三角形外心的性质

三角形外心的性質與證明

教材章節:

國中數學第五冊第三章第三節

教學目標:

根據外心的基本定義推導出下列性質：

＊若△ABC為銳角三角形，且O為△ABC的外心，則

BOC＝2A。

＊若△ABC為鈍角三角形，A為鈍角且O為△ABC的外心，則

BOC＝360。－2A。

思考與分析:

根據題目我們唯一可以知道的線索只有一個那就是----Ｏ為外心，所

以很明顯的我們應該由外心的定義與性質著手，首先我們先複習一下什麼

是外心？

外心的定義：

三角形三邊中垂線的交點，叫做這個三角形的外心。

外心是三角形三邊中垂線的交點，講到中垂線，你又會想到什麼呢？過去

我們曾經證明過〝一線段之中垂線上的任一點到線段的兩端點等距離〞，

如果是這樣，那麼根據這個好性質我們又能下怎樣的結論呢？沒錯！那就

是三角形的外心到三頂點等距離，且Ｏ是三角形外接圓的圓心。

有了這些訊息現在我們可以朝下面兩個方向去努力，看看能不能得到

更進一步的資訊或看出什麼端倪，

第一：外心到三頂點等距離；（p.153）

第二：外心是三角形外接圓的圓心。（p.153）

第一部份

已知：O為銳角三角形ABC的外心

求證：BOC＝2A

【分析方向一】利用外心到三頂點等距離

（a）想到作AO，因為外心到三頂點等

距離，得OCOBOA，所以

＊△OAB、△OAC、△OBC為等腰三

角形

＊1＝2、3＝4、5＝6

（b）題目中出現BOC、A，我們是不是能想辦法用1、2、3、4、

5、6來表示A和BOC呢？很明顯，我們知道

2＋3＝A

所以題目中的2A可視為22＋23

2A＝2（2＋3）＝22＋23

又因為1＝2、3＝4，所以2A＝(1＋2)＋(3＋4)

即2A＝2（2＋3）＝22＋23＝(1＋2)＋(3＋4)

（c）(1＋2)＋(3＋4)中，其中（1＋2）為△OAB的兩個內角和，

（3＋4）為△OAC的兩個內角和，講到三角形兩內角之和聯想到

三角形外角定理

三角形外角定理：

三角形任一外角等於其兩個內對角之和

（d）製造外角，所以延長線段AO，得

7＝1＋2、8＝3＋4

（e）稍作整理不難發現BOC＝2A

BOC＝7＋8＝（1＋2）＋（3＋4）＝22＋23＝2A

【證明一】

（1）作AO

（2）∵OCOBOA

∴△OAB、△OAC為等腰三角形

∴1＝2、3＝4

（3）∵2A＝2（2＋3）

＝22＋23

＝（1＋2）＋（3＋4）

＝7＋8（根據三角形外角定理）

又BOC＝7＋8

∴BOC＝2A

【分析方向二】利用外心是三角形外接圓的圓心

（a）因為O為△ABC的外心，所以O為△ABC

外接圓的圓心。

（b）A為圓周角、BOC為圓心角且兩角夾

等弧。

圓周角的度數等於所夾弧度數的一半

圓心角的度數等於所夾弧的度數

＊A＝BC

2

1

、BOC＝BC

【證明二】

∵A＝BC

2

1

（圓周角的度數等於所夾弧度數的一半）

BOC＝BC（圓心角的度數等於所夾弧的度數）

∴BOC＝2A

第二部份

已知：O為鈍角三角形ABC的外心且A為鈍角

求證：BOC＝360。－2A

【分析方向一】利用外心到三頂點等距離

（a）想到作AO，因為OCOBOA，所以

＊△OAB、△OAC為等腰三角形

＊1＝ABO、2＝ACO

（b）題目出現BOC、A，所以想辦法用1、2、3、4、ABO、

ACO來表示A和BOC

＊BAC＝1＋2、BOC＝3＋4，

＊3＝180。－(1＋ABO)、4＝180。－(2＋ACO)，所以

BOC＝3＋4＝[180。－(1＋ABO)]＋[180。－(2＋ACO)]

＝(180。－21)+(180。－22)(∵AOB=1、ACO=2)

＝360。－2（1＋2）

因為1＋2＝A，所以BOC＝360。－2A

【證明一】

（1）作

AO

（2）∵OCOBOA

∴△OAB、△OAC為等腰三角形

∴1＝ABO、2＝ACO

（3）BOC＝3＋4

＝180。－(1＋ABO)＋180。－(2＋ACO)

＝（180。－21）＋（180。－22）

＝360。－2（1＋2）

＝360。－2A

【分析方向二】利用外心是三角形外接圓的圓心

（a）因為O為△ABC的外心，所以O為

△ABC外接圓的圓心。

（b）A為圓周角、BOC為圓心角

＊A＝

BDC

2

1

、BOC＝(360。－BDC)

【證明二】

∵A＝

BDC

2

1（圓周角的度數等於所夾弧度數的一半）

BOC＝（360。－BDC）（圓心角的度數等於所夾弧的度數）

∴BOC＝360。－2A

D

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