一次函数知识点

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一次函数知识点大全

一变量：

自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是

自变量．

常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量．

函数：被变量是自变量的函数．

函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．

被变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是被变量．

二一次函数和正比例函数的概念

1．概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常

数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当

b=0时，称y是x的正比例函数.

（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根

据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次

方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，

一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

★判断一个等式是否是一次函数先要化简

（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.(正比例函数)

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

2.函数的表示方法：１）解析法，２）列表法，３）图象法．

列表法直观但不完全

解析法准确完全但不直观

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图象法直观形象但不够准确也不太完全

图象的画法：一列表二描点三连线（顺次用平滑的曲线）

解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值二）符合题意

三函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵

坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函

数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，

所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一

般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-

k

b

，

0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.

四一次函数性质

1.一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐

角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直

线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

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②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

函数kb经过的象限Y随x的变化图象

y=kx+b

(b≠0)

k＞0b＞0一,二三Y随x的增大而增

大

y=kx+b

(b≠0)

k＞0b＜0一三四Y随x的增大而增

大

y=kx+b

(b≠0)

k＜0b＞0一二四Y随x的增大而减

小

y=kx+b

(b≠0)

k＜0b＜0二三四Y随x的增大而减

小

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个

锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平

移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x

向上平移一个单位得到的．

2.正比例函数y=kx（k≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．

y=kxy=kx

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点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满

足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标

的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）

在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当

x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一

个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个

独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通

常是两个点或两对x，y的值．

五一次函数与方程

1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的

关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变

量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－

b

a

，

0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在

x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）

的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0

（a≠0）的解．

2.坐标轴的函数表达式

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函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0

表示；•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式

y=0表示．

3.一次函数与二元一次方程组的关系

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就

是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何

值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解

方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元

一次方程组有着密切的联系．

4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

（1）二元一次方程组11

22

ykxb

ykxb











有唯一的解



直线y=k1x+b1不平行

于直线y=k2x+b2

k1≠k2．

（2）二元一次方程组11

22

ykxb

ykxb











无解



直线y=k1x+b1∥直线

y=k2x+b2

k1=k2，b1≠b2．

（3）二元一次方程组11

22

ykxb

ykxb











有无数多个解



直线y=k1x+b1与

y=k2x+b2重合



k1=k2，b1=b2．

5.待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程

（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系

数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是

待定系数．

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用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四

代入

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值；

（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数

的关系式．

解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），

由题意可知，











,3

,21

bk

bk

解



















.

3

5

,

3

4

b

k

∴此函数的关系式为

y=

3

5

3

4

x．

六知识规律小结

1．常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．

①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．

②当k，b异号时，即-

k

b

＞0时，直线与x轴正半轴相交；

当b=0时，即-

k

b

=0时，直线经过原点；

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当k，b同号时，即-

k

b

﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；

当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；

当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；

当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；

当k＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．

2．直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．

直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)

当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；

当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．

3．直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．

①k1≠k2

y1与y2相交；

②











21

21

bb

kk

y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；

③











21

21

,

bb

kk

y1与y2平行；④











21

21

,

bb

kk

y1与y2重合.