ=AB+BP

9三角形ABC中，O在形内且∠BOC=180-∠A,CO交AB于P,BO交AC于Q，求证：BP=CQ

勾股定理专题训练

一填空题

1一个等腰三角形周长16厘米，底边上高4厘米，求各边长-------

2一个直角三角形两边长为6与8第三边长为-----

3三角形ABC中，AB=23,AC=2，BC边上高AD=3,求BC=

4三角形ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12则三角形ABC周长为------

5四边形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米∠ABC=90

四边形ABCD面积为------

6直角三角形ABC中，∠C=90,AB=12，∠A=15求三角形ABC的面积-----

7四边形ABCD中，∠C=30，∠B=∠D=90，AB=AD，AC=1求四边形ABCD面积------

8直角三角形ABC面积为1，D,E,F分别为BC,AC,AB对称点，三角形DEF面积为-----

9菱形高AH=24，一条对角线为30，面积为-----

10三角形ABC中，∠BAC=45，BD=2,CD=3求三角形ABC面积------

11四边形ABCD中，∠ABC=135，∠BCD=120,AB=6,BC=5-3,CD=6求AD=

逆定理

1三角形ABC中，∠C=90，a=4,b=6求c

2三角形ABC中，∠C=90，a=8,c=17求b

3三角形ABC中，∠C=90，a=8,∠A=30求b

4直角三角形两条直角边分别为8厘米和4厘米，求斜边上的高和面积

5三角形ABC中，AB=8,BC=6,AC=4,AD与AE分别为中线和高，求DE

6三角形三边长满足222338102426abcabc则三角形ABC形状为------

7凸四边形ABCD中，∠A=90，AB=3，BC=12,CD=13,DA=4,ABCD面积为-------

8凸四边形ABCD中，AB=2,CD=1,∠ABC=∠ADC=90,∠BAD=60,AB=2,CD=1求四边形

ABCD的面积----------

勾股定理训练题

1已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．

2直角三角形ABC中∠C=90°，CD是斜边上的高求证

222

111

CDACBC



3正方形ABCD内有一点P，PA=1,PB=2,RC=3求∠APD

4等腰直角三角形ABC中，D为斜边AB上任意一点求证2222ADBDCD

5等腰三角形ABC中AC=BC,D为底边上任意一点求证：AD

6如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥

AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

7如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求

证：AD2+BE2=AB2+DE2．

8求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5

倍．

几何中的定量计算

1.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝90，BC＝1，CD＝2

求对角线AC的长

2△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p

1

，p

2

，p

3

，…p

100

,

记m

i

=AP

i

2+BP

i

×P

i

C(I=1,2……，100)，则m

1

+m

2

+…＋m

100

=____

3在△ABC中∠A＝2∠B求证a2-b2=bc

4求边长分别为222222,4,4ababab的三角形的面积

5求证平行四边形四边平方和等于对角线平方和的2倍

2

1

D

A

B

C

E

6如图，△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在

AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P，求证：∠BPM=45°.

7如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，

且FE⊥BE，求△CEF的面积。

8等腰直角三角形ABC中，BA=BC=5,P为形内一点PA=5，PC=5,求PB

平行四边形

1在□ABCD中，点E,F在BD上，且BE=DF,点G,H分别在AD,CB

E

F

P

A

C

B

上，且有AG=CH，GH与BD相交于点O,求证：EG∥HF.

2在□ABCD，∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长

线与点F.

(1)在图1中证明CE=CF；

(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度

数；

(3)若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），

求∠BDG的度数．

3如图，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD

于F，且AE=FE,求证：BF=AC.

4如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，

BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．

5M、N为ABC的边AB、AC的中点，

E、F为边AC的三等分点，延长ME、NF

交于D点，连结AD、DC，求证：

⑴BFDE是平行四边形，

⑵ABCD是平行四边形。

6平行四边形ABCD的对边AB、

CD的中点为E、F，

求证：DE、BF三等分对角线AC。

长方形正方形菱形

1已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，

连结DM和BM．

_F

_E

_A

_B

_C

_D

_M

_

N

_A

_H

_G

_B

_

C

_D

_E

_F

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，

求证：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如果将图8-①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）

中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

M

D

B

A

C

E

2已知如图，四边形ABCD是正方形，F、E分别为BC、CD上的点，且EF=BF+DE，

AM⊥EF，垂足为M，求证：(1)AM=AB；(2)连AF，连AE，求∠FAE．

3已知，如图，正方形ABCD中，AC、BD交于O点，EA平分∠BAC交

BD于F点．求证：FO=

2

1

EC．

4正方形ABCD中，E为BC上一点，F为DC上一点，AE⊥BF，连AC，O

为AC中点，连OE、OF，求证：(1)BE=CF；(2)OE⊥OF；(3)若S

正方形

=1，求S

四边形OECF

．

图①

图-②

M

D

B

A

C

E

M

E

F

BC

AD

AD

BC

O

F

E

AD

BC

O

F

E

5正方形ABCD中，MNGH，

求证：MN=HG。

6正方形ABCD中，E是边CD

的中点，F是线段CE的中点

求证：∠DAE=

2

1

∠BAF。

7如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，

BE和AD交于G，求证：GF∥AC。

8如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交

AC于F。求证：AB+EF=BC

梯形

1在梯形ABCD中，AB∥CD，M是BC边

的中点，且MNAD于N，

_D

_C

_B

_A

_M

_N

_G

_H

_C

_D

_A

_B

_E

_F

E

G

F

C

D

B

A

求证：S

ABCD

=MN∙AD。

2如图2-44所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，

AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

3已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，

BG⊥CD．求证：PE+PF=BG．

4已知如图,梯形ABCD中，E为DC中点，若梯形ABCD=10．(1)求S△EBA

．

(2)若AB=AD+BC，求证：AE⊥BE．

5已知，如图四边形ABCD为等腰梯形,AB∥DC，AD=BC，E为底边CD上的任意点，

过E作EF∥DA，交AC于F，过E作EG∥CB交BD于G．求证：EF+EG=BC．

_D_C

_

A

_B

_M

_N

BC

D

A

E

BC

AD

E

G

F

P

DC

AB

F

G

E

6已知：如图，连结梯形ABCD的两条对角线AC、BD的中点Q、P，求证：PQ=

2

1

(BC

－AD)．

7如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．

(1)求证：ADCF是等腰梯形；

(2)若△ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=1厘米，求四

边形ADCF的周长．

8等腰梯形ABCD中，AB平行CD求证AC

综合应用

1如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，

Q

P

AD

BC

A

E

F

O

P

Q

BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．

求证：DP=DQ．

2已知如图：正方形ABCD，BE＝BD，CE平行于BD，BE交CD于F，求证：DE＝DF．

3如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，

直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．

4如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，

F

E

D

C

B

A

D

C

B

A

求证：0180CA

5三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交AC,AB于D,E求证DE的中点到AB与AC

的距离和等于它到BC的距离

6如图2-54所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，

AH⊥CF于H．

(1)求证：GH∥BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

7已知在△ABC中，

1

2

DMABAD⊥BC于D，M为BC的中点

求证：∠B=2∠C，

8如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，

连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．

9在Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC

于E、，F是BE上一点，且BF＝CE。

求证：FK∥AB。

M

DC

B

A

面积法综合应用

1若一个三角形有两条高相等求证这个三角形是等腰三角形

2如图，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD

于F，BF=AC.求证：AE=FE

3如图2-82所示．在△ABC中，D在BC延长线上且AB∶AC=BD∶DC．求证：AD

是∠BAC的外角∠CAE的平分线．

4求证三角形三条中线可以构成三角形且面积是原来三角形面积的的3/4