tan15度

-1-

A

BP

_西

_南

_A

_B

_C

_東

_北

(二)2-32-6簡易測量與三角函數值表，基本三角測量

焦點一三角測量

1.測量名詞：

(1)鉛垂線：目標物與地心的連線稱為鉛垂線。

(2)水平線：過觀測者眼睛而與鉛垂線垂直的的直線。

(3)視線：眼睛與觀測物的連線

(4)仰角：仰視目標物時,視線與水平線間的夾角。

俯角：俯視目標物時,視線與水平線間的夾角。

(5)方位：除東、西、南，北外，也可以上述四個方位為基準線，加上旋轉角度(0o~90o

之間)來描述方位。例如：「東30o北」表示先面向正東，再往正北方位轉30o

角所面對的方位。舉例如下;

A點的方位就是O點的北30°東，B點的方位就是O點的北40°西

C點的方位就是O點的南58°東

40°30°

58°

2.測量問題的解法：

(1)平面測量：如為直角三角形可用畢是定理，若不為直角三角形，則利用正、餘弦定

理解之。

(2)立體測量：一定要將所有的條件投影到同一平面上再行處理。

【例題1】有一高塔AB，從距離塔底100公尺處P點，測得塔頂A之仰角為60°（如圖），

求此塔高度。Ans:3100公尺

60°

-2-

【類題1】有一高塔

AB

，從距離塔底50公尺處P點，測得塔頂A之仰角為73°20'（參考

上圖），求此塔高度。（tan73°20'=3.340，答案按四捨五入取整數）

Ans:167公尺

【例題2】某人測量一山峰的仰角為30，他向著山前進200公尺，再測得山峰的仰角為

45，求山高？

Ans:

10031()

【類題2】某人在A處測得高樓頂之仰角為45，前進100公尺到B處，再測得仰角為60，

則樓高為公尺。

Ans:50(33)公尺

【例題3】甲生在山麓測得山頂的仰角為45，由此山麓循30斜坡上行200公尺，再測得

山頂的仰角為60，則山高為公尺。

Ans:100(31)

-3-

【類題3】某人於山麓測得山之仰角為35°，由此山麓循20°的斜坡上行1000公尺，再測得

山頂之仰角為65°，則山高為公尺。（已知sin35°＝0.5736）

Ans:811公尺

【例題4】如下圖，兩觀測站A，B相距2000公尺，飛機C在D點上空，A站測得∠CAB＝75°

，B站測得∠CBA＝60°，仰角∠CAD＝60°，則飛機高為【】公尺。

Ans:15002

【類題4】一塔高為203公尺，在塔的北45°東A處和南15°東B處各有一觀測站，測

出塔的仰角分別為60°和30°，則AB＝【2】公尺。

Ans:2013

-4-

【例題5】如下圖，地面上兩點B，C被一池塘隔開，在地面上找一點A，量得

AB

＝80公

尺，AC＝50公尺，並測得∠CAB＝60°，則BC＝【】公尺。

Ans:70

【類題5】海岸上有A和B兩觀測站，同時發現海上有一艘船C，在A測得∠BAC＝75°，

在B測得∠ABC＝60°，已知AB＝10公里，則BC＝【】公里。

Ans:5（3＋1）公里

【例題6】站在湖中的小島的山峰上，看對岸的高峰仰角是30，看湖面這高峰的鏡影俯

角是45，所站的山峰高度為250公尺（從湖面算起），求對岸高峰的高度。

Ans:250(23)公尺

【類題6】站在湖中的小島的高塔上，看對岸的高峰仰角是30，看湖面這高峰的鏡影俯

角是60，所站的高塔高度為50公尺（從湖面算起），求對岸高峰的高度。

Ans:100公尺

-5-

【例題7】一船向北航行，在北30東的方位發現一燈塔後，繼續向北前進5公里，此時，

燈塔的方位為南60東，則該船航線與燈塔的最短距離為多少公里？

Ans:3

4

5

公里

【類題7】一船向北航行，在北15東的方位發現一燈塔後，繼續向北前進10公里，此時，

燈塔的方位為北30東，則該船航線與燈塔的最短距離為多少公里？

Ans:5公里

【例題8】海中有一小島A，今在其四周8浬處敷設水雷。現有一艦從西向東行駛，於P

處發現A在北60°東，行5浬後，於B處見A在北45°東，若此艦航行方向不

變，試問是否有危險？

Ans:有

【類題8】海中一小島周圍x浬內布有水雷，今有一船於A處望見該島在東15°北，此船向東

行駛10浬後，至B處再望該島，則在東30°北。若此船航行方向不變，則布雷半

徑x最大未超過【】浬時，該船方無危險。

Ans:5浬

-6-

【例題9】設從一直線上之三點A，B，C測得某一山頂之仰角分別為30°，45°，60°（但A

，B，C三點與山頂之垂足不共線），若

AB

＝BC＝600公尺，求山高。

Ans:3006公尺

【類題9】從一直線上之三點A，B，C測得一山頂之仰角各為30°，45°，60°，已知A，

B，C與山腳不共線且AB＝300公尺，BC＝200公尺，求山高。

Ans:10015公尺

【例題10】山頂有一塔，塔高30公尺，某人自地面某點測得山頂，塔頂之仰角分別為30°，

45°，求山高。

Ans:15（3＋1）公尺

【類題10】某建築物上有一塔，塔頂有一旗桿，已知旗桿長2公尺，今在平地上某點測

得建築物之頂，塔頂及旗桿頂之仰角分別為45°，60°和75°，則建築物之高度

為【】公尺。

Ans:1

-7-

【例題11】在O點有一船往正東方向航行，在其左側發現兩燈塔A與B，經測其方位，

A在北30°東，B在北75°東，該船航行15公里後，再測兩燈塔之方位，得A

在北45°西，而B在北60°東，則OA＝【】公里，OB＝【】公里，

兩燈塔距離

AB

＝【】公里。

Ans:(1)15（3－1）(2)

2

2615）＋（

(3)1534－

【類題11】有一船自定點P往正北方向航行，在其右側發現有二燈塔A與B，經測量其

方位「A在北45東，B在北15東」，該船行駛20公里到達Q點後，再測得

二燈塔方位「A在南60東，B在北30東」

，試求：

(1)點Q與燈塔A的距離。

(2)兩燈塔的距離。(但已知sin15

4

26

)

Ans:(1)20(31)公里(2)20325公里

-8-

焦點二三角函數值表：

1.三角函數值表：

(1)角度θ介於0o~45o時，求其某一三角函數值

)(f

，則為θ所在列與上方第一列中

)(xf

所

在之行的交叉處所指之數。

角度θ介於45o~90o求其某一三角函數值

)(f

，則為θ所在列與下方第一列中

)(xf

所

在之行的交叉處所指之數。

(2)觀察三角函數值表可看出其遞增與遞減之變化：

當角度介於0o~90o之間時，

sin

，

tan

，

c

皆為遞增函數；而

cos

，

cot

，

c

皆為遞

減函數。

簡單的遞增與遞減之變化如下：

0o30o45o60o90o

sin

0

2

1

2

1

2

3

1

cos1

2

3

2

1

2

1

0

tan

0

3

1

1

3

+∞

cot

+∞

3

1

3

1

0

c1

3

2

2

2+∞

csc+∞2

2

3

2

1

(3)線性內插法求三角函數值：當所求之角度在三角函數值表中無法查得時，可用線性內

插法求其三角函數值的近似值。此與對數的線性內插法原理相同，請參閱。

【例題1】利用三角函數值表，做下列各題：

(1)cos1610(2)tan1920(3)sin7920(4)cos800o40'

Ans:(1)0.9605(2)0.3508(3)0.9827(4)0.1622

【類題1】利用三角函數值表，做下列各題：

(1)sin1740(2)cot7040(3)c7840

Ans:(1)0.3035(2)0.3508(3)5.089

-9-

【例題2】已知sin33o30'=0.5519，sin33o40'=0.5544，試用線性內插法求sin33o33'？

Ans:約0.5527

【類題2】已知tan59o40'=1.709，tan59o50'=1.720，且tan=1.715，試用線性內插法求？

(0o90o)

Ans:約59o45'

【例題3】已知sin23o10'=0.3934，sin33o20'=0.3961，若270o360o，且sin=-0.3968，

則=?

Ans:336o37'

【類題3】已知sin47o20'=0.7353，sin47o30'=0.7373，試用線性內插法求sin227o23'。

Ans:-0.7359

-10-

【例題4】設80c,80tan,80cos,80sindcba

，試比較a，b，c，d之大小。

Ans:d>c>a>b

【類題4】試比較sin15o，cos25o，sin35o，tan55o，c65o之大小。

Ans:c65o>tan55o>cos25o>sin35o>sin15o

—課後練習—

1.某人要測河川之寬，在岸之一邊取兩點A，B；在對岸取一目標C，得∠CAB＝45°，

∠CBA＝60°，AB＝100公尺，則河寬為【】公尺。

2.根據氣象預報，某颱風於某日下午2時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方300公里處，

暴風半徑為250公里，以每小時50公里的速率朝「北30°西」等速直線前進。設此

颱風的速度，方向及暴風半徑都不變，則鵝鑾鼻燈塔在此暴風圈內前後共計有【】

小時。

3.有一砲臺從地平面上一點測得仰角為30°，向砲臺走近10公尺，再測得其仰角為45°，

則砲臺之高為【】公尺。

4.設有一梯子靠牆放與牆成15度角，梯長6公尺，則梯腳到牆角之距離為【】

公尺。

)

4

26

15(sin





5.有一條道路，其兩旁有一棟較高的大廈和一棟較低的公寓（在大廈的正對面），從大

廈屋頂測得對面公寓屋頂之仰角為45°，再測公寓的腳底點的俯角為60°，已知公寓高

為15公尺，則大廈的高度為【】公尺。（求至小數點以下第二位）

-11-

6.在一塔的正西A處與正南B點，測得塔頂之仰角分別為45°，15°，設

AB

＝100公尺，

則塔高為【】公尺。（已知tan15°＝2－3）

7.一漁船在湖上等速直線前進。已知上午9時50分，漁船在觀測點O的北方偏西70°，離

O點2浬處。上午10時10分則在觀測點O的北方偏東50°，離O點1浬處。則：

(1)此漁船的時速為【】浬／時。

(2)這段時間內，漁船離觀測點O的最近距離為【】浬。

8.從平地上A，B，C三點，測得某大樓頂之仰角均為30°，設∠ABC＝45°，AC＝300

公尺，則此大樓高為【】公尺。

9.自塔之東一點A，測得塔頂之仰角為45°，在塔之南60°東一點B，測得塔頂之仰角為

30°，設A，B相距471公尺，則塔高為【】公尺。

10.設有一湖，欲測湖岸兩點CD長，但湖岸築有鐵絲網不能靠近，在鐵絲網外取A，B兩

點間距離為30公尺，分別自A，B可看到其餘三點C，D，B或C，D，A，因而測得如

下圖，∠CAB＝120°，∠DBA＝135°，∠DAB＝30°，∠CBA=45°，則CD長為【】

公尺。

11.某人於山麓測得山頂的仰角為60，由此山麓循30斜坡上行200公尺，再測得山頂的

仰角為75，試求山高

(A)100(31)(B)100(31)(C)100(33)(D)100(33)(E)25(33)

12.老張從旗桿底O點的正西方A點測得桿頂T點的仰角為30，他向旗桿前進30公尺

至B點，再測得桿頂的仰角為60，則：

(1)旗桿高為

(A)15(31)(B)153(C)

3

20

(D)152(E)15公尺。

(2)B點與桿頂T的距離為

(A)30(B)

3

40

(C)10(D)22.5(E)303公尺。

(3)他由B點回頭向A點走到C點，測得桿頂仰角為45，則BC的長為

(A)15(35)(B)15(C)152(D)153(E)15(31)公尺。

-12-

(4)若他由B點向正南方走到D點，測得桿頂仰角為45，則BD的長為

(A)152(B)153(C)15(D)15(33)(E)15(31)公尺。

(5)tan∠AOD的值為

(A)

2

2

(B)3(C)2(D)

3

3

(E)

3

6

公尺。

13.已知tan36500.7490，tan370.7536，tanθ0.7500，0θ90，則下列何者與

角θ最接近？

(A)3651(B)3652(C)3653(D)3654(E)3655。

14.已知52.2361，若0θ90，tanθcosθ，利用三角函數值表，則下列何者與角

θ最接近？

(A)3750(B)38(C)3810(D)3820(E)3830。

15.已知sin360.5878，sin36100.5901，則下列何者與sin3608之值最接近？

(A)0.5893(B)0.5894(C)0.5895(D)0.5896(E)0.5897。

參考答案:

1.50（3－3）2.83.5（3＋1）4.

2

263）－（

5.35.496.25（6－

2）7.(1)37(2)

7

21

8.5069.47110.30（6＋2）11.(C)

12.(1)(B)(2)(A)(3)(E)(4)(A)(5)(C)13.(B)14.(C)15.(D)

.