已知弦长和拱高求半径

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由圆弧长和弦长求圆半径的数值解法

作者：肖中文王仲锋

来源：《管理观察》2009年第34期

摘要:为了解决已知弧长、弦长和弦端点放样圆弧问题,必须先求出圆半径。本文介绍根据

弧长和弦长,用数值解法求解圆半径的原理、方法和过程,并用工程实例进行验证。

关键词:圆弧圆半径最小二乘法放样

前言

在工程上,经常遇到这样的问题—给定弦长、弧长和弦线的两个端点,要求将圆弧在地面上

放样出来,以便施工,例如运动场跑道的圆弧放样便是如此。

如图1所示,如果算出圆弧所对应的半径R,便可通过绘大样图等给出CC1、DD1、EE1等

矢距,然后以AB为基线,根据AC、DC、DE的长度及CC1、DD1、EE1的数值,用直坐标法放

出圆弧上的点C1、D1和E1等。因此,圆半径的计算是问题的关键。

1.由弧长和弦长求圆半径的数值算法

设图1中圆的半弧长AE1、半弦长AE和圆半径分别为L、X和R,则有

X/R=sinθ=sin(L/R)(1)

虽然L、X已知,但由于sin(L/R)是非线性函数,故由式(1)直接解R是困难的,必须考虑使用

数值解法。

1.1数值解法的原理

根据式(1),设有函数

f(R)=X/R-sin(L/R)(2)

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将式(2)按台劳级数在R(k)处展开并只取一次项得:

其中R(k)为R的第k(k-0,1,2…)次解。

令

l=sin(L/R(k))-X/R(k)(4)

δR(k)=(R-R(k))(6)

则式(3)可简写为

f(R)=BδR(k)-l(7)

为了较精确地求得R,以便使f(R)→0,令f(R)=min,并根据最小二乘原理得:

δR(k)=l/B(8)

δR(k)解出后,根据式(6),可得

R=R(k)+δR(k)(9)

将式(9)算出的R作为新的R(k)带入式(4)、(5)重新计算l、B,并用式(8)重新计算δR(k),用

式(9)重新计算R。如此循环,直至δR(k)→0为止。

1.2第一次初解的给定

考虑到L/R通常较小,则可将sin(L/R)按台劳级数展开为

sin(L/R)≈L/R-(L/R)3

结合式(1),有

X/R≈L/R-(L/R)3(10)

解上式得到的近似解即可作为初解,即有

2.算例

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已知圆弧的半弧长为81.616m和弦长为77.545m,求圆半径。有关计算结果列入表1。实际

计算是用Excel表完成的,表1只截取了部分过程。

从表1可以看出,根据已知的L和X,用式(11)算出R(0)=149.1890m后,带入相应公式进行迭

代计算,只需迭代两次,便可得到的R较为精确的解,即R=148.0596m。将已知的L、X和算得的

R=148.0596m代入式(2)检验,算得f(R)=-1.5461×10-8。可见,用数值解法求解的R精度较高。

3.结束语

本文介绍了已知弧长和弦长,用数值解法求解圆半径的原理、方法和过程,并用工程实例进

行了验证。该法具有理论严密、方法简单、精度高等特点,可为实际工程所应用。◆

参考文献:

[1]武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础(第三版)[M].测绘出版社,1996

[2]施妙根,顾丽珍.科学和工程计算基础[M].北京:清华大学出版社,1999:351-356:266-269