教材教法

第十章中小学数学课程内容研究

第一节义务教育阶段数与代数内容研究

数与代数作为义务教育阶段最基本、最主要的课程之一，它的思想与方法对于学生理解数学的

意义、进而发展问题解决的能力以及形成正确、完整的数学观具有十分重要的作用，因此，数学

《课程标准》数与代数这一部分紧扣从实际问题出发，探索事物之间的关系、变化规律，从而把

研究对象一般化、或建立数学模型，即把实际问题数学化的过程，以及解释、应用和反思数学模

型的过程。同时，强调为每个学生创造学习机会，使学生获得运用代数的思想和方法认识和解决

问题的能力、推理证明的能力、数学表示与交流的能力，进而不断丰富自己的数学认识和感受。

鉴于《课程标准》将义务教育阶段划分为三个学段，其中，第一学段（1-3年级）、第二学段

（4-6年级）属于通常所说的小学阶段，而第三学段（7-9年级）属于通常所说的初中阶段。下

面我们仍按照小学、初中两个阶段分别分析义务教育阶段数与代数课程内容的特点。

一、小学数与代数课程内容的特点

（一）第一学段

第一学段的学生，其思维的特点往往是具体形象的，其认识事物的方式往往是具体的、局部的，

其认识的途径主要是通过对实物和具体数学对象（数、图形等）的观察、操作、归纳、类比等活

动，获得具体的结论。同时，他们具有一定的生活经验，比较关注自己周围有趣的事物。

正因为如此，第一学段数与代数领域设置了如下内容：万以内的数，简单的分数和小数，常见

的量，感受数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索简单的数量关系。

从课程内容特点上说，本学段的数与代数比较重视数字的现实意义，强调紧密联系学生身边具

体、有趣的事物，使学生体会数字用来表示和交流的作用；注重使学生通过观察、操作、解决问

题等丰富的活动初步建立数感；重视口算，加强估算，提倡算法多样化。同时，强调减少单纯技

能性训练，避免繁杂计算、程式化的叙述“算理”和人为的非本质术语。

1.数的认识

技术的发展和信息社会的到来，使得人们面对越来越多的数字。通过对数的认识的学习，将帮

助学生理解数字所表达的信息，发展学生运用数字进行表示、计算和交流的能力，发展学生的对

数感。

第一学段数的认识是小学生系统学习数学的启蒙阶段。其课程内容在《课程标准》上表述为6

条，现将其归结为三类：

第一类是，万以内的整数、简单的分数与小数的认识；

第二类是，等号=、不等号<、>的认识及其语言表示；

第三类是，数的标示、分析与交流。

下面，我们逐一分析。

（1）万以内的整数、简单的分数与小数的认识。

◆首先是，“能认、读、写万以内的数，会用序数表示生活中某些事物的顺序和位置”。认识万

以内的数是小学数学最基础的内容，也是每个小学生必须掌握的最起码的数学知识。在课程设计、

教学编排时，一般按照“20以内数的认识”→“百以内数的认识”→“万以内数的认识”三个步骤跨

越而至三个年级段，其中，“20以内”的认数、读数、写数是关键。

◆其次是，“能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义”。

由于我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各

级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。

◆再次是分数、小数的要求，即“能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写小数和

简单的分数”。

分数、小数是数的概念的一次重要扩展，与整数相比，分数、小数的学习要困难地多，分数、

小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，都与

自然数有较大差异。在这里，分数、小数的学习重点在于，结合学生的生活经验，初步理解分数、

意义，能认识小数，能够认、读、写小数和简单的分数。

（2）等号=、不等号<、>的认识及其语言表示。

即“认识符号>,<,=的含义，能够用符号和词语描述万以内数的大小”。如，在50,98,38,10,51

中，50比38大一些、比51小一些、比10大得多、比98小得多（大约是98的一半）；用>

或<表示上列数的大小关系。

这是学生首次接触不等关系及其符号表示，虽然这里仅仅局限在数的序的关系上。

（3）数的表示、分析与交流，以及数感、估算意识的培养。

◆首先表现在，“能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。能认、读、写小数和简

单的分数”。如，请你说出与日常生活密切相关的一些数及其作用。（如学号、班级号、鞋号、

体重等）

这是加强“数”的应用意识和交流意识的具体体现，其实，只有在交流和应用过程中，才能更深

刻地理解数的意义，逐步建立数感。

◆其次，表现在对“数感”和估算的要求，即“结合现实素材，感受大数目，并能进行估计”。如，

估计一张报纸一页的字数。（可以将一张报纸折成若干等份，通过其中一份的字数来估计整页的

字数）

这是以往的数学课程内容所忽略的，设置这些内容的一个基本出发点在于培养学生的估算意

识，落实数感的形成和培养。

2.数的运算

在第一学段，数的运算的主要内容在《课程标准》上表述为7条目标。从具体的知识技能方面

说，我们可以将其概括为四类内容：

第一类是，认识四则运算的意义；

第二类是简单的整数加减法以乘除法；

第三类是简单的分数、小数加减运算；

第四类是，运用数的运算解决简单的实际问题，以及估算意识培养。

下面，我们分别加以分析。

（1）认识四则运算的意义。

即“结合具体情境，体会四则运算的意义”。其实，四则运算是小学数学最基本的指示，四则运

算主要包括加法、减法、乘法、除法，在小学阶段，虽然这四个运算的表述十分直观，但是，对

初学数学的低年级学生来说，依然是比较困难的，必须结合他们的生活经验和具体的问题情境，

在学生已有的生活经历基础上，才能逐步抽象出来。

（2）简单的整数加减法以乘除法。

首先是，“能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口算百以内的加减法”。具体来说，

这里包含20以内的加减法，表内乘除法和口算百以内的加减法等三项内容。在这里，20以内的

加减法和表内乘除法是学习数的运算的前提和基础，熟练地口算是影响学生计算速度的关键，而

熟练地口算的前提是理解算理，因此，理解算理就成为达到奔向目标的关键所在。

其次是，“能正确计算三位数的加减法、一位数成三位数、两位数乘两位数的乘法、三位数除

以一位数的除法”。

如果说上一条要求是小学一、二年级教学的重点，那么，这项要求则是三年级教学的重点，其

中，两位数乘两位数的乘法以及三位数除以一位数的除法，是学生学习中的困难所在，

（3）简单的分数、小数加减运算。

即“会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算”。在这里，分数、

小数的运算是小学分数、小数运算的初步，主要涉及同分母分数（分母小于10）的加减运算以

及货币单位以圆为标价的小数加减运算，其主要的意图在于，初步认识小数、分数，为第二学段

进一步学习打下坚实的基础。

（4）运用数的运算解决简单的实际问题，以及估算意识培养。

其具体的含义，◆首先表现在，“经历与他人交流各自算法的过程”。这项目标实际上是对学

生参与数学学习的情感态度提出的要求，是情感态度价值观目标的具体化。

◆其次表现为，“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判

断”。在这里，其主要目的之一在于体现算法多样化。

以上两项目标实际上在具体落实第一学段“解决问题”和“数学思考”目标中的相关条文，如，“了

解同一问题可以有不同的解决办法。有与同伴合作解决问题的体验。初步学会表达解决问题的大

致过程和结果”。

◆再次表现为，“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”。如，每条小船限乘4人，

17人需要租几条船？

学生在接触这个问题时，利用估算，马上可以得出：4×4=16,4×5=20,需要租5条船。

其实，估算与学生的数学思维活动紧密相连，估算与精算共同组成运算能力，学生在估算时，

时常涉及合情推理和逻辑运算，涉及运算结果范围的估计以及灵活运算等，这些内容大大超过了

传统的计算能力的要求。

3、常见的量

量是现实生活中经常用到的。学生在生活中已经接触了大量生活中的量，这项目标的核心在于，

把学生日常生活中的一些经验概念转化为科学的量的概念，并用一些有效的方法解决生活中的一

些常见的简单问题。

在第一学段，对常见的量的课程要求可以分为四类：

第一类是人民币单位及其相互关系；

第二类是时间单位；

第三类是质量单位；

第四类是几种常见计量单位的应用。

下面分别加以分析：

（1）认识人民币单位。即“在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系”。

在第一学段，人民币单位元、角、分，只要求学习元、角、分的认识及其十进制关系，涉及元、

角、分的加减计算，以及直观的简易练习。

（2）认识常见的时间单位，包括两个方面：

一方面，“能认钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短”。如，估计

每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。

另一方面，在于“认识年、月、日，了解它们之间的关系”。

在这里，时间单位是比较抽象的单位，单位之间的进率、换算也比较复杂，其中的重点内容在

于，认识钟表，能正确读出钟表上的时刻，认识年、月、日，而其中的难点在于，理解24时计

时法及时间计算，以及闰年的判断。

（3）认识质量单位，即“在具体生活情境中，感受某些物体的质量，认识克、千克、吨，并

能进行简单的换算”。如，一本200页的课本大约有多少克?一千克鸡蛋大约多少个？

克、千克、吨是国际计量单位，也是我国法定的公制质量单位。作为小学对克、千克、吨的第

一阶段学习，其重点在于，使学生初步建立质量的概念，初步建立对生活中的常见物体质量的估

计意识。

（4）运用常见的计量单位解决简单的问题。即“结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问

题”。这一部分的目的在于，培养学生活学活用、在生活中学习、在学习中实践的学习习惯，逐

步形成良好的数学应用能力。

4、探索规律

即，发现给定的事物中隐含的简单规律。如，

在下列横线上填上合适的图形或数字，并说明理由：

▽，□，▽，□，________；

1,1,2,1,1,2,_______,______,_____。

之所以独立设置探索规律这部分内容，也是由于数学的特性所决定的，数学本来就是研究模式

和规律的科学，使学生逐步养成从数学的角度主动探索身边的事物之间的关系及变化规律，并用

适当的数学关系时表达出来，这是“数学思考”的重要表现，也是以往小学数学所缺乏的内容。

（二）第二学段

随着认识水平的发展和生活经验的丰富，进入小学四年级的学生对有现实背景的数学更感兴

趣。在此基础上，学生将进一步学习整数、分数和小数，初步了解负数，初步接触方程和成比例

的量，开始借助计算器进行计算和探索，更多地认识现实世界的数量关系，同时获得解决现实生

活中简单问题的能力。

1.数的认识

这一部分主要是对第一学段数的认识的进一步发展。主要包括如下类内容：

第一类是，小数、分数、百分数及其关系的进一步学习；

第二类是，万、亿等大数的认识及其负数的认识；

第三类是，自然数整除的一些初步知识；

第四类是，数及其表示在生活中的应用。

（1）小数、分数、百分数及其关系的进一步学习

这是小学分数学习的第二阶段，重点在于学习小数的意义、分数、小数的计数单位、性质等知

识。其具体的课程内容:

◆首先表现为，“进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和百分数之间的关系，

并会进行转化（不包括将循环小数化为分数）”。

在这里，既涉及小数的意义、小数的性质、小数大小的比较、小数点位置的移动引起小数大小

的变化，以及分数的意义、分数的性质、分数的大小比较等内容，也包括小数、分数和百分数之

间的数学规律的探索。值得注意的是，分数具有丰富的含义，如，分数有多层含义，一是作为有

理数出现的一种数，它可以与自然数一样参与运算，另一个是以比的形式出现的数。后者是小学

分数的重点，一个真分数代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性。

◆其次，包含“会比较小数、分数和百分数的大小”。比较小数、分数和百分数的大小，是在整

数大小基础上发展起来的，其目的在于，使学生进一步认识数值大小的实际意义。在这里，分数

的大小比较是难点。

（2）万、亿等大数的认识及其负数的认识

这里主要有三层含义：

◆首先，“在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位

表示大数”。这是小学生在小学阶段认识整数的最后一个阶段。其要旨在于，通过生活中各种恰

当的问题情境，让学生体验这些较大数目的实际意义。其中的难点在于，会用“万”、“亿”为单位

表示大数。

◆其次，“结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计”。如，通过多种方式认识“100万”：

100万次的心脏跳动相当于一个正常人多少天的心脏跳动？多大年龄的人能活100万小时？多

大的操场能容纳100万人？

在这里，“大数”实际上是指“万”以上的数。由于学生在生活中不常接触这些数，理解其实际意

义就变得比较困难，创设恰当的问题情境就成为这项目标实现的关键。

◆再次，“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题”。如，

用负数表示零下5度、地下1层。

引入负数，是20世纪90年代以来我国小学数学课程内容的一个突破点，在此之前，小学数学

的数系尚在“非负有理数”，让小学生接触负数初步，对于完善小学生的数学认知结构有帮助，同

时，这也是负数内容在义务教育阶段“螺旋式上升、多次出现、多次反复”的具体体现。

（3）自然数整除的一些初步知识

这是关于数的整除的指示，属于“数论初步”的一些基本概念。对此，主要包括三个方面的要求：

◆首先是，“在1～100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并知道2，3，5

的倍数的特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数”。

◆其次是，“在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因

数和最大公因数”。

◆再次是，“知道整数、奇数、偶数、质数、合数”。

作为自然数理论的基础，这一部分内容的重点在于，认识倍数、公倍数和最小公倍数，认识因

数，发现整数、奇数、偶数、质数、合数的结构特征。

（4）数及其表示在生活中的应用。即“进一步体会数在日常生活中的作用，会运用数表示事物，

并能进行交流”。

这一条目标实际上是进一步渗透数的应用意识和交流意识，是第一学段数的初步应用的进一步

发展。当然，此目标的实施宜结合多位数的认识和计算进行。同时，这也是为将来发展为“用字

母表示数”奠定基础。如，研究身份证号码、邮政编码等的编排规律，为你所在学校的每位学生

设计一个学籍号码。

再如，目前，全国许多省市的天气预报往往同时预报空气质量指数，请研究其中的一些规律，

并设法用“5、4、3、2、1”来表示空气质量的状况。

2.数的运算

这是2001年《课程标准》变化较大的一部分内容。其中，对四则运算与四则混合运算的要求，

不论是运算数目的大小，还是运算步骤的多少，与以往的《教学大纲》的要求相比，都有不同程

度的降低。

就其内容来说，可以概括为如下几类：

第一类，整数的乘除及其四则混合运算；

第二类，运算律及估算；

第三类，分数、小数的四则运算；

第四类，解决简单的实际问题。

下面分别加以分析。

（1）整数的乘除及其四则混合运算。

其详细的内容包括三层含义：

◆首先，“会口算百以内的一位数乘、除两位数”。这是在第一学段一位数乘以、除以两位数的

基础上提出的进一步要求。在这里，口算是笔算的基础，百以内的加减乘除运算是多位数四则运

算。

◆其次，“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法”。这项目标实际上是第一

学段两位数乘以两位数、三位数除一位数的进一步发展，其中的重点在于理解算理，学生接受比

较困难的是三位数除以两位数的除法。

◆再次，“能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不

超过三步）”。这是小学阶段首次提出整数的四则混合运算，因而，掌握四则混合运算得算理就

成为重点，而理解运算的顺序就成为学生的学习困难之所在。

（2）运算律及估算。

◆其内涵，一方面在于，“探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算”。小学数学中

的运算律主要有，加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律。掌握这些运算律，

是小学运算能力发展的基本前提和保障。这里的学习重点在于探索运算律，并逐步掌握应用运算

律简化运算、提高运算速度的一些基本要领，而如何使学生做到这一点，正是教学的难点。

◆另一方面是指，“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。这

是第一学段估算要求的进一步发展，不仅对估算的方法提出了要求，而且有估算习惯养成的问题。

对此，可以结合具体的典型事例，加以分析。如，298÷31的结果大约是多少？可以这样理解：

298可以近似看成300，31近似看成30，300除以30等于10，298÷31的结果大约是10。

+的结果比1大吗？可以这样分析：比大，而等于，+等于1，所以，+的结

果确实比1大。

（3）分数、小数的四则运算。即“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、

除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）”。这里实际上涉及到小数的加减法、小数的乘

除法、分数的加减法、分数的乘除法、小数四则混合运算、分数四则混合运算，以及分数与小数

的四则混合运算。

（4）分数、小数的四则运算。即“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、

除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）”。这里实际上涉及到小数的加减法、小数的乘

除法、分数的加减法、分数的乘除法、小数四则混合运算、分数四则混合运算，以及分数与小数

的四则混合运算。

（5）解决简单的实际问题。

所谓解决简单的实际问题，首先是指，“会解决有关小数、分数和百分数的简单实际问题”。这

是将数的运算与解决简单的实际问题结合起来的具体表现。当学生对小数、分数和百分数的运算

法则初步形成时，在实际问题之中应用小数、分数和百分数解决简单问题，也是强化认识、加深

理解的必然。

其次，是指“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系”。

这里的知识实际上涉及两点，一是加法与减法的互逆关系，二是乘法与除法的互逆关系，其中的

要害在于“具体运算”和“实际问题”，只有将二者融入同一个过程中，才能体会出两种运算的互逆

关系。

再次，是指“能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律”。

这里的重点在于掌握计算器的运算方法，而学习的知识基础是，多位数的运算、分数、小数运算。

如，任意给定四个互不相同的数字，将它们组成的最大数减去最小数，并对组成运算结果的四个

数字重复上述过程，你会发现什么呢？(利用计算器)

最后，“在解决具体问题的过程中，有估算的习惯”。如，估测一粒黄豆的质量。

（可以通过称100粒黄豆的质量进行估测，也可通过数0。5千克黄豆的粒数进行估测）。

3.式与方程

引入简单的代数式与一元一次方程，是20世纪90年代以来我国小学数学课程内容的又一个较

大突破点。当然，小学的式尚处在简单的代数式，一元一次方程也是形如3x+2=5,2x-x=3类型的

简单一元一次方程，这也是小学生数学认知规律所决定的，从具体的数过渡到含有字母的解析式，

人类毕竟经历了漫长的历程，同时，这块内容在第三学段还将系统学习，这里仅仅是渗透而已。

就其课程而言，这里实际上涉及字母表示、等式和方程三个核心术语，其课程要求是：

（1）“在具体情境中会用字母表示数”。这是字母表示数的初始阶段。如，汽车每小时行驶60

千米，行驶了a小时，共行程多少千米？(60a)

（2）“会用方程表示简单情境中的等量关系”。这是体现方程的模型思想的具体表现，其中的

关键还是在于寻找等量关系。

（3）“理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程”。这里实际上仅仅涉及形如ax±b=c，

ax±bx=c简单的方程（a>0，b≥0，c≥0），如2x-5=3,3x+x=16。

从课程编排的螺旋式上升的角度看，式与方程的这种编排实际上是义务教育阶段代数式、方程

的第一个循环。

4.正比例、反比例

作为反映数量关系的课程内容，比例是深化学生对数学量的认识的必不可少的素材。这里实际

上提出了三个方面的要求，一是理解实际情境中的按比例分配，并能解决简单的实际问题，二是

认识生活中的成正比例、反比例的量，三是能将正比例的两个量的数据描绘成直线图像，并能估

算其中一个量的值。

（1）“在实际情境中理解什么是按比例分配，并能解决简单的问题”。其中，在实际情境中

理解按比例分配的概念，并能掌握按比例分配问题的解答方法，是学习的重点，按照各部分之间

的比，说出各部分量和总量之间的关系，则是学习的难点。

（2）“通过具体问题认识成正比例、反比例的量”。如，按照中小学班级人数的标准编制，每

个班级以40-50人为宜，如果每个班级按50人计算，希望小学一年级今年暑假计划招收新生

12个班，那么，合计计划招收多少新生？如果每班按照60人计算呢？

再如，元旦晚会需要用小彩灯线装饰教室，彩灯线每米售价14元，购买2米、3米、……彩

灯线各要多少钱？

填一填：

长度/米01234567…

价钱/元04

把上表中长度和价钱所对应的点描在坐标纸上，再顺次连接起来，并回答下列问题：

a.所描的点是否在一条直线上？

b.估计一下买2。5米的彩带大约要花多少元？

c.四年级一班买的彩灯线的长度是四年级二班的2倍，一班所花的钱是二班的几倍？

（3）“能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的

值估计另一个量的值”。适当渗透函数思想并设法让学生初步感受，是把握这条目标的重要内容。

（4）能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。如，1200万元资金，准备

平均投资到西部开发的若干个项目，每个项目获得的资金数与项目数量之间的关系如下表：

资金数/（万元）1

项目数/（个）12

根据上表，在坐标纸上顺次连接各点。

看图填空：

a.项目数越大，每个项目获得的资金数越（）;

b.项目数越小，每个项目获得的资金数越（）;

c.如果投资到24个项目，大约每个项目将获得（）资金;

d.如果每个项目获得120万元资金，那么，项目数量必须达到（）个。

值得关注的是，这里决不是中学正比例函数y=kx和反比例函数内容的简单下放，而是

函数思想的渗透，函数内容的第一次循环。在这里，“实际情境”、“具体问题”、“生活中”是三个

要害。

5.探索规律

加强探索事物的数量关系或变化规律是义务教育阶段各个学段的整体要求。其中，对第二学段

的要求是“探求给定事物中隐含的规律或变化趋势”。如，由于工种和工作强度的不同，自三月份

第一天开始，爸爸每隔３天休息一天，妈妈每隔５天休息一天。爸爸、妈妈哪些日子同一天休息?

解决这个问题，学生可以有多种方法。如，用A表示上班，B表示休息。则按照题意可以将

爸爸、妈妈的作息情况分别表示如下：

AAABAAABAAABAAABAAABAAABAAABAAABAAAB……

AAAAABAAAAABAAAAABAAAAABAAAAABAAAAAB……

从而找出第12天是第一个共同的休息天，以后每隔11天，有一个共同的休息日。

学生也可以从整数整除的角度加以分析：如果把第一天记作序号1，以后每一天都按照自然数

编好序号，那么，爸爸的休息日是序号为4，8，12，16，20，……的日子，即序号被4整除的

日子；妈妈休息日的序号为6，12，18，24，30，36，……。于是，爸爸、妈妈共同的休息日

的序号为4和6的公倍数，即12，24，36，……，即每隔11天，有一个共同的休息日。

值得一提的是，在这里，要求学生能够发现给定事物中蕴含的规律，但并没有（也不可能让若

有的学生都达到）用字母或关系式表示出这些规律，而后者将在第三学段（初中）继续学习的内

容，这里的学习既是提高数学思维水平、学习数学分析、思考的要求，也是为将来的学习做好铺

垫。

二、初中数与代数课程内容的特点

（一）初中数与代数课程的价值取向及课程内容的基本结构

1．价值取向

作为义务教育阶段最基本、最主要的课程内容之一，初中阶段的数与代数课程内容，对于发展

学生的数感、符号感和抽象思维，促进学生在数学上的全面发展，具有其它内容不可替代的作用；

同时，数与代数的思想与方法对于学生理解数学的意义、进而发展问题解决的能力以及形成正确、

完整的数学观具有十分重要的作用。

2．内容特点

初中“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化

规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

就具体内容而言，初中数与代数涉及实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、

函数等知识，数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律的探索，一些有效地表示、处理和交流数量

关系以及变化规律的工具等内容。期望通过学习，发展学生的符号感，体会数学与现实生活的紧

密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。

（二）初中数与代数课程内容的主要特点

数与代数领域的内容包括数与式、方程与不等式和函数，它们都是研究现实世界数量关系和运

动、变化规律的数学模型。

1．重视数字的现实意义以及对数字的感受，体会数字用来表示和交流的作用。

通过探索丰富的问题情景发展代数运算的意义，在保持基本笔算训练的前提下，强调能够根据

题目条件寻求合理、简捷的运算途径和运算方法，加强估算，引进计算器，鼓励算法多样化；淡

化繁杂的数字计算(如淡化二次根式的运算)，适当弱化恒等变形(如多项式计算，乘法公式，因式

分解)，适当削弱二次函数的极值问题，无理方程、可化为一元二次方程的分式方程等内容不作

要求。

应当看到，寻找问题的精确解是重要的，寻找具有某一精确度的近似解也同样是重要的。基于

这一认识，“数与代数”重视寻求具有某一精确度的近似解，强调估算的重要性。通过估算和求近

似解，使学生形成和发展数的意识，特别是获得对大数和小数的感受；同时也十分强调用图解法

求代数问题的近似解。例如，一次水灾大约有20万人的生活受到影响，灾情将持续一个月。请

推算：大约需要准备多少顶帐篷？多少吨粮食？（假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需

要5万顶帐篷；假如一个人平均一天需要0.5千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食……）

2．通过探索丰富的问题情景，通过数学活动、数学实验，使学生获得数感、符号感，体会数

字和符号用来进行表示及交流的作用，并感受数学与现实世界、数学与自然和人类社会的密切

联系。

对于应用问题，强调现实性、趣味性和可探索性，题材呈现形式多样化(表格、图形、漫画、

对话、文字等)；强调对信息材料的选择与判断(信息多余、信息不足……)；解决问题策略多样化，

问题答案可以不唯一；淡化人为编制的应用题类型及其解题分析。例如，结合自己的生活经验，

对代数式3a+1作出解释。学生可以这样说，用100元买了价格相同的三个茶杯，剩1元钱，

每个茶杯的价格是a元，那么，3a+1可以解释为：这是三个价格相同的茶杯的总价格与1元钱

的和，它等于100元…。

3．突出代数的思维特征，强化符号表示极其转换。

《课程标准》认为，数学对象的多重表示及表示之间的转换，是“数与代数”学习的核心，通过

问题的符号表示、表格表示、图像表示和语言表示，使学生初步体会数学可以发现、描述、分析

客观世界中多种多样的模式，从多个角度获得对数学概念和数学过程的感受和认识，把握事物的

变化和事物间的关系，初步发展学生的符号意识，学会用符号表达现实问题中的一些基本关系，

会初步进行符号运算。例如，用图形计算器（或其他辅助手段），探索二次的

参数的变化对图像的影响，以及图像变化对参数的影响。

4．《课程标准》下的“数与代数”强调选择实际性、趣味性、探索性强的应用问题，强调对信

息材料的选择和判断，强调解决问题策略的多样化，强调实际问题数学化的过程,强调培养和发

展学生的数学应用意识及数学应用能力，使学生初步体会数学可以帮助人们发现、描述、分析

客观世界中多种多样的模式，把握事物的变化和事物间的关系。

在《课程标准》下，方程和函数是刻画现实世界，有效地表示、处理、交流和传递信息的强有

力工具，是探究事物发展规律，预测事物发展的重要手段。《课程标准》重视对简单现实问题的

建模过程，主张让学生学会选择有效的符号运算程序和方法解决问题，重视近似解法特别是图像

解法。

5．《课程标准》把现代技术手段（计算机、计算器）的运用作为教与学必不可少的辅助手段，

并认为现代技术的运用不仅改变教数学、学数学、用数学的方式，还必将引起对学校数学的重

新认识，引起课程观、教学观等深层次的变化。

事实上，《课程标准》对计算器、计算机的基本定位是，帮助学生从繁杂的计算中挣脱出来、

解放出来，使得学生有更多的时间和精力投入到具有探索性和挑战性的问题研究之中。例如，用

计算器探索开平方的规律----任意在计算器上输入一个不等于0且大于1的正数，如2，连续不

断地进行开平方运算，观察所得的结果有什么规律？你能解释其中的道理吗？

如果更换为其它的不等于0且大于1的数，是否也有类似的规律？

如果更换为其它的不等于0且小于1的正数，是否也有类似的规律？

（屏幕上显示的结果呈现这样的规律----如果输入的数字a是大于1的数，那么，屏幕上显示

的数值逐渐减小，越来越接近于1，但不等于1，当超过计算器的精确度时，屏幕上显示出1；

如果输入的数字a是小于1的正数，那么，屏幕上显示的数值逐渐增大，越来越接近于1，但不

等于1，当超过计算器的精确度时，屏幕上显示出1；表示屏幕上

显示的结果，随着开方次数n的增加，的指数在不断减少，其值视a小于1（大于1）而

不断增加（减少），但当开方次数n充分大时，充分小，越来越接近0，的值也越来

越接近1）

6．强调代数推理

《课程标准》认为，推理与证明是重要的数学内容之一，通过“数与代数”的学习，使学生得到

推理与证明的训练，并逐步理解数学思维的特点、体会证明的意义。这是《课程标准》“数与代

数”区别于《教学大纲》“代数”的又一特点。例如：

下表是某月的月历：讨论如下问题：

一二三四五六七

1234

567891011

718

192

2627282930

你能从日历中发现有趣的结论吗？

让我们来观察阴影部分的四个数，你注意到这四个数的特点了吗？你是否比较了对角线上两个

数的乘积？

如果对角线上两个数的乘积分别是65和72，那末这四个数分别是多少？

试找出适合所有这样四个数的规律。你认为这个规律适合任意一个月吗？证明你的结论。

如果在表中任选3行、3列的9个数，你能发现其中的某些规律吗（如，这9个数的和有什

么规律）？（如，最后一个问题的参考答案是：如方框中9个数的和是144，如果我们用a表

示方框中间的数，则方框中的数可以表示为图示中的关系。很显然，这9个数的和等于9a。因

此我们判断任意一个这样方框中的9个数的和都是中间数的9倍。而且，该规律适用于任意一

个月的日历。）

a-8a-7a-6

a-1aa+1

a+6a+7a+8

7．强调代数的表达与交流功能

代数是一种语言，是表示与交流的手段。既然是一种语言，代数不可避免地就要有它的语法规

则。同时代数也是一种问题解决的工具。既然是一种工具，学生不可避免地就要经历语法操练——

形式演算的过程，以达到运用代数这一工具进行问题解决的目的。但是《数与代数》认为应通过

探索丰富的问题情境理解运算的含义，在保持基本笔算训练的前提下，能够根据题目条件寻求合

理、简捷的运算途径和运算方法，强烈主张淡化繁杂的数与式的计算、淡化恒等变形，并把带分

数运算、根式计算、无理方程列为基本要求之外。

第二节义务教育阶段空间与图形课程内容研究

作为《课程标准》的四个领域之一，“空间与图形”是在传统意义上的几何内容基础上发展起来

的，它主要研究现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是

人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。

一、义务教育阶段空间与图形课程内容的整体特点

新理念下义务教育几何课程，既不是典型的直观几何、实验几何，也不是以往的综合几何，而

应该广泛吸收直观几何、实验几何的特点，采取分段设计的课程风格，即，直观几何、实验几何

与综合几何（以论证为主）分段处理，有所侧重：

首先是直观和经验，接着是说理与抽象，最后是演绎的方案。即，首先在小学出现直观几何，

先让学生对几何图形及其性质形成直观感受，然后向初中的实验几何过渡，也就是让学生自己动

手操作，拼拼、画画、剪剪，结合小学讲的几何初步得到新的结论、性质，再用这些简单的图形

性质进行简单的逻辑推理，做到言必有据。而后，在此基础上再进行论证几何。以直线形为例，

先借助直观认识一个直线形，进而借助多种手段合乎情理地发现它的某些几何性质，接着通过演

绎推理把这个性质搞定。看上去，强化了直观和实验，弱化了推理，事实上，这里的直观和推理

二者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。显然，这是让直观几何和推理几何并重,

把发现和证明绑在一起，与传统的综合几何课程体系确有不同。

与以往的综合几何课程设计风格相比，《课程标准》下的几何已经将直观几何和实验几何的触

角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求

有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限制，另一方面体现在，弱化了

相似形和圆（包括圆与直线之间的关系）的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出

现。

新理念下义务教育阶段空间与图形课程内容的突出特点体现为：以“立体—平面—立体”为主要

线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位

置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际

活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”+“推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的

审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础

之上的几何推理的学习。

小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何，而不是以往习惯的单纯几何计算。初

中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观

几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与

欧式公理体系有所不同。

二、小学空间与图形课程内容的特点

小学空间与图形课程内容主要包括，图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置。与以往的

“几何初步”相比，这些内容是从四个不同的角度，分别展示人们认识和描述生活空间并进行交流

的重要工具，而不是局限在从综合几何的视角介绍几何初步的基本知识。

下面，我们结合小学两个学段的不同特点，具体分析小学空间与图形的课程内容。

（一）第一学段

在小学第一学段，学生是小学1-3年级的学生，学龄均在0-3年。他们的思维基本处于形象、

直观阶段，学前期间的经历和儿时的活动经验成为他们进行空间与图形学习的重要基础。

在这一学段，学生将认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物体

相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，建立初步的空间观念。

就课程内容的结构来说，这些课程内容实际上包括认识简单图形，学习量与测量，初步地直观

感知几何变换，认识位置等四块内容。

1.简单图形的认识

主要内容有，辨认简单的几何体以及平面图形，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征，

会运用平面图形的学具进行拼图等。

（1）简单立体图形的认识。

这项目标包括三层含义：

首先，“通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱、圆锥以及球等立体图形”。

在生活中，人们最先感知的是三维世界，常常需要描述事物的形状、大小，并用恰当的方式表

述事物之间的关系。因此，让学生在观察实物和模型来辨认立体图形是“空间与图形”学习的开始。

同时，让学生在观察立体图形中认识图形特征，也是2001年《课程标准》强化的内容之一。在

这里，实际上是主要通过对学生生活中常见实物和模型的观察，初步认识立体图形，感受立体图

形有各种不同的特征。

其次包括“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”。

从不同角度观察同一物体，是《课程标准》新增加的内容，也是注重从学生生活经验中形成空

间观念的举措之一。让学生体会到站在不同的位置看物体，看到的形状可能并不完全相同。这与

学生的生活经验是一致的。这一活动过程中，涉及学生的空间想象和对几何图形的记忆，这是发

展学生空间观念的重要基础。本目标是学生通过不同角度的观察，能说出简单物体的大致形状。

因此，实施的重点是让每个学生有观察的机会，只有在他们的亲身观察中，才会体会到：同一物

体在不同角度看到的图形形状是不同的。

再次，包括“能对简单几何体进行分类”。分类思想方法是重要的数学思想方法之一，分类思想

方法可以培养和提高学生的概括能力，也是解决问题的重要方法。通过对简单几何体的分类，进

一步认识简单几何体的本质特征。

（2）封闭的简单平面图形的认识。

在这里，主要涉及简单的多边形、圆等简单平面图形。

首先，是“辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单平面图形”。

长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等是最基本的平面图形。认识这些基本图形是学生

进一步学习的基础，也是学生从实物立体图中逐步过渡到抽象的平面图形的过程。本目标的重点

是辨认，即能用学生自己的语言，叙述对平面图形的感受，能说出这些图形的不同特征。

其次是，“通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征”。允许学生用自己的

语言把观察、操作中探索的体验表达出来是把学生作为“学习的主人”的体现，也是逐步发展学生

数学语言的过程。本目标实施的重点是尽可能地为学生提供观察、操作的机会，并能用自己的语

言描述长方形、正方形的特征，而不是简单地、机械地让学生模仿教师和书本上的语言。

再次是，“会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图”。用长方形、正方形、三角形、

平行四边形或圆拼图，是《课程标准》新增加的内容，这是从儿童“拼图”游戏中迁移过来的学习

内容。增加这一部分内容，就是为了向学生提供几何直觉的学习素材。通过学生的拼图活动，进

一步认识长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆的特征。本目标实施重点是让学生独立操作

拼图，难点是对所拼的图形进行想象。

（3）角的认识。

即“结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角”。

重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系，是《课程标准》理念之一，“结合生活情境认

识角，会辨认直角、锐角和钝角”是以学生生活情境为背景，从中概括出角的特征，不需要用严

密的概念定义来描述，是以学生体验的感受进行描述。

2.测量

主要内容有：测量物体的长度和面积，估计物体的长度和面积，探索长方形、正方形的周长和

面积的计算方法，认识常用的长度单位和面积单位。

主要包括如下三类要求：

（1）物体长度和面积的度量与估计。

首先包括“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，在测量过程中，体会建立统

一度量单位的重要性”。

强调对量的实际意义的理解，以及对测量过程的体验，是《课程标准》测量具体目标的一个特

点。这里所指的“经历”是指在课堂教学中每个学生都参与测量物体长度的活动，并且测量的方法

是多样的，学生在测量和交流活动中，逐步体会到建立统一度量单位的重要性。

其次包括“能估计一些物体的长度，并进行测量”。

在生活中，我们常常需要大体地估计一些物体的长度，能否具备这种估测能力，反映出一个人

的数学素养和生活技能，培养学生估计一些物体长度的能力，实际上就是发展他们的空间观念。

本目标的进行测量有两层含义：一是对估计的结果进行检验，二是掌握测量的方法。

具体表现为以下两个特点。

一是把某些计量单位的认识、图形的周长面积等计算同测量结合起来，在测量的过程中感受建

立计量单位的需要，探索计算周长与面积的方法。在第一学段提出“结合生活实际，经历用不同

的方法测量物体长度的过程；在测量活动中，体会建立统一度量单位的重要性”。“指出并能测量

具体图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式”。“能用自选单位测量图形的面积，体

会并认识面积单位”。这里把测量同学习周长和面积结合起来，学生在学习周长和面积时，不是

单纯地记住计量单位，运用计量单位进行计算，而是在测量物体的过程中，感受到运用统一的计

量单位的需要。

二是要求学生进行实际物体的测量活动，从中感受测量的过程和解决问题的思路。标准在两个

学段都提出测量物体的要求。第一学段提出“能估计一些物体的长度，并进行测量”。第二学段提

出“能用方格纸估计不规则图形的面积”，“探索某些实物体积的测量方法”。人们在日常生活中经

常会遇到测量物体或图形的大小，这些物体或图形往往是不规则的。以往的教学大纲只是注重标

准图形的计算和测量，对不规则图形很少涉及。标准在削减一些平面图形的纯计算要求后，对不

规则图形的测量内容提出了较高要求。

（2）长方形、正方形的周长和面积的计算。

首先是“指出并能测量具体图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式”。

《课程标准》为了克服以往《大纲》单纯的平面图形面积、周长计算问题，融计算于几何直观

和反映空间观念的问题之中。为了落实这一理念，提出此具体目标。本目标提出在测量具体图形

中探索周长公式，其目的是注重学生探索的过程。本目标实施重点是探索公式的形成过程，而不

是把重点放在公式的结果上。

其次是“探索并掌握长方形、正方形的面积公式，能估计给定的长方形、正方形的面积”。

以往《大纲》只是要求“掌握”，《课程标准》要求是“探索并掌握”，其目的就是重视公式的形

成过程，改变过去那种只重视“结论”忽视“过程”的做法。也是要求转变学生的学习方式，要通过

学生实验、操作，探索出长方形、正方形面积公式，“能估计给出的长方形、正方形面积”是对公

式的进一步理解和掌握，同时也是发展学生空间观念的过程。

（3）常见长度单位和面积单位的认识。

首先是“在实践活动中，体会千米、米、厘米的含义，知道分米、毫米，会进行简单换算，会

恰当地选择长度单位”。

由于千米、米、厘米是在生活中运用的比较多的长度单位，因此对它们的要求是“体会”，而对

厘米、毫米的单位只要求“知道”。

但是千米、米、厘米、分米、毫米都应在实践活动中去“体会”、“知道”，目的是在实践活动中

建立长度单位的实际概念，并能恰当地选择长度单位以及进行简单的单位换算。

其次是“结合实例认识面积的含义，能用自选单位估计和测量图形的面积，体会并认识面积单

位（平方厘米、平方米、平方千米、公顷），会进行简单的单位换算”。

什么是面积？人们会感到很抽象，往往会考虑到具体的物体或图形，小学生更是如此。因此结

合实际来认识面积是非常重要的。同时要结合实践活动，让学生在实际测量中体会统一测量单位

的必要性，以及建立面积单位的实际概念。对于平方厘米、平方米学生比较容易感受，而对平方

千米、公顷就感到很抽象，因此也要通过实例来帮助学生理解和建立平方千米、公顷的实际概念。

3.图形与变换

主要内容有：感知平移、旋转、对称现象以及认识对称图形；能画出简单的平面图形和轴对称

图形等。

（1）感受变换。

即“结合实例，感知平移、旋转、对称现象”。

平移、旋转、对称现象是图形变换的基本形式，对学生认识丰富多彩的现实世界，形成初步的

空间观念，以及对图形美的感受与欣赏都是十分重要的。对平移、旋转、对称现象的要求是结合

实例“感知”，就是让学生在生活的实例中，认识这些现象，并能说一说生活中的这些现象。

就具体的目标编排上看，平移、轴对称、旋转的要求分两个阶段进行：

第一学段要求“结合实例，感知平移、旋转、对称现象”，并在具体案例中提出组织学生观察现

实生活中的实例。如“方向盘的转动”、“水龙头开关的转动”、“电梯的上下移动”、“钟摆的运动”

等。标准中要求学生“能在方格纸上画一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”。为达

到这一要求，学生要在头脑中形成平移图形的概念，具有一定的空间观念和想象能力。在第二学

段，对图形的平移、旋转提出了进一步的要求，“通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在

方格纸上将简单图形平移旋转90°。”“欣赏生活中的图案，灵活运用平移、旋转在方格纸上设计

图案。”这进一步深化了学生对图形的平移、旋转的认识，以及运用这方面知识解决问题的能力。

（2）进行简单的画图，认识轴对称图形。

首先是，“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”。

学生能否在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形，标志着学生是否

正确认识了平移现象。因为图形平移是图形上所有点的集合向着一定方向等距离移动，本学段只

要求画出水平方向和竖直方向平移后的图形。

其次是，“通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”。

在2000年《大纲》的教学要求中，对观察生活中的对称没有提出具体的要求，仅在六年级的

数学内容中列出了：“轴对称图形的初步认识”。《课程标准》已经提出了“结合实例，感知对称

现象”，本具体目标就是在学生感知对称现象的基础上提出来的。前一条目标是通过观察、操作

的方法，认识轴对称图形，后一条目标则是运用对称图形的特点，画出轴对称图形，后一条目标

是教学的难点。

4.图形与位置

（1）认识物体的相对位置

即，“用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置，用上、下、左、右、前、后描述物体

的相对位置”。

这是《课程标准》新增加的内容，有利于学生认识生活空间。物体的相对位置包括两层含义，

一是认识生活情境中的物体的相对位置，二是认识平面图形中的物体的相对位置。实施的重点是

学生能用自己的语言描述物体的相对位置，而这种描述应与生活常识一致。

（2）认识方向和路线图

即，“在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中，给定一个方向（东、南、西或北）辨

认其余七个方向，并能用这些词语描绘物体所在的方向；会看简单的路线图”。

辨认方向和会看简单路线图是《课程标准》新增加的内容。辨认物体的方向，会看懂自己生活

环境的路线图，是学生的一种基本生存能力，也是学生从熟悉的环境中建立空间观念的一条有效

途径。辨认东、南、西、北和东西、西北、东南、西南八个方向可以建立空间方向感，也是以后

学习几何方位知识的基础。本目标实施重点是东、南、西、北四个基本方向，难点是会看简单的

路线图。

(二)第二学段

在本学段中，学生将了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步认识图形变换和物体

的相对位置等。

学生在第一学段的“空间与图形”的学习中，已经初步认识了简单几何体和平面图形，图形变换

和物体相对位置，这些是学生进一步学习的基础。在第二学段里学习的内容将逐步抽象，学习的

要求将进一步提高。为此，《课程标准》提出了实施第二学段的总要求：在教学中，应注重使学

生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变

换；应注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，发挥学生的空间观念。

1．图形的认识

主要内容有：认识线的特征和平面上线的位置，理解角的大小关系，认识基本的平面图形特征

以及简单几何体的特征等。

（1）认识线的基本特征

首先是“理解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”。

认识点、线是进一步学习平面图形的基础。在小学阶段点、线的概念是用描述性语言表述的。

在教学中，要通过观察、实践和推理、判断等手段了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一

个点。

其次是“能区分直线、线段和射线”。

区分直线、线段和射线主要是区分它们各不相同的特点，是进一步学习角、平面图形特征的基

础。

再次是“体会两点间所有直线中线段最短，知道两点间的距离”。

学生在第一学段的学习中，已经具备了一定的抽象思维能力，本目标要求的目的就是要求学生

在实践生活中，对活动的过程和结果进行思考和直观的推理。

最后，是“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。

本目标提出了图形与生活的联系，充分利用学生已有的生活经验来学习数学，是《课程标准》

的理念之一。在平面上，两条直线有平行和相交（包括垂直）两种位置关系，在三维空间上，两

条直线有平行、相交、异面（既不相交又不平行）三种位置关系。学习两条直线的位置关系，是

进一步学习几何图形特征的基础。

（2）理解角的大小关系

即“知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”。

在第一学段里，学生已经知道了直角、锐角和钝角，在此基础上，在第二学段里将进一步学习

周角、平角以及各种角之间的大小关系。为进一步学习平面图形特征奠定基础。

（3）认识简单平面图形的基本特征

首先是“通过观察、操作、认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆”。

本目标是在学生直观认识平行四边形、梯形和圆以及有关角、线段、平行线、垂线等基础上，

从理性上进一步认识平行四边形、梯形和圆，认识的手段是实践、观察、操作，这与以往《大纲》

要求是不一样的。

其次是“认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边，三角形内角之和是

１８０°”。

“了解三角形两边之和大于第三边”是《课程标准》新增加的内容，目的是了解三角形边与边之

间的关系。本目标实施的重点是认识三角形，运用三角形特征解决一些简单的实际问题。

再次是“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”。

三角形按边可分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形，按角可分为锐角三角形、直角三角

形和钝角三角形。把三角形按边或角分类，是进一步学习三角形的基础。本目标是从边、角的角

度来进一步认识三角形，实施重点是学生理解三角形分类标准，懂得同样一个三角形，按照不同

的分类标准，可以得到不同的三角形的道理。

（4）认识简单几何体的特征及物体的观察

一方面是，“通过观察、操作、认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆

锥的展开图”。

本目标是在学生直观认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，以及认识长方形、正方形、三角形、

平行四边形、梯形和圆的基础上提出的，学习一些常见的物体的知识。学习手段仍然是观察、操

作。

另一方面是，“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”。

“从不同方向看同一物体”是《课程标准》新增加的内容。目的是加强数学与生活的联系，学生

在不同方向观察物体的形状，需用不同图形的侧面来想象物体形状，有利于发展学生空间观念。

这个具体目标实际上是第一学段具体目标“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”

的发展。本具体目标实施重点是重视从不同方位观察、积累图象结构。

2．测量

主要内容有：角的度量，平面基本图形以及不规则平面图形的测量，简单几何体，某些实物的

测量等。

主要包括如下三类内容：

（1）角的度量。

首先包括“用量角器量指定角的度数，会画指定度数的角，会用尺画３０°，４５°，６０°，９

０°角”。其次包括“会用三角尺画３０°，４５°，６０°，９０°角，是以往《大纲》中没有要求的，

《课程标准》增加这部分内容，目的是使学生能灵活运用工具，画一些特殊度数的角。

（2）平面基本图形以及不规则平面图形的测量。

首先包括“利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式”。

本具体目标实施的重点是“探索”三角形、平形四边形和梯形的面积公式。

其次包括“探索并掌握圆的周长和面积公式”。本具体的目标实施重点是“探索”圆的周长和面积

公式。

再次是“能用方格纸估计不规则图形的面积”。

“估计不规则图形面积”是《课程标准》新增加的内容。在现实生活中，人们大量接触的是不规

则的图形。但在我们以往的《大纲》中，学习的都是标准图形或比较标准的组合图形，因此学生

面对现实生活中的实际问题常常会出现束手无策的现象。“标准”提出“能用方格纸估计不规则图

形的面积”目的是让学生解决平面图形中不规则图形的问题，解决的方法是把不规则图形转化为

一个或几个近似的规则图形，一方面可以提高学生解决问题的能力，另一方面可以促进学生空间

观念的发展。

（3）简单几何体以及简单实物的测量。

首先包括“通过实例，了解体积（包括容积）的单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫

升），会进行单位之间的换算，感受１立方米，１立方厘米以及１升，１毫升的实际意义”。

《课程标准》对实现这一部分内容提出了具体的方法和手段即“通过实例”来完成。本目标的具

体要求包括三个方面：一是了解体积（包括容积）的意义；二是认识体积的度量单位以及单位之

间的换算；三是感受基本的体积单位或容积单位的实际意义。

其次包括“结合具体情境，探索并掌握长方形、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的

计算方法”。

《课程标准》提出“探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方

法”要在解决具体问题的情境中来完成。

再次是“探索某些实物体积的测量方法”。

现实生活中，有些实物的形状是不规则的，没有计算这些不规则实物的体积计算公式。在教学

中，可以通过一些实例，让学生探索、掌握一些测量不规则实物体积的一般方法。基本方法是转

换的思想方法。即通过转换方式，用间接计算的方法来测量。实施本目标的重点是渗透“等积变

形”的思想，即同样一个实物，其形状可以有不同的变化，但它们占空间位置的大小是不变的。

3．图形与变换

主要内容有：在方格纸上画对称轴，认识简单的相似图形，利用平移、对称和旋转在方格纸上

设计图案等。具体目标如下：

（1）认识简单的相似图形

即“利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似”。

“按一定比例将图形放大或缩小”是《课程标准》新增加的内容，目的是使学生体会图形的变换，

为学习相似图形奠定基础。实施本目标的重点是通过学生的动手实践，将图形按比例扩大或缩小，

体会图形大小发生变化了而形状没变。

（2）利用变换进行简单作图

首先，包括“用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图

形”。

关于对称图形，在第一学段里，《课程标准》已经提出了“通过观察、操作后，认识轴对称图

形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”的要求，本目标是第一学段目标的发展。通过

折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，一方面提高了学生的动手能力，另一方面帮助学生进一步

认识对称轴和验证对称轴。学生认识了对称轴，就能认识对称图形的本质。《课程标准》提出“能

在方格纸上画出一个图形的轴对称图形”的要求，不仅要求学生画简单的对称图形，而且要求学

生能够在方格纸上画一些较复杂的对称图形，既有利学生认识对称图形，又有利于发展学生空间

观念。

其次，包括“通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。”

关于平移和旋转，《课程标准》在第一学段提出了“结合实例，认识平移和旋转”。本目标将在

第一学段要求基础上，提出了更高的要求，一方面通过观察实例，深化对平移，旋转图形的认识，

另一方面把平移、旋转后的图形在方格纸上表示出来。发展学生空间观念。

再次，包括“欣赏生活中的图案，灵活运用平移，对称和旋转在方格纸上设计图案”。

在现实生活中，存在着无数个奇妙的图案，如何引导学生用数学的眼光认识世界，欣赏生活中

美的图案。应该是《课程标准》提出的具体目标之一。《课程标准》提出了设计图案的要求，这

是学生综合运用知识的过程，这个过程应该是开放式的，允许学生设计不同的图案，可以从一个

或几个简单的图形出发，将图形经过若干次对称、平移、旋转得到一系列图形，形成一个图案。

4．图形与位置

主要内容有：认识比例尺，会在图上距离与实际距离之间进行换算，能根据方向和距离确定物

体的位置，能描述简单的路线图以及用数对表示位置等。具体目标如下：

（1）比例尺

了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。

《课程标准》提出本具体目标，目的是加强了比例尺在生活中的实际应用。在现实生活中，经

常要把地图和平面图的距离换算成实际的距离，而这种换算关键在于了解比例尺的实际意义。实

施本目标分两步，一是了解比例尺，知道比例尺的实际意义；二是在解决具体问题的情境中，根

据给定的比例进行换算。

（2）能描述简单的路线图

“描述简单的路线图”是《课程标准》新增加的内容。能描述简单路线图，首先要对路线图周围

环境存在的物体有位置和方向感，其次大脑中要构成图像，因此，描述简单路线图对发展学生空

间观念是十分有益的，同时提高学生生存本领。

（3）位置确定

首先“能根据方向和距离确定物体的位置”。

在第一学段里《课程标准》已经提出了“在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中，给

定一个方向（东、南、西、北）辩认其余七个方向，并能用这些词语描绘物体所在方向”的要求。

本目标是第一学段目标的发展。不仅仅要求辩认方向，而且还要确定物体的距离和位置。

其次是“在具体情境中，能用数对来表示位置，并能在方格纸上用数对确定位置”。

“用数对表示位置”是《课程标准》新增加的内容，目的是把具体物体的相对位置抽象为初步的

平面坐标的表示形式，为进一步学习平面直角坐标系奠定基础。

三、初中空间与图形课程内容的特点

（一）结构特点

《课程标准》改变了以欧几里德几何《原本》中的公理体系为主线、按照知识的逻辑线索呈现

几何内容的处理方式，以“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”为四条线索将空

间与图形内容自然展开，遵循学生的认知特点螺旋式上升，逐学段层层推进，整个内容围绕图形

而展开，以培养空间观念、几何直觉、推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的现实空间为

目标，使学生既理解和掌握一些必要的几何事实，又经历和体验几何活动的探索、交流过程，形

成空间与图形学习的积极情感和态度。《课程标准》提倡以“问题情景—建立模型—解释、应用

与拓展、反思”的基本模式展现空间与图形内容，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程。这与

以往的几何教材主要采取“公理、定义—定理、性质—例题—习题”的结构形式，有较大区别。

（二）内容体系

初中空间与图形的课程内容主要包括：直线形、圆的基本性质及其相互关系，平移、旋转、轴

对称、相似、投影的基本性质，运用坐标确定物体位置的方法；从若干“基本事实”出发，通过演

绎推理，证明图形的性质。

期望学生通过学习，能够丰富对空间与图形的认识，进一步发展空间观念、直观能力和推理能

力。

就具体内容而言，主要包括几部分内容：

1．角：强调通过丰富的实例，进一步认识点、线、面；通过丰富的实例，进一步认识角；增

加“能估计一个角的大小”的要求。

2．相交线与平行线：了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对

顶角相等。了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。了解

线段垂直平分线及其性质。知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。体会两条平

行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

3．三角形：了解三角形有关概念，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的

稳定性。强调探索并掌握三角形中位线的性质。理解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形

全等的条件。了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的

条件；了解等边三角形的概念（并探索）其性质。了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角

形的性质和一个三角形是直角三角形的条件。体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简

单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

4．四边形：探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。掌握平行四边

形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。

探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。探索并掌握矩形、菱形、正方

形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件。探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形

是等腰梯形的条件。

5．圆：了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。会过圆上一点画圆的切线。

6．尺规作图：完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的

平分线，作线段的垂直平分线。利用基本作图作三角形。探索如何过一点、两点和不在同一直线

上的三点作圆。

7．视图与投影：会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、

俯视图），┅。通过实例了解中心投影和平行投影。

8．图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被

对称轴垂直平分的性质。能够按要求做出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简

单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。《课程标准》增加的内容：探索基本图形（等腰三

角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。欣赏现实生活中的轴

对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。

9．图形的旋转：了解平行四边形、圆是中心对称图形。能够按要求作出简单平面图形旋转后

的图形。欣赏旋转在现实生活中的应用。灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

10．图形的相似：了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。理解

两个三角形相似的概念（对应角相等、对应边成比例的两个三角形称为相似三角形），探索并掌

握两个三角形相似的条件。能够利用位似将一个图形放大或缩小。通过实例认识锐角三角函数

（sinA，cosA，tanA）。知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它

的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。运用三角函数解决与直角三角形有关的简单

实际问题。

11．图形与坐标：认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点

的位置、由点的位置写出它的坐标。

12．图形与证明：理解证明的必要性。强调通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，

会区分命题的条件(题设)和结论。强调结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，

并知道原命题成立其逆命题不一定成立。强调通过实例，体会反证法的含义。强调体会证明的过

程要步步有据。

（三）主要特点

与其它课程内容相比，空间与图形课程内容具有一些突出的特点：

1．强调现实背景、学生的生活经验和活动经验

即，强调空间和图形内容的现实背景，强调和重视空间与图形内容的选材应具有现实背景，将

几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，不仅包括长期以来人们所习惯的标准的几何图形，而且

也包括丰富多彩的现实世界中的二维、三维图形及其相关问题，如，“某汽车的车牌倒映在水中，

你能根据水中的影子确定该汽车的牌照号码吗”等；呈现空间与图形内容，尤其突出对活动过程

的体验和活动经验的积累，通过实物图片、插图等体现呈现方式的多样性，通过探究思路和方式

的多样性、空间与图形问题的开放性、图案设计的不唯一性等多种渠道给学生的个性发展留下充

分的时间和空间。

2．突出空间与图形活动的全过程，突出策略、方式的多样化

即，突出观察、描述、制作，从不同角度看、认识方向、制作模型等活动，突出用观察、操作、

变换、坐标、推理等多种方式了解现实空间和处理几何问题，体会更多的刻画现实世界和认识图

形特征的角度和工具，发展学生的空间观念、图形设计能力与推理能力。

课程内容不仅涉及对基本图形的认识以及对其性质的证明等内容，而且涉及从物体的影子到中

心投影、平行投影等十分现实的内容，不仅涉及在生活背景之下的图案设计、物体的相似、图形

的放大和缩小等一系列内容，而且介绍一些十分有趣、同时又能反映现代几何发展基本思想的内

容。不仅为学生提供“确定物体位置的不同方法”等实际内容，也通过适当的方式，使学生感受空

间与图形的文化价值，体验“图形与空间”取材于现实、应用于现实的事实，逐步建立“图形与空

间”与自然、社会和人类生活密不可分的联系。

3．注重经历几何建模过程和发现、探究过程，强调培养学生的几何直觉和空间观念，体现直

观几何、实验几何到推理几何的自然过渡

即，注重使学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过

程，注重探索图形与空间的性质和变化规律的过程，重视发展空间观念和几何直觉。亦即，从学

生生活的三维空间开始，通过观察、操作、从不同方向看、展开与折叠、图案欣赏与设计等丰富

多彩的活动，进一步丰富学生的几何活动经验和良好体验，充分发掘学生空间与图形的潜能，在

直观发现、探究交流和逐步的有条理思考的过程中自然地引导学生体会证明的必要性、理解证明

的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，初步感受公理化思想。

4．突出空间与图形的文化价值

空间与图形有着丰富的历史渊源和文化内涵，《课程标准》中的“通过建筑、艺术上的实例了

解黄金分割”、“通过对欧几里德《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的

价值”等要求，就是希望通过介绍数学文化及在社会发展中的作用，使学生感受数学的价值。如

勾股定理产生的历史；勾股定理与无理数的产生的关系；勾股定理的各种证明方法；勾股定理的

推广；圆周率π的历史；黄金分割与建筑和艺术的设计，等等。《课程标准》强调数学史料的作

用以及现代科技与空间与图形内容的联系，突出空间与图形丰富的历史内涵、文化价值和现代科

技背景（如结合几何体的切截以读一读的形式介绍医用CT等）。在教学中，向学生介绍七巧板

的有关史料，特别是古人给出的七巧板拼图，使学生感受几何图形的优美和我们祖先的智慧；介

绍有关规、矩的历史资料，使学生体会它们在中国古代几何作图及测量中的作用；介绍古代埃及、

巴比伦、印度、中国对各种简单几何图形面积和体积的计算结果及其现实背景，使学生进一步体

会几何学与人类生活经验和实际需要的密切关系。

5．重视量与测量，加强测量的实践性，并将其自然地融入到其它内容之中

《课程标准》特别重视量的实际意义，强调在测量过程中学会根据现实问题选择适当的测量方

法和工具，以及利用测量进行数学探究活动。如列出“会度量两条平行线之间的距离”、“利用图

形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）”等明确要求。《课程标准》强调学

生对量的实际意义的理解，以及对测量过程的体验。需要指出的是，要避免繁杂的单位换算，而

将主要精力放在对测量实际意义和作用的理解上；在“测量”的各条目标中,不仅要关注测量的

准确性，而且更要关注学生在测量活动中是否能积极探索，能否用不同的测量方法进行测量。此

外，《课程标准》重视估测以及其在现实生活中的应用，并要求估测活动应贯穿于整个测量过程

之中，如在“图形的认识”中对“角”的要求进行了调整，增加了“能估计一个角的大小”的要求。

6．调整对证明的要求，加强合情推理，强化学生对理性精神的真正理解

《课程标准》认为，理性精神最基本的涵义在于对客观事实的尊重，质疑反思的习惯和与他人

合作交流的意识。推理包括演绎推理、归纳推理、类比推理等形式，而归纳和类比都是合情推理

的主要形式。例如，《课程标准》在各项具体的目标中，大量使用类似于“体验勾股定理的探索

过程，会运用勾股定理解决简单问题”的语言，体现探究过程，其中包括归纳、猜测、类比、直

觉、说理、推理证明等过程。

《课程标准》中还指出，逻辑证明的要求并不局限于几何内容，而应该体现在数学学习的各个

领域，包括数与代数、统计与概率等领域；对于几何证明的教学，《课程标准》强调使学生养成

“说理有据”的态度、尊重客观事实的精神和质疑的习惯，形成证明的意识，理解证明的必要性和

意义，体会证明的思想，掌握证明的基本方法等等，而不是过于追求证明的技巧、证明的速度以

及题目的数量和难度。

事实上，《课程标准》简化了《大纲》根置于20几条公理、证明70几条几何命题的做法，以

“①一条直线截两条平行线所得的同位角相等。②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，

则这两条直线平行。③若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。④若两个

三角形的两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等。⑤若两个三角形的三边分别相等，则这

两个三角形全等。⑥全等三角形的对应边、对应角分别相等”为基本“公理”，结合默认的一些代

数公理，论证关于三角形、四边形的40余条基本性质，同时，大大强化了对证明的必要性、证

明意识以及反例等的认识。

7．加强几何直觉、空间观念的培养，并通过增加有关内容、加强已有的某些内容等途径实现

对几何课程目标的转变

适量增加有利于培养学生几何直觉和空间观念的学习素材、学习内容，也是空间与图形加强的

一个特色。《课程标准》认为，空间观念是一个人在对周围环境和实物直接感知的基础上形成的，

应组织学生通过对现实空间中物体的形状、大小及其所处方位的感知，对物体的视图的初步认识

和常见的平面图形的了解，积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验，以

帮助学生理解现实的三维世界，形成初步的空间观念。

对于曾在传统内容中占主导地位的平面几何，注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经

历观察、操作、推理、想象等探索过程；注重对基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关

系的探索过程，进一步丰富对空间图形的认识和感受，并在探索图形性质、与他人合作交流等活

动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达。

对于新增的图形与变换内容，注重从生活的角度学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体

验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。对于全

新的视图与投影内容，强调素材的生活化、现实化，并逐条提出明确的目标要求，如投影：通过

背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳

光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）；了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图

和立体图中表示；通过实例了解中心投影和平行投影。

《课程标准》引入“从不同方向看同一个物体”的内容，突出数学与生活的联系，使学生在观察、

猜想、推理的过程中思考和交流，不断发现实物与它的影子之间的联系，不断形成自己对空间与

平面之间的联系的看法，发展空间观念。空间观念是创新意识的重要组成部分，但在传统的中学

数学教材中，几乎没有这方面的内容。《课程标准》添加的新内容，使我们的学生有机会接触到

对他们全面、持续、和谐发展有用的数学。

此外，适当增加和渗透反映现代几何学相关学科、领域的基本思想和初步内容，如观察与现实

生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花

曲线、莫比乌斯带)，也是《课程标准》内容加强的一个方面。

第三节义务教育阶段统计与概率课程内容研究

在当今的信息社会中，数据日益成为一种重要的信息，如何收集数据、整理数据、分析数据已

成为每个公民的基本素质。统计与概率正是培养学生数据素养的数学课程内容。它主要研究现实

生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生

可能性的刻画，帮助人们做出合理的决策。

义务教育阶段统计与概率课程内容正是为了培养学生的统计观念、随机意识而设置的。

一、小学统计与概率课程内容的特点

（一）小学统计与概率课程内容分析

小学阶段的统计与概率横跨第一学段、第二学段两个学段。

第一学段的统计与概率课程，期望学生能对数据统计过程有所体验，学习一些简单的收集、整

理和描述数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题，初步感受事件发生的不确定性和可

能性。

而在第二学段中，学生将经历简单的数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，

并根据数据分析的结果做出简单的判断与预测；进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一

些简单事件发生的可能性。

其中，第一学段的主要目标就是，让处于小学启蒙阶段的小学生对数据统计过程以及不确定现

象有所体验，而第二学段则是学习简单数据统计过程，体会可能性。

1.第一学段的统计

第一学段的统计主要涉及数据统计活动初步，其内容主要包括，能对日常生活中的事件进行分

类比较、得出简单的、形象的统计图表，会对身边的数据信息进行收集、整理以及简单分析，懂

得简单的数据记录方法等，可以划归为三类：

第一类，主要涉及数据信息的收集；

第二类，主要包括数据的描述、分析过程；

第三类，主要是简单的统计推断。

下面分别加以分析。

具体的课程目标包括如下七条：

（1）事物的分类与数据的收集。

首先，“能按照给定的标准或选择某个标准(如数量、形状、颜色)对物体进行比较、排列和分

类；在比较、排列、分类的活动中，体验活动结果在同一标准下的一致性，不同标准下的多样性”。

统计最基础的知识是比较、排列和分类。只有对现实生活中一类物体，根据其不同的标准进行

比较，从中分辨出异同，并按一定的顺序进行排列，这些都是统计的萌芽思想。而分类则是在比

较、排列的基础上，进一步划分不同标准的结果。对入学初期的小学生，渗透一些这样的思想，

既可以为统计知识的后续学习埋下伏笔，又能培养学生的分类能力。而这一目标的重点则是，在

比较、排列、分类的活动中，体验活动结果在同一标准下的一致性，不同标准下的多样性。其中，

“体验”将贯穿于教学的全过程。

其次，“能根据简单的问题，使用适当的方法（如计数、测量、实验等)收集数据，并将数据记

录在统计表中”。例如，调查一下你跑步后脉搏跳动快多少，并将测得的数据记录下来。要了解

这方面的数据信息，学生可以通过实验来收集数据。他们可以把实验前每分钟的脉搏跳动统计一

下，然后再进行30米或50米的跑步，并记录跑步后的3分钟内每分钟的脉搏，最后，将测得

的数据记录下来。

由于在日常生活中各种调查对象的不同，其统计运用的方法也不同，所以，在课程实施中，应

引导学生学会选择适当的方法。

再次，“知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息”。其实，小学生获取数据信息的

渠道有两种：一是亲身经历的事件，如购买物品，调查有关情况等。二是间接的事件，如从他人

中了解的事件，或从报刊、杂志、电视等媒体中获取的信息。由于每个人的直接经历的事件总是

有限的，所以间接获取数据信息将占有相当大的比重。从小培养学生从报刊、杂志、电视等媒体

中获取数据信息、分析数据信息，是学生终身学习的基本能力。

（2）数据的描述、分析和表示。

首先，“对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验”。

重视统计过程的体验是《课程标准》的重要指导思想。对统计而言，它的全过程包括数据的收

集、整理、描述、制图表及分析等，这些内容将成为统计学习的首要目标。因此，在小学第一学

段渗透这方面的思想，是《课程标准》与《大纲》的较大差异，这一点在实施课程目标之中值得

关注。

其次，“通过实例，认识统计表和象形统计图，条形统计图(1格代表1个单位)，并完成相应的

图表”。

统计图表是对数据分类后的一种简便表示形式。根据学生年龄的特点，从实物的分类，到抽象

的统计图表表示将经历几个年级段的学习，因此，把握每个阶段的要求，就显得十分的重要。这

项目标的要求是对分类物体进行形象直观的图表表示，也是正式统计图表表示方法的启蒙阶段。

在这里，统计图表的表示方法主要涉及象形统计图和条形统计图。其中，象形统计图是将实物，

按其特征进行分类，然后按竖直的方向进行排列。例如，桌子上有3只苹果，4只香蕉和5只桔

子。在指导学生开展活动时，将分为两步：第一步，把这些水果进行分类；第二步，按竖直方向

进行排列，使这些水果排成三列，每一列中的每一个水果的位置又相应对齐。当然，怎样获得上

述水果的象形统计图，仍有一个学生探索的过程。

再次，利用平均数、众数、中位数等表示数据，也是数据分析与表示的重要载体。在第一学段，

这类要求主要是，“通过丰富的实例，了解平均数的意义，会求简单数据的平均数(结果为整数)”。

平均数是一个统计术语，《课程标准》中明确指出，应“避免单纯的统计量的计算，对有关术

语不要求进行严格表述”。注重对统计量的意义的理解，淡化术语和纯计算的考查，是新课程强

调的思想。对平均数概念，重要的不是它的定义和作为代数公式的运算程序，而是它所包含的统

计意义。

（3）根据数据，发现问题，做出一些简单的判断。

即，根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，能和同伴交换自己的想法。

根据统计图表中的数据回答简单的问题，是分析数据的重要形式，也是从数据中获得结论的基

础。数据统计的全过程有：数据收集、数据整理、制作图表、分析数据、得出结论五个环节，其

中分析数据是重要的环节，也是新课程强调的内容。所以，让学生懂得看统计图表，会提出符合

自己理解的问题是实施本目标的重点。例如：根据下列统计表，你知道提出哪些问题?

某校一年级人数统计表单位：人

班级二（1）二（2）二（3）二（4）

人数39354143

对于以上的统计表，可以让学生自己提出各种各样的问题：“二(1)班人数比二(2)班多几

人？”“二(1)班人数比二(4)班少几人?”“二年级每班平均有几人?”“二(2)班人数为什么会最少

的?”“二(4)班人数为什么会最多的？”等。对学生的各种各样的问题，只要他们提的问题有理，

就应多加鼓励。

2.第二学段的统计

第二学段主要涉及简单数据统计过程，其内容主要包括如下四类内容：

第一类，经历数据统计的全过程；

第二类，通过实例，进一步认识统计图表以及选择统计图表有效地表示数据；

第三类，理解不同统计量的基本特征；

第四类，能从生活中有意地获得一些数据信息并能作一些简单的判断和预测。

下面，分别加以说明。

（1）经历数据统计的全过程。

其含义首先表现为“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程(必要时可使用计算器)”。

在第一学段中，学生对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验，在这一学段，学生将通

过独立操作，从中学会简单的收集、整理、描述和分析数据的方法，这也是这条目标实施的重点。

当然，理解这项目标，要注意以实践活动为载体。其实，数据统计是对日常生活中大量的信息

进行整理分析的过程，学习这些方法离不开实践活动。例如，组织学生观察学校路口车流量的情

况。学生要获得这些数据信息，必需到路口去收集信息；然后对收集来的各种车流量的数据进行

分类整理，从中得出某一时间段内，公交车、小汽车、自行车的车流量情况。由于数据信息是学

生自己收集、整理的，因此，他们对于数据的描述和分析也就有了感性的认识。

其次表现为，“根据实际问题设计简单的调查表”。

调查是收集数据一种有效方法。通过调查，学生可以获得有价值的原始材料，它是整理分析数

据信息，得出结论的依据。调查在人们的生活中有着广泛的应用，学生从小学习调查的方法，将

为他们今后从事科学的研究打下扎实的基础。调查表是调查的前提，一个调查表的好坏，将影响

到调查材料的价值。因此，指导学生设计简单的调查表是这项目标实施的重点。

再次，表现为“能从报刊杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的

统计图表”。

在日常生活中，报刊杂志、电视等媒体是获取数据信息的重要途径，也是作出某种判断的基础

工作。因此，学会从报刊杂志、电视等媒体中获得数据信息的方法，将是学生终身学习的基本能

力。所以，这项目标实施的重点是培养学生有意识地获得一些数据信息的能力，懂得要讨论或研

究的问题，需要到那里去找数据信息的方法。开展一些专题性的数据收集活动，可以帮助学生掌

握数据信息收集的方法，也能增强他们的意识。例如，收集风沙暴的数据信息活动。学生就可以

从报刊杂志、电视以及英特网上寻找有关的内容，从中了解我国每年风沙暴形成的次数，受影响

的地区以及世界范围内风沙暴的一些情况。然后，在全班进行交流。在交流过程中，教师可以指

导学生讨论“怎样迅速收集的方法”。经过多次专题性活动，相信学生一定会掌握一些数据收集的

方法。

（2）统计图表及其对数据的有效表示。

这项要求，具体表现为“通过实例，进一步认识条形统计图(1格表示多个单位)，认识折线统计

图、扇形统计图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据”。

条形统计图、折线统计图和扇形统计图是描述数据信息的一种直观、有效地表示形式，由于这

三种统计图表示的形式不同，因此，它们的作用也不同。条形统计主要表示数据的对比，折线统

计图主要表示数据变化的趋势，而扇形统计图主要表示数据所占的比例。

（3）理解不同统计量的基本特征。

即“通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义；根据具体的问题，能选择适当的统

计量表示数据的不同特征”。

平均数、中位数、众数是代表一组数据典型水平或集中趋势的量，它能反映数据分布的基本情

况。平均数是一组数据的总和除以总个数所得之商，这是人们比较熟悉的。中位数是位于依一定

顺序排列的一组数据中央位置的数值。将一组原始数据依大小顺序排列后，如数据个数为奇数，

则以位于中央的数据作为中位数；如数据个数为偶数，则以最中间的两个数据的平均数为中位数。

例如，以下7个数据3、5、7、8、9、11、14的中位数为8；而以下8个数据：6、9、10、

11、12、14、15、17的中位数是：(11+12)÷2=11.5。

众数是一组数据中出现次数最多的那个数值。有些数据如果不需要进行精确的计算，那么通过

寻找众数也可了解数据的有关信息。例如，一组原始数据：1、0、0、1、1、0、0，其中出现

次数最多的数值是0，所以0就是这组数据的众数。

平均数、中位数、众数是数据统计中常用的概念，理解这些概念的实际意义，也就了解了这组

数据的基本特特。因此，通过大量丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的实际意义，将是本

目标实施的重点。当然，对这三个概念的理解，重要的是通过大量实例，让学生体会和理解。

（4）利用数据做出一些简单的判断和预测，并正确对待数据的信息。

此项要求实际上包含多层含义，首先是“能设计统计活动，检验某些预测”。

能设计统计活动是综合运用统计知识的，它包括设计的主题，实施的方法以及数据的整理、分

析等。这项目标的要求是综合运用已经掌握的统计知识，以提高学生应用的能力。而它的实施重

点则是设计统计活动实施的方法，以及具体的步骤。这也是学生比较困难的一个方面。

在这里，活动主题要与学生的生活密切联系，活动的设计内容应是学生十分熟悉的，或通过一

定的努力可以去做的。例如，估计你们班所有同学的家庭一个月内共丢弃多少个塑料袋，通过实

际调查验证你的估计。由于每个家庭运用丢弃的塑料袋是习以为常的事情，学生每天也接触到这

方面的事情。同时，调查的范围也是在一个班内，学生容易实施。对于这类活动，如果学生以小

组为单位，再设计一些调查表，就能实施调查。在生活中，这些实例很多，在组织学生进行设计

时，教师经常运用身边一些习以为常的实例作为主题，学生就比较容易掌握统计活动的设计方法。

其次是，“能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流”。

解释统计结果是分析数据的一种能力，也是对统计结果进行判断的基础。开展收集数据、整理

数据，得出数据结果的活动，目的是从数据中获得判断和预测。这项目标实施的重点是能解释统

计结果，学生只有会从不同角度解释统计的结果，他们才能根据结果作出判断和预测。

对学生来说，由于个体的特征以及家庭背景不同，他们在解释结果时，其角度也会不同，对此，

要多组织学生进行交流。交流的形式可以是同桌交流，小组间交流以及全班交流，交流的目的是

拓展学生思考的角度及提高培养他们语言的表述能力。

再次，是“初步体会数据可能产生误导”。

在日常生活中，有些单位或个人，为获取某些利益，常常会利用数据进行误导。因此，增强这

方面的认识，也是十分有必要的。由于本学段的学生仍是小学阶段，所以，这项目标实施的重点

在于初步的体会，而不在于完全掌握。

数据的误导并不是数据计算出错，而是运用数据计算的特点，强调突出某一方面，从而引起人

们的关注。例如，某公司有15名职工，对外招聘时称该公司职工的月平均工资超过1200元。

请分析下面的统计表，你怎样看待该公司公布的这个数?

职务经理副经理职员

人数/11213

月工资/元5

对于上述这道题目，要充分组织学生进行讨论，讨论的内容可以是：“该公司职工的月平均工资

是否超过1200元?”“新招聘的职工工资为什么会与平均工资相差50%”“该公司突出1200元的

目的是什么?”等，学生只有从讨论的过程中，才会逐步体会到数据的误导。

3.第一学段的概率

对第一学段来说，概率内容主要涉及不确定现象，其内容包括：初步体会有些事件的发生是确

定的，有些则是不确定的，能够简单的试验所有可能发生的结果，知道有些事件发生的可能性大

小，并能对这些可能性的大小用文字语言进行描述，并和同伴交换想法。

其实，这里实际上是两个方面的内容：

（1）初步感受不确定性。

具体来说，涉及两个方面的要求：

首先是“初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的”。

这一内容的重点是让学生初步体验有些事件发生的结果，有确定的与不确定的两种情况。实施

过程是在学生动手操作中，在愉快的玩中，获得初步的体验。

对低年级的学生来说，在课堂教学过程中做一些小游戏是有很大吸引力的，而在小游戏的活动

中寓教于乐是我国不少小学教师在实践中创造的经验。例如，让每个小朋友准备一些不同分值的

硬币，然后猜一猜硬币掷在课桌上，它是正面朝上，还是反面朝上，在学生猜的过程，安排学生

做掷硬币的游戏。开始可以用1分、2分的硬币做游戏，然后可以用5角、1元的硬币做游戏。

通过掷不同的硬币，让学生体验到硬币朝上或朝下的可能性。

其次是“能够列出简单试验所有可能发生的结果”。

记录简单试验的结果，是分析事件发生可能性的依据。学生通过记录的形式，既能从中体验不

确定的现象，又能为简单分析提供依据。这项目标的重点是会做简单的试验，在学生做试验的过

程中，懂得试验的操作方法，并会进行记录。例如，摸小球的试验，如果盒子里有5个颜色不

同的小球，每次摸一只小球，每次摸出小球的颜色有哪些可能?对于这一活动，首先，要指导学

生摸球规则，一个小朋友摸球后，另一个小朋友才能接着摸。其次，要指导学生会放球。当一个

小朋友摸出小球看见了颜色后，应把小球放回原处。以上这些操作虽然是十分简单的操作动作，

但只有在教师的指导下，他们才会懂得试验的操作过程。

（2）感受可能性。

在这里，实际上包含两个方面的要求，首先是“知道事件发生的可能性是有大小的”。

事件发生可能性的大小是由事件的各种因素决定的。同样摸球，如果某种颜色的球数量多一些，

那么摸出这一颜色球的可能性就大一些，对于这些道理，既不能由教师直接告诉学生，也不能在

活动中刻意去追求，它只有在学生自己的活动过程中，通过经历悟出其中的道理。因此，这项目

标实施的重点是，通过一系列活动，逐步让学生悟出事件发生可能性有大有小。例如，盒子由有

2个红球和2个黑球，请学生连续摸10次，看一看摸到红球的可能性与摸到黑球的可能性哪个

大?然后将盒子内的1个红球改为黑球，使盒子内有1个红球和3个黑球，再请学生连续摸10

次，从中观察摸出哪种球的可能性大。接着，再增加黑球的数量，再进行操作。经过一系列的活

动，学生会体会到事件发生的可能性是有大小的。

其次，包含“对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法”。

对一些简单事件发生的可能进行描述，是学生用语言来表述自己的感受，这种语言表述越流畅，

其感受也越深。这项目标的实施与上述的3条目标是同步实施的。所以，在实施上述3条目标中，

安排一些学生对不确定现象的描述，是实施本目标的重点。对此，要注意两点：一是要注意在活

动中描述不确定的现象，如，在上述所分析的摸球活动中，盒子内是10个白球，那么，语言的

描述就是“摸出的球一定是白球”，学生只有通过一边操作、一边观察、一边描述，他们才能真正

体会到描述词语的实际意义。二是要在比较中，深刻理解词语意义。

总之，第一学段概率内容的重点是，让学生初步体验事件发生不确定性，感受简单的试验及其

事件发生可能性的大小，懂得试验的操作方法，会记录，能用语言来表述自己的感受。

4.第二学段的概率

第二学段的概率内容主要涉及可能性，旨在使学生能对一些简单事件发生的可能性大小作出刻

划，即能用学生自己的语言描述影响事件之所以发生可能性的主要理由，能作出一些预测。

具体的课程内容包括：

（1）“体验事情发生的等可能以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性”。在

足球比赛前，主裁判为确定哪一个队先发球，总要以掷硬币的形式来决定。这种游戏的规则，看

似有很大的不确定现象，但对双方来说，都有50%的概率，所以也体现了游戏的公平性原则。

在日常生活中，类似实例很多，如何把这些实例引入到课堂，则是本目标实施的重点。

值得注意的是，生活中许多不确定现象看似无规律可循，出现哪种结果事先无法预料，但当大

量重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。对于这方面的认识，也只有在学

生的具体实验活动中，才能体会。例如，全班52位同学，每位同学一个学号，从1号连续排到

52号。一位陌生的外校同学，按照学号随机点出一位同学，那么，点到学号的同学是男生还是

女生，对这位外校同学来说，事先是不知道的。如果点的次数多了，就会发现其中的规律：出现

男生的可能性与52位同学中的男生的总人数有关，如果52位同学全是男生，那么，点到学号

的同学必定是男生，如果男女生各半（即26位男生，26位女生），那么，出现男生的可能性

是0.5。

这个规律在其他班级也成立。

（2）“能设计一个方案，符合指定的要求”.设计一个方案，要符合指定的条件，这就需要学生

在设计之前，已经会计算简单事件发生的可能性。例如，在一个正四面体的4个面上分别标上

数字2，使得“2”朝上的可能性为0.5。由于这个正四面体有4个面，每个面出现的可能性相同，

要使4个面中出现朝上的面上的数字是2，这个数字必须占有两个面，即两个面同时标上数字2。

也就是说，学生在设计这样的方案时，首先他们要理解等可能性的概念，再次，会作一些简单

的计算，这是实施本目标的关键。

对于设计方案，包括两层的含义，一是设计符合指定的条件的一个方案，这就需要学生在设计

之前，已经能计算出简单事件发生的可能性；二是必须及时交流学生所设计的方案。不同的学生，

其设计的形式是不同的，每种方案中，都将体现学生对事情可能性的理解。因此，当学生设计后，

可以组织全班交流，在交流的过程中，既可以使学生间相互启发，又能深化学生对事情发生可能

性的理解。

（3）“对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由”。其实，简单事件发生的可能

性是可以计算的。例如，两支球队进行比赛，其胜负的可能性都是50%。然而人们在预测两支

球队的胜负时，有时往往会偏护于某一支球队。这其中的道理是在事件发生的可能性中，有些其

它因素将影响这种可能性。如上所述的两支球队的胜负，虽然他们都有50%的可能性，但两支

球以往胜负的情况，以及球队人员的变化，都将影响这种可能性。

所以，在这项目标的实施中，选择那些为学生所熟悉的一些典型事例进行预测，并让学生自己

来阐述理由，其效果可能会更好，如果这些事例能和学生的动手做的活动（如，切实可行、便于

学生操作的调查）结合在一起，效果也许会更加理想。

（二）小学统计与概率课程的特色

使学生掌握统计知识是历次《大纲》中都提出的要求。与历次大纲相比，2001年的《课程标

准》增加了概率的知识，强化了统计的过程性以及统计的现实背景。同时，削弱了单纯记忆和套

用公式的内容，减少了机械的图表制作步骤和过多的术语。

1.增加概率的知识

建国以来，概率知识下放到小学阶段这是第一次。概率是处理随机现象(不确定现象)的一门科

学，所谓随机现象，是指在相同的条件下，重复同样的实验或实例，所得的结果不确定，在实验

之前无法预测实验结果。了解现实世界中的随机现象(不确定现象)，能在不确定的情境中作出合

理的判断是概率学习的主要目标。当然，对小学生来说，它们学习的概率知识主要是以直观的为

主。

为了让学生逐步感受，体会概率知识存在于日常生活之中，2001年的数学课程标准，在小学

阶段的两个学段中，都安排了概率的初步知识。

在第一学段中，提出了“初步体验有些事件是发生确定的，有些则是不确定的”，“能够列出简

单试验所有可能发生的结果”，“知道事件发生的可能性是有大小的”等目标。这些目标的基本要

求是，让学生体验日常生活中有些事件发生的不确定性，感受到这些事件发生的可能性有大有小，

其核心在初步感受不确定现象。例如，掷硬币正面朝上的可能性；在一个口袋中放有3个红球

和1个白球，随意从口袋中摸出一个球，摸到红球的可能性与摸到白球的可能性哪个大?

在第二学段中，《课程标准》提出了“体验事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会求一

些简单事件发生的可能性”、“能设计一个方案，符合指定的要求”，“对简单事件发生的可能性作

出预测，并阐述自己的理由”等目标，其核心在于初步认识可能性。例如，在一个正方体的6个

面上分别标上数字，使得“2”朝上的可能性为1/3；调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下

场比赛谁获胜的可能性大，并说明自己的理由。

从两个学段对“概率”内容的要求来说，第二学段“刻画事件可能性大小”的要求比第一学段“感

受可能性”的要求有较大的提高。学生要刻画事件可能性大小，首先要理解事件的可能性，并会

运用实验、模拟、列举等方法列出事件发生的概率。其次学生能综合分析影响可能性大小的其它

因素。例如，一场球赛，对双方两支球队来说，都有50%赢球的可能性，这仅仅是从事件发生

的概率来分析。然而，两支球队的技术、队伍的人员精神情况以及主客场的问题等，都将影响这

种可能性。

因此，当学生围绕某一事件进行分析、讨论、交流时，也在提高分析问题的综合能力。

2.强化统计学习的过程性

在《大纲》中，初步认识统计从四年级开始，具体的教学内容和要求是，四年级达到“初步认

识简单的统计图表，初步理解平均数的意义，会求简单的平均数，通过统计材料，使学生了解我

国社会主义建设的成就”；五年级达到“初步学会收集数据和分类整理，会填写简单的统计表，会

根据收集的数据求平均数，通过有说服力的数据和统计材料，使学生受到爱祖国、爱社会主义的

思想教育”；六年级达到“会制作简单的统计表，利用作图纸绘制简单的统计图，会对统计图表进

行一些简单的分析，使学生受到国情教育，绘制统计图表要注意整洁、美观”。

与其相比，今天的小学统计与概率内容的核心在于统计观念、随机意识。而观念和意识不同于

一般的数学知识，必须通过学习者的亲身体验和感受，才能形成。为此，今天的小学统计与概率

课程内容强化统计学习的过程性，主张小学生应对统计数据有较为全面、客观的认识，既要能从

各种渠道获取尽可能多的有用信息，又要能保持理智的心态，对数据的来源、方法和呈现方式，

以及由此得到的结论等进行合理的质疑。而这一切正是当代公民所应有的基本的数据素养。

3.强化对统计的实际意义的理解

学生对统计的学习需要经历较长的时间。事实上，学生是借助日常生活中各种各样的例子开始

学习统计知识的，在经历收集、整理、描述简单的数据过程中学习统计的概念；他人收集的间接

信息，或在课本上呈现的“死”数据，只有与小学生的日常生活和亲身感受相联系，才能使他们主

动对数据进行分析和解释，进而对数据信息进行理解、推理和判断，才能做出合理的推断和决策。

因此，小学第一学段的统计与概率提出，“通过实例，认识统计表和象形统计图、条形统计图，

并完成相应的图表”，“通过丰富的实例，了解平均数的意义，会求简单数据的平均数”，“知道可

以从报刊、杂志、电视等媒体中获得数据信息”等教学要求，其核心在于体会数据的现实性、生

活性。小学第二学段提出，“根据实际问题设计简单的调查表”，“通过实例，进一步认识条形统

计图，认识折线统计图、扇形统计图”，“通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义”，

“根据具体的问题能选择适当的统计量表示数据的不同特征”等教学要求，这些要求旨在强调，通

过选择现实情景中的数据，理解概念、原理的实际意义，着重解决一些实际问题，使学生认识到

统计在日常生活、社会及各学科领域中有着广泛的应用，进而，获得对统计实际意义的真正理解。

4.削弱一些统计知识

淡化单纯的统计量的计算以及统计概念等有关术语的严格表述，是小学统计与概率课程内容在

统计方面削弱的主要内容。统计知识包含较多的概念，公式和统计图表，例如平均数、众数、中

位数、折线统计图、扇形统计图等。这些内容的教学既不能简单地作为名词和术语性学习来处理，

也不能仅仅作为相应的代数和图形知识的学习来处理。单纯的统计量计算，单纯记忆公式及画统

计图表，实际上是将这部分内容学习变成数字运算的练习。

与一般的统计科学内容相比，今天的小学统计与概率在具体内容中基本上不提统计量的计算以

及概念的定义，而是十分注重对统计量的意义理解，突出概念、公式和图表所蕴涵的统计背景，

反对强化各种专业性术语和单纯的技巧性学习。以平均数为例，重要的不是它的定义和作为代数

公式的运算程序，而是它所包含的统计意义，以及能够在新的问题情境中，准确地运用它去解决

问题。

二、初中统计与概率课程内容的特点

（一）内容框架的特点

在初中，学生要在小学体验和初步理解统计与概率的基础上，主动地投入到数据统计的全过程，

并在此过程中，使用统计与概率的特有语言进行交流，进行简单推理。其主要内容包括：

描述统计的进一步扩展——描述统计的基本目标在于以最简单而直观的形式最大限度地容纳

有用的数据。学生应理解平均数、中数、众数、极差、方差、标准差、频率分布等统计量，以便

更好地整理、分析和展示数据。

渗透数理统计思想——数理统计与描述统计的根本区别在于总体与样本概念的引入，它的基本

思想是通过对样本的分析来推断总体的特性。数理统计的引入使得统计有了随机的思想，统计数

字有了概率的分析，它提供了“从数据进行推断”的普遍适用且强有力的思想方式。这部分的一个

核心的内容是抽样，如何抽样、抽样的过程、样本的多少是收集数据的一个关键问题。

学习概率的初步内容——包括运用列表、画树状图、制作面积模型、简单计算等方法得到一些

事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概

率的估计值；通过大量丰富的实例，进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际的问题。

（二）内容特点

《课程标准》认为，“统计与概率”应当是第三学段课程内容的重要组成部分。不仅如此，《课

程标准》将“统计与概率”内容从第一学段连续编排到第三学段，并且规定，在第三学段，学生将

从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学

习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。《大纲》没有涉及“概

率”内容，仅仅在初中阶段引入“统计初步”，并且将“统计初步”放入“代数的第（十三）部分”在

《大纲》中，“统计初步”的定位是：使学生了解统计的思想，掌握一些常用的数据处理方法，能

够用统计的初步知识解决一些简单的实际问题。

《课程标准》认为，随着社会经验的积累和认知水平的进一步提高，第三学段的学生对现实环

境中的情境具有越来越强烈的兴趣，他们将逐步探索自然、社会和科学技术领域中感兴趣的内容，

认识到统计与概率的广泛应用和对制定决策的重要作用，并能初步用随机(统计)的观点来理解现

实世界；他们将在第一、二学段体验和经历的基础上，主动地从事收集、描述和分析数据的过程，

进一步学习描述数据的方法，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，学习根据数据进行

推断的思考方法；他们将在积累了丰富经验的基础上，进一步体会概率的意义，知道频率与概率

之间的关系，学习计算简单事件发生概率的方法：

1.进一步学习描述数据的方法，经历猜测、收集、描述和分析处理数据的全过程

使学生体验和掌握统计观念的最有效的方法，就是让他们真正投入到产生和发展统计观念的活

动之中。学生将在收集、整理和描述数据的活动中，探索如何以简单而直观的形式最大限度地描

述数据，理解加权平均数、极差、方差、频数分布等内容，并据此作出合理的判断。对于这些统

计内容的学习，要注重理解和在实际问题中的应用，即能够在新的问题情境中，特别是在具有现

实背景的问题情境中，准确地用来解决问题，而不在于单纯地计算。

下面的例子展示了一个收集、描述、分析数据的过程，在此过程中，学生可以了解频数分布的

意义和作用，学习画频数分布直方图和频数折线图，并用以解决实际问题。

例14一家居民小区的食品超市为了更好地安排营业时间和售货员的人数，想了解该小区居民

一周内到超市购买食品的天数。

①你能替该超市的管理人员设计一个调查方案吗？

②该超市的管理人员调查了该小区所有的500户居民，并得到下面的数据：

4，2，0，5，5，1，2，2，3，0，4，6，2，2，1，1，2，2，…

你能设法将上述数据整理得较为清晰吗？

③将上述数据整理成频数和频率表，并由此将数据整理成频数分布直方图。

每周到食品超市的次数01234567

户数575176

频率11.4%35.8%29.0%8.4%5.8%5.0%3.4%1.2%

④根据调查结果，每周去超市少于3次的居民户占小区总居民户的百分比是多少？你还能获

得哪些信息？

⑤如果你是超市的管理人员，根据上述调查，你会作出哪些决策？与同伴进行交流。

2.逐步形成主动获取并能读懂数据信息的意识，以及对统计数据有较为全面、客观的认识，

发展学生的统计观念

《课程标准》认为，当人们面对媒体公布的数据时，既要能从中获得尽可能多的有用信息，还

应保持理智的心态，要对数据的来源、收集数据的方法、数据的呈现方式、由此得出的结论进行

合理地质疑。在第一、二学段的基础上，第三学段中《课程标准》要求学生“根据统计结果做出

合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流”、“能

根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法。”除了能读

懂并有意识地从各种渠道获取数据外，还必须理智地对待新闻媒介、广告等公布的数据，初步形

成对数据统计过程进行评价的意识。如一则广告称“有75%的人使用本公司的产品”，学生要能意

识到广告没有提供数据的来源，也许样本不具有代表性，并不能反映总体的真实情况。

3.感受抽样和随机抽样的重要性，体会用样本估计总体的思想

抽样是《课程标准》第三学段统计学习的一个重要内容。这部分内容的重点是通过丰富的实例，

体会抽样的必要性和随机抽样的重要性；经历抽样的过程，并根据样本的平均数、方差等统计量

估计总体的特征，体会用样本估计总体的思想。

4.体会概率的意义，了解频率与概率的关系

《课程标准》认为，第三学段的学生将在具体的实验活动中，对频率与概率之间的这种关系进

行体会，“知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值”。事实上，随机现象表面看无

规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会呈

现出其频率的稳定性。例如，可以设计下面的活动：

例15每人抛一枚硬币10次（条件允许的话，可以在计算器或计算机上利用随机数模拟掷硬

币的实验）。

（1）分别记录下正面朝上和反面朝上的次数，并分别求出正面朝上和反面朝上的频率；将全

班数据进行汇总，并完成正面朝上的频率统计图。

（2）在你所作的统计图中，用彩笔画出表示频率为0.5的直线，你发现了什么？

（3）下表是历史上数学家所做的投硬币实验的原始数据，这些数据支持你的发现吗？

实验者投掷次数n正面出现次数k正面出现的频率k/n

蒲丰404020480.5069

德·摩根409220480.5005

费勒1000049790.4979

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005

罗曼诺夫斯基8.4923

在了解了频率与概率的关系后，学生就知道了大量重复实验时频率可以作为事件发生概率的估

计值，并可以利用这种方法来估计一些事件发生的概率。

5.经历“猜测结果—进行实验—分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉

学生原有的经验和数学智能水平是设计课程内容的两个重要因素。学生已经具备一些生活经

验，这些经验是学生学习概率的基础，但其中有一些往往是错误的。逐步消除错误的经验，建立

正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。要实现这一目标，必须让学生亲自经历对随机现象

的探索过程，引导学生亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己

的猜测进行比较。

6.学习利用列举法计算事件发生的概率

在第三学段，《课程标准》安排的概率内容实际上包括实验概率和理论概率两部分。对于理论

概率部分，学生将重点学习“运用列举法(包括列表、画树状图等)计算简单事件发生的概率”。在

课程实施中，要鼓励学生独立探索列举可能出现结果的方法，其中，最常用的是“二分法”。

7.体会随机观念的特点以及统计与概率的不确定性

概率和确定性数学一样，是科学的方法，它和确定性科学一样成为人们不可缺少的武器，能够

有效地解决现实世界中的众多问题；同时，概率的思维方式与确定性思维的差异，就是随机观念。

使学生具备随机观念，从而能明智地应付变化和不确定性，这构成了在义务教育阶段教学概率的

另一个重要原因，也是第三学段学习统计与概率的重要目标之一。统计与概率的研究对象、方法，

甚至结果都具有一定的不确定性，这对学生来说是一个难点。《课程标准》充分注意了不确定现

象与确定性现象之间的差别，注意统计思想与演绎推理思想之间的互补作用，使学生认识到统计

与概率和确定性数学一样，是科学的方法，能够有效地解决现实世界中的众多问题。例如，从样

本去推断总体虽然会出现一定的误差，但实际问题若允许把误差控制在一定的范围内，就能节省

大量的财力和人力。

8.运用统计与概率的知识和方法解决一些简单的实际问题

《课程标准》主张，在课程实施中，要引导学生把对统计与概率的探索从日常生活发展到自然、

社会和科学技术中感兴趣的领域，以实现《课程标准》提出的“认识到统计在社会生活及科学领

域中的应用，并能解决一些简单的实际问题”、“通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一

些实际问题”等目标。现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题，要充分挖掘适合学生学习

的材料，既可以从报刊杂志、电视广播、计算机数据库等许多方面寻找素材，也可以从学生的生

活实际中选取，如有关学校周围道路交通(运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等)状况的调查、

本地资源与环境的调查、对自己所喜爱的体育比赛的研究、讨论有奖销售等问题。这样的素材能

使学生更好地认识现实世界，对现实世界中的许多事情形成自己的看法，满足学生了解这个世界

的好奇心。

总之，《课程标准》认为，第三学段的学生应对统计数据有较为全面、客观的认识，既要能从

各种渠道获取尽可能多的有用信息，又要能保持理智的心态，对数据的来源、数据的方法、数据

的呈现方式，以及由此得到的结论等进行合理地质疑，这是当代公民应有的基本素养。

第四节高中典型数学内容研究(选读)

当前，数学界、数学教育界都在关注《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）

的实施与修改完善问题。继广东、山东、海南、宁夏、江苏等省份，福建、浙江、辽宁和安徽4

省将于2006年秋季高中一年级正式进入普通高中新课程实验。

作为高中数学新课程，其突出的特点就是其课程结构。

一、高中数学课程内容结构分析

根据《普通高中课程方案（实验）》关于课程结构和课程设置的要求，普通高中课程由学习领

域、科目、模块三个层次构成。普通高中课程一共设置了八个学习领域，数学自身构成一个单独

的学习领域。在数学课程这个领域中，不再划分科目，直接由模块构成。这些模块又划分成必修

和选修两部分。其中，必修课程由5个模块构成，选修课程分成4个系列，各个系列由模块或专

题构成（如下图10-1所示）。

图10-1

在《标准》中，高中课程由必修、选修1、选修2、选修3、选修4等5个课程系列构成。其

中，必修、选修1、选修2系列又由若干个模块组成，每个模块2学分(36学时)；选修3、选修

4系列由若干专题组成，每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。

在选修系列中，学生可以选择不同的课程组合，课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可

以相互转换。学生做出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经过测试获得相

应的学分即可转换。这样的课程设置，为学生在课程内容、方向、层次上进行更多的选择赋予了

实实在在的意义，有利于实现学生的个性发展。

二、高中数学课程的必修内容

在《标准》中，高中课程必修课程的5个模块，包括基本初等函数、立体几何初步、平面解析

几何初步、算法、统计、概率、平面上的向量、解三角形、数列、不等式等内容，这些内容是每

一个高中学生都要学习的。除了算法是新增加的，向量、统计和概率是近些年来不断加强的内容

之外，其他内容基本上都是以往高中数学课程的传统基础内容，当然有些内容在目标、重点、处

理方式上发生了变化。这些内容对于所有的高中学生来说，无论是毕业后直接进入社会，还是进

一步学习有关的职业技术，或是继续升大学深造，都是非常必要的基础。

必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括A1，A2，A3，A4，A5五个模块。

A1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；

A2：空间几何初步、解析几何初步；

A3：算法初步、统计、概率；

A4：基本初等函数II（三角函数）、解三角形、数列；

A5：平面向量、三角恒等变换、不等式。

其中，在第一模块中，学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、

幂函数）。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表

示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。函数是描述客观世界变化规律的重要数

学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，

函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初

等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科

中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函

数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。

在第二模块中，学生将学习空间几何初步、平面解析几何初步。几何学是研究现实世界中物

体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计

算等方法认识和探索几何图形与空间性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培

养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力

是高中阶段数学必修课程的一个基本要求。在空间几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整

体观察入手，认识空间图形；再以长方体等为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；

最后对有关平行、垂直的性质与判定用数学语言进行严格的表述，并对某些结论进行论证。学生

还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的

几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方

法解决几何问题的能力。

在第三模块中，学生将学习算法、统计、概率。

算法是数学的重要组成部分，是计算理论、计算机理论和技术的基础。随着现代信息技术飞速

发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，

算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰

富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数

学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图

表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表

达的能力，提高逻辑思维能力。

现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，并

作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提

供依据。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观

世界提供了重要的思维模式和解决问题的模型，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统

计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。在本模块中，学生将在义务教育阶段学

习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方

法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理

的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质

和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件

发生的概率。

在第四模块中，学生将学习三角函数、解三角形、数列。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要

的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有

周期变化规律的问题中的作用。

学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长

与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和计算有关的实际问题。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中，学生将通过对日

常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一

些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

在第五模块中，学生将学习平面向量、三角恒等变换、不等式。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何的一种工具，有着极其丰

富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，

能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能

力。

三角恒等变换在三角函数学习中有一定的作用，有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本

模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其它的三角恒等变

换公式，并能运用这些公式进行简单恒等变换。

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、

处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世

界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌

握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区

域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方

程及函数之间的联系。

三、高中数学课程的选修内容

（一）选修系列1-2

在完成必修课程学习的基础上，对于希望进一步学习数学的学生，可以根据自己的兴趣和需求，

选择学习系列1、2课程。

选修系列1课程是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，包含2个模块，共4

学分。选修系列2则是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的，包含3个模块，共6学分。

系列1课程2个模块的内容分别为：

B1：常用逻辑用语，圆锥曲线与方程，导数及其应用。

B2：统计案例，推理和证明，数系扩充与复数的引入，框图。

系列2课程3个模块的内容分别为：

C1：常用逻辑用语，圆锥曲线与方程，空间向量与立体几何。

C2：导数及其应用，数系的扩充与复数的引入。

C3：计数原理，统计，概率。

选修系列1、2的课程中，有一部分内容及要求是相同的，如常用逻辑用语、统计案例、数系

扩充与复数等；有一部分内容基本相同，但要求不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程；还有

一些不同的内容，1系列中安排了推理和证明、框图等内容，2系列安排了空间向量与立体几何、

计数原理、离散随机变量及其分布等内容。

对于希望在人文、社会科学方面发展的学生，考虑到其兴趣和需求的不同、学时的限制，在1

系列安排了“推理和证明”和“框图”两部分内容。这既可以加强学生对逻辑思维的认识和训练，也

有助于学生今后的工作。对于选择2系列的学生，由于在他们学习的很多内容中涉及了推理和证

明，强调了推理和证明的基本方法和基本训练，所以没有安排“推理与证明”和“框图”的内容。

（二）选修系列3-4

选修系列3-4课程分别由若干专题组成，每个专题1学分。

文化系列课程的专题包括：数学史选讲、数学与社会、中学数学思想方法、数学问题集锦等。

应用系列课程包括：优选法、统筹法、风险与决策、数字电路设计与代数运算等。拓展系列课程

包括：几何证明、不等式、参数方程与摆线、矩阵与变换、数列与差分、图论初步、球面几何与

欧拉公式、整除与孙子定理、对称与群、分形的构造与探索等。

选修系列3-4课程的素材极为丰富，上述内容只是其中的一部分，随着课程的发展，这些内容

将进一步拓展、丰富和完善。

这个系列选修课程是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生开设的，所涉及的内容

都是基础性的数学内容。不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学生积极选修，同时也

应鼓励那些希望在人文社会科学方面发展的学生选修这些课程。

文化系列课程的目标是扩展学生的数学视野，以比较浅显的方式介绍数学史、数学的应用、数

学的思想方法和一些数学问题，提高学生对数学文化价值的认识。数学史选讲专题旨在通过介绍

数学发展历史中的重要事件和人物，使学生体会数学对人类思想进步和社会发展的影响，体会社

会发展对数学发展的推动作用。现实社会中的数学专题旨在通过现实社会中生动、丰富的实例，

展现数学在社会中的广泛应用，使学生感受到数学无处不在。中学数学思想方法专题旨在以中学

数学知识和问题为载体，使学生学习与中学数学内容密切相关的、常用的、重要的数学思想方法，

加深学生对数学的认识和理解。数学问题集锦专题是通过一些有趣味的数学问题，提高学生对数

学的兴趣。所有内容的呈现方式，都应当深入浅出、生动活泼、图文并茂。

应用系列课程只选择了部分数学应用的专题。优选法、统筹法是我国著名数学家华罗庚在20

世纪60年代提出并推广的具有广泛意义的重要数学方法，这些方法与人们的日常生活和工作有

密切的联系。随着社会的发展，风险问题已经成为现代社会中人们必须面对的问题，树立风险意

识，并初步掌握这方面的知识，将提高人们的生活质量。数字电路设计在计算机的发展中有重要

的作用，而代数的思想和方法是数字电路设计的基础。E系列课程旨在通过展现一些数学应用的

典型事例，使学生掌握一些数学的思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。

拓展系列课程内容是高中数学课程中一些内容的延伸。本系列课程的目的是，在其他课程的基

础上为学生奠定进一步学习和发展的基础，帮助学生进一步加深对一些重要数学思想和方法的理

解和掌握。

对于选修系列3-4课程的学习，应提倡多样化的学习方式，可以是教师讲授，也可以是在教师

指导下学生自主探索学习，还应鼓励学生独立的阅读、写读书报告等。力求使学生切身体会“做

数学是学习数学的最好方法”，独立思考是做数学的核心。在教学中，应鼓励学生学会提出问题，

善于提出问题、思考问题、解决问题，这是提高数学素养的重要途径。

第五节中小学数学课程内容的数学含义分析(选读)

一、义务教育数与代数典型内容的数学含义-自然数系理论

案例1：在教学“2”的认识时，教学2的主题图后，教师让学生动手：摆2根小棒，拿出2支

铅笔，伸出2个手指，拍手2下等。……

在教学“3”的认识时，教师先出示3的主题图（或出示挂图，或使用投影，有条件的可用电脑

软盘）。引导学生观察图意，并用一问一答的形式引导学生说出：图中有3位工人阿姨在装配

电视机，每人装配1台，共3台。3位阿姨、3台电视，它们的数量都是3。

案例2：为了使学生直观感受到2在3的前面，3在2的后面，2添上1是3，3去掉1是2，

一位教师依据教材，设计了包含三个层次的教学设计案例：

第一层次：用拨算珠直观感受3和2的关系。教师出示计数器，边说边在计数器上拨珠，先

拨两个珠子，再拨1个珠子（学生观察教师的拨珠动作），教师提问：“先拨两个珠子再拨1个

珠子，一共拨了几个珠子？”“3个珠子去掉1个珠子是几个珠子？”

第二层次：学生动手操作直接体会3和2的关系。教师请全班学生动手：先摆2根小棒，再

添1根小棒。然后观察并回答“一共摆了几根小棒？”跟着，教师又追问：“2根小棒添上几根小

棒是3根小棒？”

第三层次：摆点子图，使学生明确3以内数的排列顺序是1、2、3。

教师出示磁性黑板，先摆出1个点子，提问：“这是几个点子？”学生回答后，教师在1个点

子图的下面摆出数1；教师再在1个点子的右边分别摆出2个点子和3个点子，提问并在学生

回答后，在2个点子图和3个点子图的下面分别摆出数2和数3。

教师告诉学生：现在这3个数排好了，请一名同学按顺序把这3个数读一读。然后进一步提

出问：“按照数的顺序，2的后面一个数是几？2添上几是3？”“3的前面一个数是几？3去掉几

是2？”

分析：自然数的含义有两种，它可以表示“几个”（基数含义）和“第几个”（序数含义）。这里，

案例1主要是教学数的基数含义，但没有给出“基数”这个词，仅仅要求学生知道数能表示“几个”。

同时，蕴含着“一一对应”等思想。

案例2则是进行3以内数的顺序的教学，旨在使学生体会“第几个”（序数含义）。更进一步

地，进行8、9、10的教学将涉及数位等思想。

其实，小学生最早接触的数就是自然数。在小学数学教学中，我们为什么在0，1，2，3，4，

5，6，7，8，9学习时强调“后继”？为什么强调进位？为什么强调一一对应？…其实，这些问题

都不是偶然的。众所周知，0，1、2、3、4、5、……，叫做自然数。自然数起源于数（shǔ），

它可以用来表示事物的多少，也可以用来编号，表示事物的次序。当用来表示事物的数量，即被

数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体

是“第几个”时，就是自然数的序数意义。与此相对应，自然数的理论有基数理论和序数理论两种。

（一）自然数的基数理论

自然数的基数理论，是把自然数定义为一切有限集合的基数，即元素的个数。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。中国古代《易·系辞》中说，“上古

结绳而治，后世圣人易之以书契”，这都是匹配计算法的反映。开始人们只会用一一对应的方法

来比较属于不同集合的元素个数的多少，后来逐渐认识到许多物体集合中的元素可以一一对应，

数学中把它们叫做等价集合。即，对于集合，

而言，它们之间就可以建立一一对应关系（如，映射，其中，i=1，2，…，n），进

而，也就构成了一组等价集合，自然数n就成为这些集合A、B、…的共同特征之一。

随着语言文字的发展，人们用数作为一类等价集合的标记，这样的数就是有限集合的基数，它

是一类有限等价集合的共同特征。集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集

合的基数就是自然数。特别地，空集的基数就是0。

（二）自然数的序数理论

为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。对某一个有限集合计数，就是

将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的

个数。这种想法启发了意大利数学家皮亚诺（,1858～1932），他于1889年建立了自

然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。

自然数的序数理论，是根据一个集合里某些元素之间有“后继”(如3是2的后继，15是14的后

继)这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按1、2、3、4、5、……这

样一种基本关系而完全确定下来。

定义非空集合N*中的元素叫做自然数,如果N*的元素之间有一个基本关系“后继”（b后继于

a,记为b=a′），并满足下列公理：

（1）0∈N*；

（2）0不是N*中任何元素的后继元素；

（3）对N*中任何元素a，有唯一的a′∈N；

（4）对N*中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后继于N*中某一元素b；

（5）（归纳公理）如果MN*，而且满足条件①0∈M；②若a∈M，则a′∈M。

那么，M=N*。

这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。

事实上，很容易验证，我们日常所用的全体自然数的集合满足上述定义。反之，如果把N*中

的0放在最前面，后面紧跟它的后继数，以此类推，可把N*中元素排成一列：0，0′，（0′）′，…。

如果选用适当的符号，如记0′=1，1′=2，2′=3，…，便是我们所熟悉的自然数列：0，1，2，3，

4，…。

当然，皮亚诺的这五条公理也可以用非形式化的方法叙述：

（1）0是自然数；

（2）0不是任何自然数的后继数；

（3）每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a′，a′也是自然数（一个数的后继数就是

紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；

（4）如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；

（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，

可以证明它对n′也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理保证了数学归纳法的正确性)

（三）自然数系所蕴含的思想、方法和问题

1．对应思想（可数的集合）与悖论

自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是

集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。而这个概念与约在公元前９世纪至公元前８

世纪的古希腊荷马史诗中的一段美妙故事连在一起：当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开

克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来

一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。

当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。这种方法在今天的数学上

就叫一一对应。

正是这个“对应思想”，导致了俗称“理发师悖论”的罗素悖论的发现，引起了数学上的第三次危

机。

值得一提的是，自然数系N*有一个几乎可以和悖论相提并论的“不可思议”的性质—N*与其偶

数集“一样多”。也就是说，对于N*与其偶数集，在对应法则f：n→2n（其中，n=0，1，2，…）

下，N*与之间可以建立一一对应关系，从而，二者个数“一样多”！这绝对是不可思议的事，

后者毕竟是前者的真子集。其实，对于无限集合来说，我们不能用有限集合的思维方式加以看待，

对于一个无穷集合，部分有可能等于全部！在数学上，人们将自然数系N*的基数（也叫“势”）

记做阿列夫0（而“阿列夫”是希伯莱字母表中的第一个字母）。

2．数位思想

位置制记数法是数系发展的第一个里程碑。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它

们不同个数的排列，以表示不同的数。

引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不

同的记数方法。最重要和最美妙的记数法则是十进位位置制记数法。法国著名数学家拉普拉斯

（Laplace,1749–1827）曾经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且

有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，

以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使

我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基

米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确

凿的史料证明，十进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张，

英国著名科学家、中国科技史大师李约瑟（JophNeedham,1900-1995）博士就曾指出“在西方

后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，十进位位置制记数法

的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，

十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

总之，了解自然数的一些基本数学知识、重要思想方法，可以更好地理解小学自然数内容，进

而为我们的小学自然数的教学设计找到坚实的根基。

二、高中数学典型内容分析1-算法初步

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，

算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思

想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算

法思想。

算法初步是高中数学《课程标准》课程内容的一个模块。在本模块中，学生将在义务教育阶段

初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；

通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法

的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

（一）内容要求

高中数学《课程标准》将算法编排在必修模块的数学3中。其内容和要求如下：

1．算法的含义、程序框图

（1）通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法

的思想，了解算法的含义。

（2）通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解

决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件

分支、循环。

2．基本算法语句

经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出

语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

3．通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

另外，《新课程标准》还要求把算法思想渗透在其他相关内容之中，中学数学中的算法内容和

其他内容是密切联系在一起的，比如线性方程组的求解、数列的求和等。

（二）设置算法内容的依据

在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具。计算机几乎可以是一个

全能的助手，你可以用它来做你想做的任何事情。“算法过程”即是机械式地按照某种确定的步骤

行事，通过一系列小的简单计算操作完成复杂计算的过程。人类最早关于算法的纪录存在于在两

河流域发现的公元前两三千年的泥板书上，其中的一个典型例子就是计算利息何时能够等于本

金。算法早期发展中值得一提的另一个成果应归功于古希腊的欧几里得，他提出的计算最大公约

数的辗转相除法（又称欧几里得算法）至今仍在使用。中国古代数学研究中也有许多有关算法的

成果。用我国传统的开方术求高次方程的近似根，是算法上的一大成就。

现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步

骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。比如，我们非常熟悉的带余除法、线性方

程组的消元法等，都是算法。

算法和计算机有着密切的联系，计算机解决任何问题都要依赖于算法。只有将解决问题的过程

分解为若干明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确的描述出来，计算机才能解

决问题。因此，算法是计算机科学的重要基础，没有算法也就没有计算机。

（三）算法内容的引入的重要教育价值

算法内容的引入有其重要的教育价值，主要体现在以下几个方面：

1．有利于培养学生的思维能力

算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性。对于一

个具体算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败。因

此，培养逻辑思维能力，不仅可以通过几何论证、代数运算等手段来进行，还可以通过算法设计

的学习来达到。

2．有利于培养学生理性思维和实践能力

算法既注重“算则”，更注重“算理”，对于算法而言，一步一步地程序化步骤，即“算则”固然重

要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用。“算法”是“算则”的基础，“算则”是“算理”

表现。算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中，有很丰富的层次递进的素材，而在算法的具

体实现上又可以和信息技术相联系，因而，算法有利于培养学生理性思维和实践能力，是实施探

究性学习的良好素材。

3．有利于学生理解构造性数学

构造性地解决数学问题不仅是重要的解决数学问题的方法，在数学哲学上也有重要的意义。构

造性数学是一个重要的数学哲学学派，他们只承认构造出来的数学，这种观念有其特定的真理性。

4．算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色

中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展也使算法

焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数

学思想在一个新的层次上的复兴，成为中国数学课程的一个新特色。

算法思想在高中数学课程中主要是以分散、渗透的方式进行呈现的。《新课程标准》力求把算

法融入到数学课程的各个相关内容当中，中学数学中有很多内容是和算法内容密切联系在一起

的。一般情况下，能够利用概念、公式或者定理、法则来解题的过程都可以看成算法的过程，都

可以用程序框图或程序语言来描述。《新课程标准》要求在教学中应注意挖掘教材，合理选择相

关内容渗透算法。在其它内容中渗透算法的目的有两个：一方面借助直观的算法表示（比如程序

框图），有利于学生更好地理解该内容；另一方面也有利于学生进一步学习算法，体会算法思想。

能够和算法结合的内容有很多，比如线性方程组的解法，求一元二次方程的根，还有函数奇偶

性、单调性的判定，数列求和，随机试验模拟等等。以下提供几个案例：

例1用算法程序框图描述判断一个函数奇偶性的步骤。

算法分析：

第一步：判断f(x)定义域是否对称，若否则f(x)非奇非偶，若是则执行第二步；

第二步：计算f(-x)，判断f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)①，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)

②则f(x)是奇函数；若①②都成立，则f(x)是既奇又偶函数；若①②都不成立，则f(x)是非奇非

偶函数。

程序框图如图1所示。

例2小明要登上一个20级的台阶，如果他每次只能登上一级或两级台阶，问登上台阶一共有

多少种方法？

分析：采用倒推法。假设登上20级台阶的方法数计为，小明迈完一步以后他面临两种情

况：若他第一步登了1级，还剩余19级，可能方法数为；若他第一步登了2级，还剩余18

级，可能的方法数。根据加法原理，，类推到一般情形有

(n>2).由于=1,=2，故可推出。

程序框图如图2，写成程序如下：

input“n=”;n

p=1

q=2

i=3

dowhilei<=n

=p+q

p=q

q=

i=i+1

loop

print“=”;

end

运行程序时，只要输入n=20即可得出本题结果。此程序还可以用于解当n取其它值时情形。

由结果可以看出在{}前再添加一项“1”，该数列则变成斐波那契数列，所以该题其实是斐波那

契数列的应用。

例3编程序，模拟随机试验：多次投硬币，求出现正面的频率。

分析：利用RND函数产生(0,1)之间随机数，再利用INT(RND(1)*2),便可随机产生0，1两个

数。以0代表出现反面，1代表出现正面。程序如下：

input“n=”;n

z=0

fori=1ton

t=int(rnd(1)*2)

ift=1then

z=z+1

endif

nexti

print“z=”;z

print“p=”;z/n

利用该程序，只需输入循环次数n（就好比投掷硬币的次数），就能输出出现t=1的次数z（就

好比出现正面的次数），以及频率p。

另外，在选修3-1《数学史选讲》专题中也可以渗透算法思想。《标准》对该部分提供了几个

可供选择的选题，其中涉及中国古代数学的选题多与算法有关，比如，“早期的算术与几何——

计数与测量”，“中国古代数学瑰宝”，“算法思想的历程”等。

《新课程标准》对算法部分的内容进行了如下说明与建议：

1．算法是高中数学课程中的新内容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，运用消元法

解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是算法。本模块中的算法内容是将数学中的算法与

计算机技术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使其能在计算机上实现。为了有

条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，

还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，

提高逻辑思维能力。不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。

2．算法教学必须通过实例进行，使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语

句。有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝试。

3．算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励

学生尽可能地运用算法解决相关问题。

在教学过程中，对算法内容，应着重强调使学生体会算法思想、提高逻辑思维能力，不应将算

法简单处理成程序语言的学习和程序设计，同时应通过具体实例的上机实现（或编程）帮助学生

理解算法思想及其作用。标准对传统内容的编排和要求也有新的变化，为了更好地理解和把握，

有效地进行教学，教师应进行必要的探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。

三、高中数学典型内容分析2-向量

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，

有着极其丰富的实际背景。既是代数的对象，也是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算。

作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长

度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，

方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数形与一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典

型体现。

高中数学《课程标准》将向量内容分为平面向量和空间向量两部分，其中，平面向量出现在必

修模块的数学4中，空间向量则出现在选修课程系列2的选修2-1中。在这两部分内容中，学生

将了解向量丰富的实际背景，理解向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和

物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

（一）平面向量

在高中数学《课程标准》中，平面向量的课程内容与要求是：

1．平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量

的几何表示。

2．向量的线性运算

（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。

（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义。

3．平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4．平面向量的数量积

（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

5．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向

量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

（二）空间向量与立体几何

1．课程内容与要求

在高中数学《课程标准》中，空间向量鱼立体几何的课程内容与要求是：

（1）空间向量及其运算

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其

坐标表示。

③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

①理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、

例3）。

④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中

的作用。

2．设置向量内容的依据

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有

着极其丰富的实际背景。向量既是代数的对象，又是几何的对象，体现了数形结合的思想。高中

数学教材中引入向量内容有其合理性和必要性。

（1）向量的引入符合国际数学课程改革的思路

随着国际数学教育的不断发展，各国的数学课程改革也在不断深入。很多国家在不断地改革过

程中把函数与微积分、概率统计、向量几何学作为高中数学的核心内容。例如，日本：高中有平

面几何选修课，高三选修有少量的向量几何；美国：没有综合法的几何学，但有向量矩阵表示的

几何变换；英国：没有综合法的立体几何，但有向量方法处理线面关系。

从国内数学课程的现状看，九年义务教育的实施，数学课程从内容到形式，较实施义务教育前，

要求有所降低，知识面有所扩大。而原有的高中数学课程教材存在比较多的缺陷，如教学内容陈

旧。在传统教材中，除集合思想有所渗透外，其他内容基本上只包括17世纪以前的代数、几何

内容，而在其他一些国家占有重要地位的概率统计、向量、微积分初步等很有实用价值的内容均

无所涉及。有些价值不大的内容又贪多求全。

高中新课程还体现了多样性和选择性，课程内容继承了我国数学教育的优良传统，重视学生对

必要的基础知识和基本技能的熟练掌握，并力图改变目前数学课程及实施过程中的某些“繁、难、

偏、旧”状况，重视数学与其他领域的联系，重视对数学的理解，重视借助现代数学中的基本思

想方法改造传统教学内容。以工具性为主要特点的向量作为有实用价值的内容之一，选入高中数

学新教材是合情合理的，这也符合国际数学课程改革的思路。

（2）向量的引入有助于学生了解现代数学与中学数学的联系

尽管现代数学的高度抽象性，使它与中学数学拉大了距离，但从数学发展的历史来看，现代数

学是多级抽象的结果。它的原型和特例大都来自变量数学，变量数学的原型与特例又来自于常量

数学，而数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中。

中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是现代数学的基础，是现代数学中许多

(不是全部)概念和理论的原型和特例所在。

作为现代数学重要标志的向量引入到中学数学中来，进一步发展和完善了中学数学知识结构体