对数函数性质

对数函数及其性质

【教学目标】

①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.

②掌握对数函数的性质.

③通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，培养

学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．

【教学重难点】

重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.

难点：底数a对对数函数图象和性质的影响.

【教学过程】

（一）预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.

（二）情景导入、展示目标

1、让学生看材料：

材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世

界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可

以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。

大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而

成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不

利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王

堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可

以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年

份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学

有关。图4—1

（如图4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前

奇迹般地“复活”了）

那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？

前面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用

5730

1

2

logtP估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的

取值，通过这个对应关系，

生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数；

材料2（幻灯）：如图4—2，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成

4个……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10

万个……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即

xy

2

log

；

图4—2

2、引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，

从而得出对数函数的定义：函数0(logaxy

a

，且

)1a

叫做对数函数，其中

x

是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○

1

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：

2

2

logyx，

5

log

5

x

y

都不是对数函数．

○

2

对数函数对底数的限制：

0(a

，且

)1a

．

3、根据对数函数定义填空；

例1（1）函数2log

a

yx的定义域是___________(其中a>0,a≠1)

(2)函数log(4)

a

yx的定义域是___________(其中a>0,a≠1)

（三）合作探究、精讲点拨

〈1〉、画图、形成感知

1．确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生1：对数函数的图象和性质

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方

法吗？

学生2：先画图象，再根据图象得出性质

教师：画对数函数的图象是否像指数函数那样也需要分类？

学生3：按1a和1a0分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征？

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：

步骤一：用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

xy

2

log

xy

2

1

log

步骤二：观察对数函数

xy

2

log

与

xy

2

1

log

的图象特征，看看它们有那些异

同点。

步骤三：如图4—5选取底数

a

=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并演示‘几

何画板’，得到相应对数函数的图象。利用‘几何画板’的强大作图功

能，让学生非常清楚地看到底数

a

是如何影响函数0(logaxy

a

，且

)1a

图象的变化。

步骤四：归纳出能体现对数函数的代表性图象

图4—5

2．学生探究成果

（1）如图4—3较为熟练地用描点法画

出下列对数函数

xy

2

log

、

xy

2

1

log

的图象

（2）有了这种画图感知的过程以及学

习指数函数的经验，让学生明确

y=log

a

x（a>1）、y=log

a

x(0

形。（图4—6）

y=log

a

x（a>1）y=log

a

x(0

（3）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，

向y轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐

步上升；当0

3．拓展探究：

（1）对数函数

xy

2

log

与

xy

2

1

log

的图象有怎样的对称关系？

（2）对数函数y=log

a

x（a>1），当a值增大，图象的上升“程度”怎

样？说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性

认识就比较全面。

〈2〉、理性认识、发现性质

1．确定探究问题

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函

图4—3

图4—6

数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数

的性质有哪些途径？

学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特

征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质

2．学生探究成果

在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：

函

数

y=log

a

x（a>1）y=log

a

x(0

图像

定义域

(0,)(0,)

值

域

RR

单调性

在

(0,)

上是增函数在

(0,)

上是减函数

过定点（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0

取值范围

0

x>1时，y>0

00

x>1时，y<0

（四）反思感悟、学以致用

问题一：（幻灯）（教材p72例8）比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log

2

3.4,log

2

8.5（2）log

0.3

1.8,log

0.3

2.7

（3）log

a

5.1,log

a

5.9(a＞0,且a≠1)

独立思考：1.构造怎样的对数函数模型？2.运用怎样的函数性质？

小组交流：（1）

xy

2

log

是增函数（2）

0.3

logyx是减函数

（3）log

a

yx，分1a和1a0分类讨论

变式训练：1.比较下列各题中两个值的大小:

⑴log

10

6log

10

8⑵log

0.5

6log

0.5

4

⑶log

0.1

0.5log

0.1

0.6⑷log

1.5

0.6log

1.5

0.4

2．已知下列不等式，比较正数m，n的大小：

(1)log

3

m

3

n(2)log

0.3

m>log

0.3

n

(3)log

a

m

a

n(0

a

m>log

a

n(a>1)

问题二：（幻灯）（教材p72例9）溶液酸碱度的测量。

溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH=—lg[]，其中

[]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。（1）根据对数函数性质及上述

pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已

知纯静水中氢离子的浓度为[]=-摩尔/升，计算纯静水的pH

独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型？运用什么函数性质？

小组交流：pH=-lg[]=lg[]=lg1/[],随着[]的增大，pH减

小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大

（五）归纳总结、提炼升华

（六）当堂检测：（祥见课内探究案）

【板书设计】

一、对数函数及其性质

1.定义

2.性质

二、例题

例1

变式1

例2

H

H

H710

HHHH

变式2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

2．2．2对数函数及其性质学案

课前预习学案

一、预习目标

记住对数函数的定义;初步把握对数函数的图象与性质.

二、预习内容

1、对数函数的定义_______________________________________.

2、对数函数log

a

yx(a＞0,且a≠1)的图像和性质

研究函数和的图象；

请同学们完成x，y对应值表，并用描点法分别画出函数

2

logyx

和

1

2

logyx的图象:

x…1…

…0…

1

2

logyx

…

[来

源:Zxxk.

Com]

0…

xy

2

1

log

O

y

x

xy

2

log

xy

2

log

观察发现:认真观察函数

2

logyx的图象填写下表：

（表一）

图象特征代数表述

图象位于y轴的________.定义域为：[来

图象向上、向下呈_________趋势.值域为：

图象自左向右呈___________趋势.单调性：函数在(0,+∞)上是：

观察发现:认真观察函数

1

2

logyx的图象填写下表：

（表二）

图象特征代数表述

图象位于y轴的________.定义域为：

图象向上、向下呈_________趋势.值域为：

图象自左向右呈___________趋势.单调性：函数在(0,+∞)上是：

对数函数log

a

yx(a＞0,且a≠1)的图像和性质：（表三）

01

图

象

定义

域

值

域

性质

(1,0)

O

y

x

x

x=1

)10(logayx

a

y

O

x=1

(1,0)

)1(logayx

a

三、提出疑惑

课内探究学案

一、学习目标

1理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.

2掌握对数函数的性质.

学习重难点

对数函数的图象与性质

二、学习过程

探究点一

例1：求下列函数的定义域:

（1）;(2)

.

练习：求下列函数的定义域:

（1）;（2）.

解析:直接利用对数函数的定义域求解，而不能先化简．

解：

探究点二

例2：比较下列各组数中两个值的大小:

(1)(2)

（3）log5.1,log5.9

aa

(a＞0,且a≠1).

思考一：比较下列各组数中两个值的大小：

)4(logxy

a



2logxy

a



7.2log,8.1log

3.03.0

)1(log

5

xy

x

y

2

log

1



5.8log,4.3log

22

（1）

3

lg42o

8

lg52o（2）

1.80

lg3o

2.70

lg3o

思考二：比较下列各组数中两个值的大小：

（1）

6

lg7o

7

lg6o（2）

3

lg5o

0.5

lg0.6o

练习：比较下列各题中两个值的大小：

（1）

0.5

lg6o

0.5

lg4o

（2）

1.5

lg1.6o

1.5

lg1.4o

（3）若

3

lgom<

3

lgon，则mn

（4）若

0.3

lgom>

0.3

lgon，则mn

三、反思总结

四、当堂检测

1、求下列函数的定义域

（1）

2log

a

yx

（2）

log(4)

a

yx

2、比较下列各组数中两个值的大小

（1）22

log3.4,log8.5

（2）0.30.3

log1.8,log2.7

课后练习与提高

１.函数f(x)=lg(

xx12

)是（奇、偶）函数。

２．已知函数f(x)=log0.5(-x2+4x+5),则f(3)与f（4）的大小关系

为。

３．已知函数在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

)ax2(logy

a

