sin15度

cos

α＝

x

；③

________

叫做α的正切，记作

tan

α，即

tan

α＝

(x

≠

0)

。

三角函数知识点梳理

1

、终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

_____________

或

___________

，

前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示。

2

、弧长公式与扇形面积公式

l

＝

________

，即弧长等于

_____________________

。

S

扇＝

____________

＝

____________

。

3

、三角函数的定义

任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

P(x

，

y)

，那么

①

____

叫做α的正弦，记作

sin

α，即

sin

α＝

y

；②

____

叫做α的余弦，记作

cos

α，即

y

x

(1)

三角函数值的符号

各象限的三角函数值的符号，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

(2)

三角函数线

下图中有向线段

MP

，

OM

，

AT

分别表示

_______

，

______

和

________

。

角α

角α的

弧度数

sin

α

4

、特殊角的三角函数值

0

°

30

°

45

°

60

°

90

°

120

°

135

°

150

°

180

°

270

°

360

°

※

sin15

°＝

6

－

2

，

sin75

°＝，

tan15

°＝

2

－

3

，

tan75

°＝

2

＋

3

，由余角公式

cos

α

tan

α

6

＋

2

44

易求

15

°，

75

°的余弦值和余切值。

5

．同角三角函数的基本关系

(1)

平方关系：

____________________.

(2)

商数关系：

________________________.

变形有：

_________________,___________________,_______________________.

6.

三角函数的诱导公式

公式一二三四五

六

角

2k

π＋α

(k

∈

Z)

π＋α－απ－α

π

2

－α

π

2

＋α

正弦

余弦

正切

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

7

．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：

拆角

上述过程体现了化归的思想方法。

8

．“五点法”作图

2

2

(1)

在确定正弦函数

y

＝

sinx

在

[0

，π

]

上的图象形状时，起关键作用的五个点是

_______

，

_______

，

_______

，

_______

，

_______.

(2)

在确定余弦函数

y

＝

cosx

在

[0

，π

]

上的图象形状时，起关键作用的五个点是

_______

，

_______

，

_______

，

_______

，

_______.

9

．三角函数的图象和性质

函数

y

＝

sinxy

＝

cosxy

＝

tanx

性质

定义域_______________________

图象

值域________

对称轴：

________

；

对称性

对称中心：

__________

最小正周期__________

________

对称轴：

________

；

对称中心：

__________

__________

R

无对称轴；

对称中心：

_______

_______

单调增区间

__________

；单调增区间

_________

；

单调性

奇偶性

单调减区间

___________

__________

单调增区间

_______

单调减区间

__________

_________________

11

、函数

y

＝

Acos(

ω

x

＋φ

)

的最小正周期为

____________

．

y

＝

Atan(

ω

x

＋φ

)

的最小正周期

为

________

．

12.

用五点法画

y

＝

Asin(

ω

x

＋φ

)

一个周期内的简图

用五点法画

y

＝

Asin(

ω

x

＋φ

)

一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．

ω

x

＋φ

x

y

＝

Asin(

ω

x

＋φ

)

0A0

－

A0

13.

图象变换：

路径①：先向左

(

φ

>0)

或向右

(

φ

<0)

平移

________

个单位长度，得到函数

y

＝

sin(x

＋φ

)

的图

象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的

______

倍

(

纵坐标不变

)

，得到函数

y

＝

sin(

ω

x

＋

φ

)

的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的

________

倍

(

横坐标不变

)

，这时的曲线就

是

y

＝

Asin(

ω

x

＋φ

)

的图象．

路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的

_______

倍

(

纵坐标不变

)

，得到函数

y

＝

sin

ω

x

的图象；然后把曲线向左

(

φ

>0)

或向右

(

φ

<0)

平移

_______

个单位长度，得到函数

y

＝

sin(

ω

x

＋φ

)

的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的

________

倍

(

横坐标不变

)

，这时

的曲线就是

y

＝

Asin(

ω

x

＋φ

)

的图象．

14

．函数

y

＝

Acos(

ω

x

＋φ

)

的最小正周期为

____________

．

y

＝

Atan(

ω

x

＋φ

)

的最小正周期

为

________

．

15.

（

1

）两角和差公式

sin







sincoscossin；

cos







coscossinsin；

tan









tan

tan

1

m

tantan

。

（

2

）倍角公式

sin22sincos；

cos2cos2sin22cos2112sin2；

tan2

2tan

1tan2

。

sin2

1cos2



22

1

底



高



1

（

3

）降幂公式

1cos2

；cos2。

22

16

、解三角形

§

1

）正弦定理

在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即

为ABC外接圆的半径）。

§

2

）正弦定理常见变形

abc

2R（R

sinAsinBsinC

（

1

）

asinAbsinBcsinC

，，；

bsinBcsinCasinA

abcsinAsinBsinC；

asinBbsinA，csinBbsinC，csinAasinC；

abcabc



sinAsinBsinCsinAsinBsinC

。

（

2

）

a

2RsinA，b



2RsinB，c



2RsinC，sinA



abc

，sinB，sinC。

2R2R2R

（R为三角形ABC外接圆的半径）

（

3

）三角形的面积公式：

Sr



abc



（r是ABC内切圆的半径）



111abc

absinCbcsinAacsinB

2224R

（R为ABC外接圆的半径）。

§

3

正弦定理的应用

（

1

）已知两角和一边，求其他两边和另一角；

（

2

）已知两边及其中一边的对角，求另一边和其他两角。

§

4

三角形解的个数问题

图形关系式解的个数

a

a

C

b

b

C

a

①

a=bsinA

一解

A

B

①

A

②

B②

a

≥

b

C

A

为锐角

ba

absinA

＜

a

＜

b

两解

A

B

1

B

2

C

b

aa

＜

bsinA

无解

C

b

a

A

B

C

b

aa

＞

b

一解

A

为钝角或直

AB

AB

角

C

b

a

AB

C

b

AB

a

≤

b

无解

在

ABC

中，已知

a

，

b

和角

A

，以点

C

为圆心，以边长

a

为半径画弧，此弧与除去顶点

A

的射线AB的交点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

§

5

余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的条弦的积的两

倍，即a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC。

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

余弦定理的变形：cosA，cosB，cosC。

2bc2ac2ab

点评

（

1

）若C



90

，则c2a2b2，这就是勾股定理，由此可知，余弦定理是勾股定理的推

广，勾股定理是余弦定理的特例。

（

2

）由定理知：若

A

为锐角，则

cosA



0，b2

c2

a2

0，即b2

c2

a2；若

A

为钝

角，则cosA



0，从而b2c2a20，即b2c2a2；若

A

为直角，则cosA



0，

b2c2a2。上述结论在解客观题时使用较方便。

（3

）将a2b2c22bccosA与b2a2c22accosB相加，得

2c2

2bccosA2accosB0，即cacosBbcosA，这就是三角形中的射影定理。

§6余弦定理的应用

（

1

）已知三边，求三角；

（

2

）已知两边及其夹角，求第三边和其他两角。

知能解读：解三角形

§7已知一边和两角（设为b，A，B），解三角形的步骤

（

1

）C



180





A



B

；

（

2

）由正弦定理得a



bsinA

sinB

；

（

3

）由正弦定理得c



bsinC

sinB

。

§8已知两边及其夹角（设为a，b，C），解三角形的步骤

（

1

）由余弦定理得c2

a2

b2

2abcosC；

（

2

）由正弦定理求边a

，

b

中较小边所对的锐角；

（

3

）利用内角和定理求第三个角。

§9已知两边及其中一边的对角（设为a，b，A），解三角形的步骤

（

1

）先判定解的情况；

（

2

）由正弦定理得sinB



bsinA

a

，求B；

（

3

）由内角和定理得C



180





A



B

，求C；

（

4

）由正弦定理或余弦定理求边c

。

§10已知三边a，b，c，解三角形的步骤

（

1

）由余弦定理求最大边所对的角；

（

2

）由正弦定理求其余两个锐角。

17、实际应用题

1

坡角：坡面与水平面的夹角，如图。

。

i=

α

h

l

h

l

2

坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比。即i



h

l

tan（i为坡比，为坡角），如图。

i=

α

h

l

h

l

3

仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水

平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。如图。

目标视线

铅

垂

线

仰角

俯角

水平视线

目标视线

4

方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的水平角（如图）

北

A

40°

P

B

240°

5

方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90

的水平角。

6

基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线。

在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度。一般来说，

基线越长，测量的精确度越高。

18、在ABC中，常用结论：

（

1

）A



B



C



π

；

（

2

）sin

AB

CABC

cos，cossin。

2222

（

3

）sin



A



B





sinC，cos



A



B





cosC；

（

4

）sin



2A



2B





sin2C，cos



2A



2B





cos2C；

（

5

）若AB，则sinAsinB。