初中数学题

更新时间:2023-01-24 09:41:07 阅读：评论：0

大学生数学建模竞赛试题-杭州纬度

2023年1月24日发(作者：小学语文课件)

一、有理数与无理数、相反数、绝对值

（－２）槡２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，－５，３槡

把它们分别填在相应的大括号里

非负有理数集合｛ …｝．

解析：分数集合｛７．２，０．１，－５

，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，０．１·０２·，…｝．

整数集合｛－２２，－３槡

６４，（－２）槡２，－５，…｝．

负有理数集合｛－２２，－３槡

非负有理数集合｛７．２，０．１，（－２）槡２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，０．１·０２·，…｝．

０．１０１００１０００１０…、３－

解析：根据有理数及无理数的意义，通常可以循以下思路来挑选、甄别：整数、

分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数；无限不循环小数是无理数；π

无理数；有根号，能求得结果是整数或分数（也称作开方能开尽）的是有理数，否则

是无理数；锐角特殊角的三角函数中除

个；０．１０１００１０００１０…、

★★在实数中，倒数等于本身的数是

因为互为倒数的两数乘积等于

１，而这两数相等，只能同时为

－１，所以倒数等于本身的数是

０，所以相反数等于本身的数是

根据绝对值的意义，绝对值等于本身的数是任何

狓，根据题意，可分别列出方程：

互为相反数，则下列各对数中（）不是互为相反数

★★下列命题中，正确的是（）．

解析：因为任意实数的绝对值总是惟一确定的非负数，故（Ｂ）错误；而

对值也等于它本身，所以（Ｃ）、（Ｄ）错误

犫，则下列说法正确的是（）．

都是非负数，则条件中第二个不等式可化为

★★判断语句“因为负数的绝对值等于它的相反数，所以若

０”是否正确，并说明理由

解析：上述语句中条件“因为负数的绝对值等于它的相反数”是正确的，但反

的绝对值等于它的相反数，所以

解析：本题有以下三种情形：

的非负整数对（犪，犫）．

两个代数式的值都是非负整数，则只能一个为

用逐一列举的方法，求得满足条件

的非负整数对有三对：（０，１），（１，０），（１，１）．

★分别写出满足下列条件的实数，你能写出几个

的平均数，……即可得到所需要

的任意个有理数（无理数）．

从而我们能够体会到任意两个实数之间都有无穷多个

解析：（１）±５；±５；５．

（１）平方根等于本身的数是

（２）算术平方根等于本身的数是

（３）立方根等于本身的数是

解析：（１）因为正数的平方根有两个，所以平方根等于本身的数只能是

（２）因为正数的算术平方根只有一个，０

（３）因为正数、负数的立方根都是惟一的，０

犪，下列结论总正确的是（）．

（Ａ）犪２与（－犪）２互为相反数（Ｂ）槡

犪，（Ａ）、（Ｄ）中两式都是相等的，而（Ｂ）中当

个没有意义，（Ｃ）中３－

算术平方根总是非负数，④

一个数的立方根总比它本身小”中，正确的有（）．

，比它本身大，所以都是错误的；根据算术平方根的定

解析：比较第二、三两个等式，可知

去除重复情形，犪、犫、犮

解析：（１）原等式可化为

★★分别求出满足下列条件的数：

（１）某数立方根的绝对值是

★★一个底面直径等于高的圆柱形容器，容量是

解析：设这个圆柱形容器的底面半径是

★★已知一个数的平方根是

解析：根据平方根的意义，可知

★★不用计算器，估计以下各数在哪两个连续整数之间：

解析：这类问题关键应确定绝对值内代数式的值的符号

２０１０，所以原式可化为

是一个完全平方数，它的下一个完全平方数是什么

是一个完全平方数，所以可设

下一个完全平方数是（狓＋１）２，即（槡

、狓２的对应点之间的距离为

★和数轴上所有的点一一对应的是（）．

（Ｄ）所有的整数、分数和无限不循环小数

解析：因为数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数与无理数，其中有理

数包括整数与分数，无理数就是无限不循环小数，所以应选

犪、犫，正确的应该是（）．

在数轴上的对应点如图所示，试比较

犪、－犪、犫、－犫、犪＋

应点在数轴上标出，较为直观

在数轴上的对应点如图所示，化简

在数轴上的对应点如图所示，试比较

作数轴的垂线，并在其上取一点

为半径作弧，交数轴的正方向于点

解析：根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点

时（如图（ａ）所示），犿

位于其他位置时，原式的值大于

解析：根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点

的解法，结合数轴，不难得出：

）的任意位置，原式的值最小

四、科学记数法与近似计算

９写成普通小数的形式，在小数点后有连续

数的正确值的范围是（）．

４．０５５（Ｂ）４．０４

４．０５５（Ｄ）４．０４５

解析：根据题意，近似数精确到百分位，说明是对数

★★下列说法中正确的是（）．

四舍五入精确到个位，所得近似数有一个有效数字

精确到十分位，所以（Ａ）不正

２．４×１０２有两个有效数字，所以（Ｂ）不正确；近似数

７．０×１０，有两个有效数字，所以（Ｄ）不正确

★下列叙述中的数字哪些是精确数字，哪些是近似数：

年国家颁布实施《义务教育法》以来，我省每年有近

万平方千米陆地面积中，森林覆盖面积占

解析：（１）中“１９８６”、“９”是精确数字；（１）中“１

百万”，（２）中“９６０

“１８．２１％”是近似数

★★判断下列语句是否正确，并简述理由：

２精确到十分位，有两个有效数字；

解析：前四句语句都是错误的，（５）是正确的

３２００，仍表示精确到个位，有四个有效数字，按要求应表示为

是一个完整的整体，数字“２”是千分位上的数

（３）按照近似计算规则，只能对精确到要求位数的下一位数字一次四舍五入，

（４）按有效数字的意义，０．７０３０

（５）若两者都是精确数，显然是相同的

位，有一个有效数字，它的正确值在

精确到个位，有五个有效数字，它的正确值在

★按括号内的要求对下列各数取近似值：

（１）０．０２４６６（精确到千分位）；（２）２．６７９×１０４（保留三个有效数字）；

（３）１．９６７（精确到

０．１）；（４）５２４７．９（保留两个有效数字）．

解析：（１）０．０２４６６

２．０．（４）５２４７．９

★计算，并将结果用科学记数法表示：

１０８）；（２）（１．６

★★根据要求解答下列问题，结果用科学记数法表示：

（１）随着计算机技术的发展，不少复杂的数学命题都能用计算机进行证明

５×１０１２次运算，一个数学命题的证明花了

犚３，将地球近似看作半径约为

千米的球体时，求地球的体积（结果保留

（３）纳米是一个非常小的长度单位，已知

纳米，若将这种病毒逐个紧靠，排成

毫米长，问病毒的个数是多少

吨废纸造出的再生纸相当于

万初中毕业生，经抽样估计，每位毕业生离校时平均有

若他们都能将这些废纸送到回收站造纸，至少能使多少亩森林免遭砍伐

解析：（１）进行运算次数为

（３）根据题意，一个病毒的直径为

１００×１０－６毫米，则排成

（４）根据题意，８７．４

万初中毕业生的废纸吨数约为

１０３（亩）森林木材的造纸量，即至少能

★直接写出下列各式运算的结果：

０，所以等式左边两个加数（两个商式）中必然一个

★下列说法中正确的是（）．

（Ａ）若两个实数的和是正数，则这两个数都是正数

（Ｂ）两个实数的差一定小于被减数

（Ｃ）如果若干个实数相乘所得积是负数，则负因数的个数是奇数

（Ｄ）零除以任意实数所得的商总为零

解析：（Ａ）、（Ｂ）中容易举出反例如下：（－

（Ｄ）中除数应该是任意非零实数

★下列各式计算正确的是（）．

解析：（Ａ）、（Ｂ）、（Ｄ）都在运算结果中的符号上出现了差错，应选

★★下列说法是否正确，试说明理由或举出反例判断：

（１）任意两个无理数的和或差仍是无理数；

（２）任意两个无理数的积或商仍是无理数；

（３）两个无理数的和与差有可能都是有理数；

（４）两个无理数的积与商有可能都是有理数

的差、积或商都是有理数，所以

（１）、（２）是错误的；（４）正确

所以“两个无理数的和与差有可能

（１）（－１００）×（０．０１）×（－９９９）×０×

（２）（－８）×（－１２）×（－０．１２５）×－（）１

解析：（１）因为原式中有一因数是

（１）－０．３２÷０．５×２÷（－２）２；（２）（）２

·（－３）３÷（－３２）．

（１）（－２２）×（－１）２＋（－３）×（－２３）；

（４）－２４÷－２（）２

×［－２－（－３）３］－

（－２）３×（－１）３－１３÷－（）１

０．１２５×２３＋［１－３２×（－２）］

个数进行适当的混合运算，每个数字都用到且只能

（１）７，３，－６，－３；（２）１，－２，２，３．

解析：本题为开放型问题，可结合有理数运算法则，进行适当的估算，结论一

★某超市推出如下优惠方案：（１）一次性购物不超过

优惠；（２）一次性购物超过

元一律九折；（３）一次性购物超过

并在一次购买，应付款多少元

元时，所购物品价值可能是

折优惠后的付款数；也可能是

元，享受八折优惠后的付款数

一次性购买全部商品，应付款（８０

个方格中，每行、每列以及每条

对角线上三个数字的和相等，求

狓、狔，定义一个运算“”：狓

地，准备修建“和谐花园”住宅区

计划在该住宅区内建造八个小区（犃

区两个小区都修建成高档住宅，每层

区三个小区都修建成中档住宅，每层

区三个小区都修建成经济适用房，每

７５０ｍ２，初步核算成本为

整个小区内其他空余土地用于修建小区道路通道，植树造林，建花园、运动场

及居民生活公共设施等，共计需要

开发商打算在修建完工后，将高档、中档和经济适用房以平均价格分别为

帮忙计算出房地产开发商的赢利预计是多少元

解析：楼房全部售完总销售额为：３０００

答：房地产开发商的赢利预计是

★某单位需以挂号信或特快专递方式向五所学校各寄一封信

根据这五所学校的地址及信件

的重量范围，在邮局查得相关邮费标准如表

的信若以挂号信方式寄出，邮寄费为多少元

（２）这五封信分别以怎样的方式寄出最合算

的信以挂号信方式寄出，则邮寄费为

７．５（元）；以特快专递方式寄出，邮寄费为

（２）这五封信的重量均小于

ｇ，若以特快专递方式寄出，邮寄费均为

的信以挂号信方式寄出，费用为

的信以挂号信方式寄出，费用也小于

挂号信方式寄出，则邮寄费为

５×０．８＋２×２＋３＋０．５＝１１．５（元）＞

的信以挂号信方式寄出，费用均超过

两封以挂号信方式寄出，后三封以特快专递方式寄出最合算

★今年，某市市政府的一项实事工程就是由政府投入

升抽水马桶进行免费改造，某社区为配

合政府完成该项工作，对社区内

户进行了随机抽样调查，并

２０３１２８２１１２６９２

（１）试估计该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有

（２）改造后，一只水龙头一年大约可节省

吨水，一只马桶一年大约可节省

吨水，试估计该社区改造后一年共可节约多少吨自来水

户家庭中，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多

户家庭一年共可节约用水：

答：估计该社区一年共可节约用水

设既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有

头不改造马桶的家庭共有（９２－狓）户，只改造马桶不改造水龙头的家庭共有

改造水龙头又要改造马桶的家庭共有

户中包含只改造水龙头与同时改造水龙头

和马桶两类家庭；同理，改造马桶

户中包含只改造马桶与同时改造水龙头和马

所以既要改造水龙头又要改造马桶的家庭户数为

９２＋７１－１００＝６３．

所学校，用于搭建帐篷和添

根据各校不同的受灾情况，该企业捐款的分配方法如表

结果捐款恰好分完，且所有学校得到的捐款数都相等

根据以上信息，解答下列问题：

时，该企业能援助多少所学校

（３）根据震区灾情，该企业计划再次提供不超过

由（２）中条件确定，则再次提供的捐款最多又可以援

解析：（１）根据题意，所有学校得到的捐款数都与第

（３）由（２）可知，第一所学校获得捐款

★我们经常用作实验工具的普通骰子

注意过没有，任意相对两个面上的点数之和都相等

对相对的面，所有数字之和为

１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１，所

以每一对相对两个面上的点数之和为

★★科学家发现：相当一部分植物的花瓣、花萼的数目及其他特征，非

常吻合一个奇特的数字序列———著名的斐波那契数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１，

３４，５５，…仔细观察这个数列，它的第

解析：对于从观察分析中探求一般规律的问题，通常注重于数字序列的特征，采

用“猜想———验证———排除”的方法进行

对逐项增加（或逐项减少）的数列可以观察

前后数的差或比值是否相同，后一数是否为它前面某些数的和或积等

不具有前一特征，但明显的是前两个数都为

１，它们的和等于第三个数，进而注意到

８，…这一规律直至给出的第

个数起，每个数都是它前面两个数的和，故第

★★图（ａ）是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面

的正方形图案，如图（ｂ），其中完整的圆共有

形图案，如图（ｃ），其中完整的圆共有

图（ｄ），其中完整的圆共有

解析：图案中完整的圆有两类：（１）每块瓷砖内的一个圆；（２）４

而成的圆（如图（ｂ）中中心处的圆）．

对第（２）类圆作如下观察、归纳：１

的图案中没有这样的圆，２

个小正方形，小正方形的个数有

方式分割后，小正方形的个数可以有

的矩形分割成正方形，有以下几种情形：①

★★《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作

程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的

．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为

看图方便，我们把它改为横排，如图所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表

把图（ａ）所示的算筹图用我们现在所熟悉

的方程组形式表述出来，就是

类似地，图（ｂ）所示的算筹图我们可

解析：解答这类问题关键在于仔细阅读、理解题意，从给出的例题中观察、发

的系数，比较数字与符号可知

别用一条、两条、三条、四条竖线表示；第

列是常数项中十位数字，１、２

列是常数项中的个位数字，其中

注意到相应待探求的算筹图中第二个方程中常数项的个位数

７，不难发现写成现在的方程组形式应是

将所给出方程组“翻译”为算筹图应该如图（ｃ）

★下面是按一定规律排列的一列数

、犪１３中，最大的一个数

解析：观察这一列数中各个数表达式的前一部分（被减数）：

后一部分（减数）第一个数为

可尝试先对前两个因数进行探索：１

可知各数的后一部分（减数）都相等

综上所述，可知这一列数中各数逐个递减，故

★甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，

输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局

（Ａ）甲（Ｂ）乙（Ｃ）丙（Ｄ）不能确定

次裁判”，可知甲、乙对阵

局；由条件“甲、乙各比赛了

有一输，所以在甲、乙对阵之后至少有

★在五环图案内，分别填写五个数

犪、犫、犮、犱、犲，如图（ａ），其中

之间选择另一组符合条件的数填入图（ｃ）．

显然，三个连续偶数之和是

１、３、５、７、９、１１、１３、１５、１７、１９．

６、８、１０、１１、１３，或

１０、１２、１４、１７、１９．

如图（ａ），一个已知正方形的边长为

将这个正方形各边两等分，如图（ｂ）分割成

２２个全等的小正方形，则每个小正

，所有小正方形周长的和为

将这个正方形各边三等分，如图（ｃ）分割成

３２个全等的小正方形，则每个小正

，所有小正方形周长的和为

，所有小正方形周长的和为

若干个相同的小正方体，这些小正方体表面积的和与原正方体表面积有什么关系

个平方单位，正方体的表面积

可以参照上述分析、解答，分别对棱二等分、三等分的情形进行讨论、归纳，探

索一般规律，如图（ｆ）、（ｇ）．

在上述基础上，也可以直接对将棱

狀３个相同的小正方体，每个

６狀，是原正方体表面积的

★试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和：

解析：如图，把一个面积为

的矩形，接着，再把面积为

的矩形，……显然，图中所有矩形面积的和就

是整个正方形的面积，所以

★★观察以下一列数的规律，写出其中的第十个数：

解析：解这类问题的关键是由观察、分析入手，发现规律，归纳得出结论

列数中，负数、正数交替出现，第十个数应该是正数

从第二个数开始，每个数的绝

倍，也就是说：第二个数是

上所述，第十个数是（）１

与它前面的那个数的差的倒数”．

（２）根据以上计算结果，求

解析：（１）直接通过计算可得

，所以这一列数以（１）中所得的三个数为一组循环出

来方向如何），能否经过若干次转动后，使

生向后转（不论原来方向如何），能否经过若干次转动后，使

解析：我们可作如下规定：将学生面朝南的状态用“＋１”来表示，面朝北的状

态用“－１”来表示，则每“向后转”一次，对应于原来的数乘以“－１”．

利用有理数乘法来说明问题

（１）能够经过若干次转动，使

以下是其中的一个方案：开

＋１，＋１，＋１，＋１，＋１，＋１，＋１．

第一次转动后：＋１，＋１，＋１，＋１，－１，－１，－１；

第二次转动后：＋１，－１，－１，－１，－１，－１，－１；

第三次转动后：－１，－１，－１，－１，－１，＋１，＋１；

第四次转动后：－１，－１，－１，＋１，＋１，＋１，－１；

第五次转动后：－１，－１，－１，－１，－１，－１，－１．

因为当全体学生面朝南时，对应于

１，如果全部朝北，则对应于

的符号总不变，也就是说，每次有

个学生向后转，不论多少次，都不能使

★★观察下表中各数，试问绝对值为

的数应排在第几行，第几列

解析：观察各数排列规则，我们发现：表中各数的绝对值正好是偶数的依次排

个数的绝对值从小到大分别位于第

个数的绝对值从大到小分别位于第

是负数，偶数列的数是正数

个代数式的值不可能相等，可取特殊

为无理数，下列代数式：犪

以值一定是无理数的代数式有

犪，下列等式成立的是（）．

（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）不能确定

★★比较下列各组数的大小：

解析：通常可以利用计算器求近似值，或利用平方根的性质，直接应用下题所

解析：要比较两数的大小，我们可以求出它们的差，判断差的符号

★比较下列各组数的大小：

（３２０＋１）（３２２＋１）－（３２１＋１）（３２１＋１）

（３２１＋１）（３２２＋１）

３４２＋３２０＋３２２＋１－３４２－３２１－３２１－１

（３２１＋１）（３２２＋１）

３２０＋３２２－３２１－３２１

（３２１＋１）（３２２＋１）

３２２－３２１＋３２０－３２１

（３２１＋１）（３２２＋１）

（３２１＋１）（３２２＋１）

（狓＋３）（３狓＋１）－３（狓＋１）（狓＋１）

（３狓＋３）（３狓＋１）

３狓２＋１０狓＋３－３狓２－６狓－３

（３狓＋３）（３狓＋１）

（３狓＋３）（３狓＋１）

若有最小值，请予求出；若没有最小值，说明理由

是无理数的情况是存在的，例如

是有理数，而有理数都可以写成整数或分数的形式，即可设

是有理数，而有理数都可以写成分数的形

这时等式左边是无理数，而等式右边是有理数，显然这是不可能的

是无理数，而等式右边是有理数，所以假

不是无理数”不能成立，即

犪１是奇数，犪２是偶数，犪３是

犪２＋犪３的个位数字……犪狀＋２是

小数点后的各位数字有如下规律：奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇…．

其中反复出现有序整数对（奇，偶）：前一个数只能取

中的一个，所以数对（奇，偶）至多只能有

不同情况，因此在无穷小数中必会出现两个整数对（奇，偶）是一样的

照规则，它们后面的数字及其顺序就完全相同，所以

小数点后的各位数字以（奇，偶，奇）的数组循

环出现，而这样的数组最多有

种不同形式，所以在无穷小数中必然

会出现两个三数组（奇，偶，奇）是完全一样的，此后就会出现循环

★将下列代数式分别填入相应的大括号内：

解析：根据同类项的定义，得

（１）若单项式（狀－２）狓２狔｜

★下列各对单项式中不是同类项的是（）．

４狓２狔）２（Ｂ）２８狓４狔３与

０．０２犪犫２（Ｄ）－３４与

解析：（Ａ）、（Ｂ）都符合同类项的定义，－３４与

－４３都是常数项，也是同类项，

（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）－２（Ｄ）２

解析：这个多项式的奇次项是

４犿＋狀是常数项，所以当

★★按要求将下列各式重新排列：

狔）看成一个整体，将代数式

狓２狔４，试分别列出它们的相同与不同

解析：认识单项式，要分辨它所含的字母、系数、次数等

例如：这两个单项式的次数相同、系数都为分数等；不同之处为所

含字母不同、字母的个数不同、系数不同等

的降幂排列，前几项如下：狓１０－

４狓７狔３＋…已知这个多项式各项的次数都相同，且系数有一定的规律

第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式

解析：观察发现，这个多项式每一项的次数都是

＋３，－４…的规律出现，奇数项（即字母的指数为偶数的项）系数为正数

★试分别用两种不同的标准对下列多项式进行分类：

解析：多项式可以按它们的项数、次数进行分类，也可以观察它们的字母、各

这是开放性题，答案不惟一

按所含字母个数分：含有一个字母的多项式

２；含有五个字母的多项式

按系数的正负情况分：各项系数都是正数的多项式

第２．１．１４题２．１．１４

★两个三次多项式相加，和一定是（）．

（Ａ）六次多项式（Ｂ）三次多项式

（Ｃ）不超过三次的多项式（Ｄ）不超过三次的整式

解析：显然，运算结果的次数不可能超过三次

但合并同类项后，结果的次数

可能低于三次（当两个多项式中三次项是同类项，且系数互为相反数时）；而且合并

同类项后，结果可能是多项式，也有可能是单项式，所以应选

（Ａ）１（Ｂ）３（Ｃ）５（Ｄ）不确定的

解析：（１）先化简，原式

狔）看成整体，合并同类项，原式

★★分别求出满足下列条件的多项式：

（２）已知两个多项式的和是

解析：（１）根据题意，犃

（２）设这两个多项式分别为

狓，试比较下列每组多项式的值的大小：

解析：我们可以先求出两个多项式的差，根据差是正数（或负数），来判定被减

多项式的值大于（或小于）另一个多项式的值

★小蕾家的新居平面图如图所示（单位：

墙面装修准备三个方案：厨房、卫生间

元；客厅用涂料，每平方米

请你做一下这项目的总预算

３，计算它们的和，求得总费用为（１８０狓

月的日历表，我们用一个方框在这张日历表上随意

个数的“数阵”（如图），观

个数的和与中间一个数的关系，换一个位置

再试一试，你能得到什么猜想

（１）试应用整式运算证明这个结论；

（２）能否在哪一个位置，使框出的

解析：经观察、分析，可以发现“数阵”中

（１）设“数阵”中间一个数为

犪－８、犪－６、犪＋６、犪＋８，计算它们的和得

１２０，根据上述结论，中间一个数应是

★★应用整式知识解答下列问题：

（１）任意写出一个三位数，然后把这个三位数的百位数字和个位数字交换位

置，得到另一个三位数，求证：这两个三位数的差总能被

（２）一个三位数，将它的各位数字分别按从大到小和从小到大的顺序重新排

列，把所得到的两个三位数相减，若差等于原来的三位数，则称这个三位数为克隆

解析：（１）设这个三位数的百位、十位、个位数字分别为

犪、犫、犮，则这个三位可

位置后的新三位数可以表示为

这两数之差为：（１００犪

以这两个三位数的差总能被

（２）由（１）可知克隆数必是

２９７、３９６、４９５、５９４、６９３、７９２、８９１、９９０．

经逐一检验，符合题意的三位克隆数只

（１）狓６÷（狓２·狓３）＝

４狀犪２狀犫３狀；（４）犪８狀＝（犪４）（）＝

犪２狀·４＝（犪４）（２狀），犪８狀＝

★下列计算正确的是（）．

解析：根据同底数幂相乘、除的法则，应选

★下列计算错误的是（）．

解析：根据积的乘方运算法则，应选

为正整数，则下列等式中一定成立的是（）．

互为相反数，它们的偶次幂相等，而奇次幂互为相反数

２；（２）狓３狀÷（狓２狀·狓狀

犪）５；（２）－（狔４）２·

解析：幂的运算中有较多符号，通常先把它们化为相同的底数，同时确定整体

（４）狓２·狓３－（２狓２）３＋

犫狀）３－（犪２犫３）狀；（２）（３犪狀）３－

解析：通常将作为底数的相同多项式整体保留

＝－（０．５）［］３１３·２３９＝－

０．１２５）１３×（２３）１３＝（－

２９９（结果用幂的形式表示）．

解析：３５５５＝（３５）１１１＝

２４３１１１，４４４４＝（４４）１１１＝

２５６１１１，５３３３＝（５３）１１１＝

★★比较下列各式的大小：

两个正数比较大小，可求出它们的商与

１，则两数相等；若商小于

顺次取前五个不同的值时，犘狀表达式中各个加数的末位数字及

时，１狀、２狀、３狀、４狀的末位数

１、２、３、４，此后必然重复出现

顺次取各个正整数时，犘狀的末位数字以

★★如图，把等边三角形的每边三等分，擦去中间一份，并使其向外“长

为边长的小等边三角形，这一过程我们称为一次生长．

由此得到的多边形上继续生长……一共生长

次后，所得到多边形的边数是多少

这时，它的周长是原三角形周长的多少倍

解析：观察图（ａ）到图（ｂ）的变化，发现原来的

次生长后，所得多边形的边数为

条边，是前一个图形边数的

所以，每一次生长所得的多

边形，边数是前一个多边形的

次后，所得到的多边形边数是

由上述讨论可知，一次生长后，多边形的边数是原来的

，所以多边形的周长是原来的

次后，所得到的多边形周长是原

★有四个算式：①（２犪２）

１４犪１４；②（５犫２）

解析：根据单项式相乘的法则，只有等式

次多项式（Ｄ）无法确定次数

解析：根据多项式与多项式相乘的法则，积的最高次项由两因式的最高次项

犪３犫３犮（）６·１２犪２犫

０．０１犪２犿犫４·１６犪４＝

狔２）４－－（狓２狔）［］２３·

狓８狔２·狓４狔８－（－

★★由多项式相乘法则，容易得到（犪狓

显然，两个关于同一字母的一次二项式相乘，结果是这个字母的二次三

其中两次项系数就是两因式中一次项系数

的积，常数项是两个因式中常

的积，最容易算错的是一次项系数

计算：上下两行分别表示两个因式中的一次项系数和常数项，两

斜线连结的数分别相乘，将所得的积相加即得积的一次项系数

种方法通常称作十字相乘法．

应用这一方法计算下列各题：

解析：图（ｂ）依次表示各题的十字相乘法：

★★先化简，再求值：（－

★★已知多项式乘积（狓２＋狆

解析：应用多项式相乘法则展开，又合并同类项后，含

解析：观察两多项式的次数，可知商为一次二项式且一次项系数为

解析：（１）由多项式相乘法则直接计算，容易得到各式的结果分别为

（２）在上述计算中能发现，展开式中除了最高次项与常数项

项系数对应互为相反数，正好逐项相消，所以结果应为

五、整式乘法中乘法公式的应用

★下列各式中能应用乘法公式计算的有

解析：显然，式（１）不能应用完全平方公式，式（２）、（４）不能应用平方差公式；而

１），能应用完全平方公式计算，故应填

解析：根据所求代数式的特征，将已知等式写成

★下列各式中，计算正确的是（）．

（Ａ）（狆－狇）２＝狆２－狇２（Ｂ）（犪

解析：根据两数和的完全平方公式，应选

犖，可以利用公式计算，则多

狔（Ｄ）可以是上述各种多项式

乘以各式都能应用公式计算，故选

★★如图，同一个正方形内四个阴影部分分别是全等的矩形和等腰梯

试利用图形面积的不同表示方法，分别写出一个代数恒等式

解析：这类问题一般答案不惟一，例如：图（ａ）可以对应写出（犪

犫）２；图（ｂ）可对应写出

犫）是梯）形的高，犪２＝

图（ａ）中第一种情形）．

＋狔）＝（４狓２－狔２）（２狓

解答以下问题并发现规律：

（２）应用上述结论填空：

（２）根据（１）中结果，应填：①

利用上述已得到的结果计算：

狔＋狔２［］）＝（狓３＋

★★利用乘法公式求下列代数式的值：

解析：（１）由已知条件得：犫

★观察下列从左到右的变形：

６犪３犫３＝（２犪２犫）

解析：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫因式分解

中并未将整个多项式写成几个整式乘积的形式，

其中运算正确的个数为（）．

（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）３

没有将因式分解完成，最后一式中两个因式各应提取公因数

＋狔），运算已经结束，继续应用平方差公式做的是整式

乘法运算，实质上仍是混淆了因式分解与整式乘法的关系

结果是两个整式的和，没有将原式进行因式分解

进行因式分解，分组正确的是（）．

－狔２（Ｄ）狓２－狔２＋（）１

解析：对待分解因式的多项式进行分组，目的是要继续分解并完成

（Ｄ）分组后都有一组多项式无法分解；按（Ｂ）分组，虽两组能各自分解因式，但整体

．（Ｃ）中第一组正好是完全平方式狓

１２狓２狔２；（２）４犪２－

解析：（１）多项式中各项的最大公因式是

２狓２狔２，首项系数是负数时，通常也将

（２）本题可以直接应用公式

＝（２犪）２－（３犫）２＝（２犪

★★把下列各式分解因式：

２犫）；（２）５犪２犫（狓

２犫）作为整体提取公因式，原式

★★把下列各式分解因式：

狔）；（２）犪２（犫２－

解析：本题保留原有的括号无法进行因式分解，应先去掉括号、整理后再分解

（３）（狓２＋狔２）２－

解析：分解因式时必须使每一个多项式因式不能再分解为止

是常数）的二次三项式分解因式，可以参照

分解成两个因数的积，写在如图

也分解成两个因数的积，写在图中右列的

５，“凑成”中间连线两端两数乘积的和

１×５＋２×（－３）等于一次项系数

为用十字相乘法分解因式．

★★利用因式分解进行计算：

（１）１３．５×０．１２５＋８６．５×

；（２）０．７３×３２－

（３）９×１．２２－１６×１．４２；（４）３４２－３４×３２＋１６２．

（１）证明：两个连续奇数的平方差能被

（２）两个连续偶数的平方差是否有这样的性质

解析：（１）设两个连续奇数是

（２）两个连续偶数的平方差只能被

２）２－（２狀）２＝（２狀

之间的两个整数整除，求这两个整数

★★把下列各式分解因式：

解析：四项及四项以上的多项式通常可以用分组分解法分解因式，分组的目

的不仅要使各组“局部”能分解因式，而且要能对整体进一步进行因式分解

犫２）＝（犪犫）２－（犮

★★把下列各式分解因式：

★★把下列各式分解因式：

解析：按原有的分组，无法分解因式，因此必须先整理，再合理分组

犪２犮犱）＋（犪犫犱２＋

★★把下列各式分解因式：

６）作为整体应用十字相乘法分解因式，

★★把下列各式分解因式：

解析：（１）注意到二项式中两项都是

４狓２狔２后配成完全平方

（２）三项式中一项系数的绝对值等于另两项系数绝对值的和，可以采用“拆

项”的形式分解因式：原式

★在实数范围内分解因式：

解析：不加说明，因式分解通常在有理数范围内进行

式”指分解后的因式中系数可以是无理数，在这个前提下同样要注意将每个因式分

由已知的因式，可以将多项式有目的地分组分解：

应用待定系数法，根据题意，原多项式提取因式

中的二次项系数与常数项已知，故设

解析：考虑这个代数式的值与

七、将一个多项式配成完全平方的形式

是一个完全平方式，则常数

是一个完全平方式，则常数

犫）２的大小关系是（）．

解析：可以考虑以下几种情况：４犿２＋

★★解答下列问题，你能从这几个问题的共同特征中得到什么启发

解析：（１）原方程可化为

利用完全平方数的非负性，可得

以上三个问题，都是在一个方程或代数式中含有两个未知数的二次式，将它配

成完全平方的形式，通常是可予考虑的一个途径

为何值时等式总成立，可以分别将

代入上式可求得原式的值为

不是完全平方式，将它的一部分配成完

全平方式，可以有三种不同的形式

试写出下列各式配方的不同形式：

２犪犫犮犱）＋（犪２犱２＋

４犪犫犮犱，试证明四边形

２犮２犱２）＋（２犪２犫２－

★★探索并解答下列各题：

（２）观察上述计算的结果，指出它们的共同特征；

（３）对于任意给出的四个连续自然数的积与

解析：（１）经计算，结果分别为

２５，１２１，３６１，８４１．

（２）２５、１２１、３６１、８４１

（３）任意四个连续自然数的积与

狀，则四个连续自然数的积与

★直接写出下列除法运算的结果：

（２）１２犪狓２狔２÷（－

（Ａ）２（Ｂ）３（Ｃ）４．５（Ｄ）６

犪３狀＝（犪犿）２÷（犪狀）３＝

★★将下列各式中括号内的多项式看作一个整体，利用幂的运算性质

解析：应用多项式除以单项式的法则逐项进行单项式除法

解析：先把原代数式化简，再求值

★★求出满足下列条件的整式：

（１）已知一个单项式乘以

犪４犫５犮２，求这个单项式；

（２）已知一个多项式减去

解析：（１）所求单项式为

解析：对一些特殊的多项式除以多项式运算，可以先将多项式分解因式，再参

★用竖式除法计算（狓３＋

解析：我们可以把它写成多位数相除的竖式形式，注意将被除式与除式都按

狓２去乘除式，把所得的积写在被除式下面（同类项对齐），从被除

式中减去这个积，得到第一余式（可以只写出其中的前两项

－２狓２＋７狓———与除式

作为新的被除式继续上述过程（在原被除式中逐一移

下一项），直至余式次数小于除式次数为止

除式…狓－２）狓３－４狓２＋７狓－６…被除式

－２狓２＋７狓…第一余式前两项

解析：根据分式的基本性质，（１）、（２）两式左边的分子与分母分别除以不为

而（３）、（４）两式左边的分子与分母分别乘以

倍，则所得分式的值（）．

解析：约分是约去分子与分母中的公因式，而不是分子与分母中的部分因式

★★分别求出满足下列条件时字母

（２）分式的分子与分母同号时，分式的值是正数

★★不改变分式的值，把下列各式分子与分母中的各项系数都化为整数：

★★不改变分式的值，使下列各式分子和分母中的最高次项的系数都是

解析：根据分式的符号法则：分子、分母和分式本身的符号中改变其中的任意

狓狀＋２－狓狀＋１－２狓狀

解析：（１）最简公分母为

１２狓３狔２狕，所以通分得

狓（狓－１）２（狓＋１），所以通分得

的表达式化成最简分式，再讨论分式的取值情况

二、零指数与负整数指数幂

★直接写出下列各式的结果：（－

解析：指数的范围拓展为整数之后，幂的运算法则仍能适用

－犪－２、犪－５、犪２、２犪－２、犪－４－犪－２．

的任何值，等式都能成立的是（）．

的条件下成立，故（Ａ）、（Ｃ）、（Ｄ）

★★计算（字母是正整数）：

（３）（２－２）犽（）１

★化简下列各式，将结果用正整数指数表示：

÷（－４狓－２狔３狕－１）；（２）９狓２狔－３÷（－１２狓－１狔２狕）２．

★化简下列各式，使结果不含分数线：

★请在下面“、”中分别填入适当的代数式，使等式成立：

解析：解答这类开放性问题，在满足题目给出要求的前提下，尽量简洁，以免

２犪（）犿［］３２；（２）

注意到原式的最简公分母中各个因式顺次相差

的值要保证原代数式有意义）．

★有这样一道题：“计算：

，但他的计算结果也是正确的，你说

解析：考虑到原式的特点，采用分步通分的方法较为简便

解析：对原式显然不能直接通分，注意到每个分母的两个因式的差均为分子

（２）根据比例的基本性质，得

（３）根据等比性质，应填

（２犽）２＋（３犽）２＋（４犽）２

解析：（１）设第四比例项为

★★下列命题中正确的是（）．

解析：根据比例的基本性质及分式性质，（Ａ）、（Ｃ）错误；（Ｄ）中由条件应得到

（这一命题通常称为合分比定理）．

的地图上，量得甲、乙两地的距离是

３００ｋｍ，则在比例尺为

解析：（１）甲、乙两地的实际距离为

设甲、乙两地在地图上的距离为

原式的分子与分母都除以不为

２．２．３９（４）的方法，可求得原式

（２）根据三角形面积公式，得

（４狕）２＋（３狕）２＋

２（４狕）２＋（３狕）２－

★已知直角三角形的三边分别为

综合上述，犪∶犫＝３∶１

五、与分式有关的代数式变换

分式的分子与分母都除以不为

等式两边同时乘以（犪＋犫），得

（１）从第二个分式开始，把任意一个分式除以它前面一个分式，你能发现什么

（２）根据你发现的规律，试写出这一列分式中的第

个分式开始，任意一个分式除以前面一个分式的商都是

根据（１）中的结论，从第

个分式开始，任意一个分式都等于前面

观察已给出分式的规律：分母都是字母

的幂，指数与这个分式排列

１５；第奇数个分式的符号为正

符号为正，第偶数个分式的符号为负，所以分式的系数可以看作（－

★★甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料

变化，两位采购员的购买方式也不同，其中甲每次购买

（１）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少

（２）谁的购买方式更合算

解析：（１）设两次购买饲料的单价分别为

（２）甲、乙所购饲料的平均单价的差是：

★★阅读下列材料，解答所提出的问题：

的常数），我们可以这样解：凭观察容易得

１；由整理后所得方程是一元二次方程，我们知道

方程至多有两个根，所以它们确是原方程的所有根

狓－犿狓－１＝犮－犿犮－１（常数

用方程解的概念进行验证；

（２）试根据上述归纳，解关于

★直接写出下列各式中字母

解析：二次根式中，被开方式的值必须是非负数，如果分母中含有字母，则分

是任意实数，下列各式中一定有意义的是（）．

解析：二次根式的被开方数应是非负数

没有意义，它不是二次根式；而

★下列命题中，正确的是（）．

犪，结果总是惟一的非负数

由已知二次根式有意义，得

１，（Ｂ）、（Ｄ）没有意

２－５）槡２；（２）（犪－３）槡２．

槡２类型的二次根式，先写成绝对值

｜，再确定绝对值内代数式

的符号，如果不能确定，则应分类讨论

解析：由二次根式有意义的条件，可得

三边的长，化简（犪＋犫－犮）槡２－

解析：由三角形的三边关系可得

两实数在数轴上对应位置如图所示，化简（犪－１）槡２－

（犫＋２）槡２＋（犪＋犫）槡２．

二、最简二次根式与同类二次根式

解析：分别化简各式：槡２

★下列各式中，最简二次根式是（）．

解析：根据最简二次根式的意义，应选

★下列各组二次根式中，（）是同类二次根式

★★化简（字母都是正数）：

（３）狓４＋狓２狔槡２；（４）犪犫

是同类二次根式，能否由此确定

不一定是最简二次根式，例如当

是同类二次根式，解答下列问题：

值有几个，是否存在最大值或最小值，为

可取负整数，所以符合条件的整数

★下列运算中正确的是（）．

犪犫（Ｄ）狓２－狔槡２＝

（Ａ）１（Ｂ）２（Ｃ）３（Ｄ）４

的分母有理化后，分母应为

合二次根式乘法法则，运算正确，故应选

★将下列各式分母有理化：

３）２０１１；（２）（３

１，可以逆用公式（犪犫）狀＝

★★解下列方程或方程组：

解析：（１）原方程可化为（槡

★★长方体中有一个公共顶点的三个面的面积分别是

６ｃｍ２，则长方体的体积为

解析：设长方体中同一顶点的三条棱长分别为

解析：已知等式两边平方，得

解析：先将前一个括号内各式分母有理化，得原式

★判断下列三个等式是否成立，并解答以下两个问题：

的变形结果，并加以说明；

的自然数）的等式表示这一规律

试根据以上规律，化简下列各式：

（１）槡槡５－２６；（２）

，并将这一问题作尽可能的推广

一般地，对分母有三项（包括三个无理数或两个无理数、一个有理数）的代数式

进行分母有理化，可以先将其中两项相结合，分子、分母同时乘以它的有理化因式；

整理后进行第二次分母有理化（本题是特例，两个有理数正好互为相反数）．

解析：本题关键是将所给等式变形，用含

解析：待证不等式左边的根式，让人联想起直角三角

形中斜边的表达式；而其右边为（犪＋犫＋犮）的

我们借助几何图形给予证明

犪、犫、犮，如图所示，则

本题关键在于化二次根式为有理式，故设已知等式左边的有理化因式

狓，将它与原等式相乘，得

将这一等式与原等式相加，得

一、一元一次方程及其解法

解析：根据方程解的意义，把

（２）这一方程在变换过程中，宜将

解析：解这类分子或分母中系数含有分数的方程，通常先应用分数的基本性

４狓＋９－３（１０狓－５０）＝２（３＋２狓），

（２）根据方程的特征，本题宜先去中括号

★★分别求出满足下列条件的

解析：这类问题通常根据题意列出方程，再解方程

★解答下列有关两个方程的问题：

根据题意，前一个方程的解是

二个方程的解，代入方程，得

解析：这是一道开放性题，答案不惟一

根据方程的系数特征，无法按常规方法求解，注意到方程左边

的和式中，每一项的分母与括号内的常数均相差

１），可将方程左边的每一项都减

１，化简后再提取公因式（狔－

是方程的根，且能确定整理后的方程为一元一次方

０，所以方程有且仅有一个解，即原方程的解是

二、含字母系数的一元一次方程

解析：把原方程化简，得（１

时，任何实数都是这两个方程的解

α，则根据方程解的意义，得

时，任意实数都是方程的解；

两边都除以（犿＋２），得

１，２，３，６，即对应整数

取何值，这个等式都成立，所以

★一个两位数，十位数字比个位数字的

解析：设原来两位数的个位数字是

根据题意，得［１０（４狓

★注意：为了使同学们更快、更正确地解答本题，我们提供了一个解题

你可以依照这个思路按下列要求填空，完成本题的解答

题方案，则不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答

吨柑橘，在运输、仓储过程中均

发现有部分损坏，在销售定价时随机抽查了三次，结果如表

柑橘购销中获取毛利（不计人工、运输、仓储等费用）５０００

抽查柑橘质量（千克）５０２００５００

损坏柑橘质量（千克）５．５０１９．４２５１．５４

根据题意，考虑定价时应将损坏柑橘的价值计入成本中

计的基本原理，随机抽查的样本损坏情况可以作为总体损坏情况的估计

样本中柑橘损坏的平均百分率为

元／千克，则售得金额总数为

★★对以下问题（１）的讨论，提供了两条解题途径

填上相应的代数式和方程，求得结果

也可以采用不同的方法，按照通常的解题要

不论选用哪种方法，在对问题（２）的讨论中注意比较两个问题中数量关系

台机床，预计若干周完成任务

三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务

设这次任务需装配机床总数为

根据题意，实际装配时间比原计划装配时间少了一周半，可列出

设这次任务需装配机床总量为

台，则改进操作技术后装配了

由于提前的时间都是后一段工作的结果，可列得方程

某人有急事，预定搭乘一辆小货车从

小货车行了三分之一路程后改乘一辆出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小

千米／小时，求两地间路程

本题与上题具有相同的数量关系

千米），可列出与问题（１）的方法

★★某商场新经营一批进口水果，进价

１０％，在确定零售价时，商场将损耗一并计入成本，并在成本基础上按获得毛利

元／千克，则根据题意可得方程（）．

千克，则可供出售的数量为

求获利，仅保不亏本，则应有

某商场甲、乙两个柜组一月份营业额共

（１）设二月份营业额甲柜组增加了

（２）设二月份营业额甲柜组增加了

（３）设甲柜组一月份营业额为

（４）设甲柜组一月份营业额为

上述方案中正确的有（）．

解析：正确的方案是（２）和（３）．（１）中方程左边代数式

２０％（对应乙柜组情况相同）与题意不符；方案（４）中方程左

边表示两个柜组在二月份的营业总额，应为

★解答以下两个问题，注意比较两个问题中的数量关系：

（１）师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要

个小时后让徒弟一起参加，还需多少时间可

（２）师徒两人检修一条长

米的煤气管道，徒弟每小时检修

个小时后让徒弟一起参加，还需多少时间可以

解析：（１）设徒弟一起参加后还需要

答：徒弟一起参加后还需要

答：徒弟一起参加后还需要

根据题意，师傅单独完成需要

个小时，徒弟单独完成需要

则与问题（１）是相同的数量关系，可列出方程

★★解答以下两个问题，注意比较两个问题中的数量关系：

（１）小陈和老师一起整理了一篇教学材料，准备打印成稿

个小时完成，小陈单独打字需

后，老师开始一起打，问还需要多少小时完成

（２）甲、乙两车分别从相距

千米的两地相向开出，已知甲车速度

个小时，问乙车开出多少小时后两车相遇

解析：（１）设老师开始打字后还需要

根据题意，小陈和老师每小

由两人所做工作量之和等于工作总量，可得方程

答：老师开始打字后还需要

小时后两车相遇，由甲、乙两车所行路程之和等于

根据题意，甲车每小时可行驶两地全程的

，而两车相遇则表示行驶路程之和正好等于全程

６（小时），乙车行完全程需

问题（１）完全是相同的数量关系

列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关

的代数式，进而建立方程，转化为纯数学问题来解决

这一过程的关键是要透过纷

繁多变问题的表象，抓住数量关系的实质；不能机械的记忆、套用某些题型而忽略

常有貌似相像，而实质不同的问题；也有面目迥异而实质相同的问

学习中善于分辨与比较，是提高分析、解题能力的途径

★如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入

水后，一根露出水面的长度是全长的

，另一根露出水面的长度是全

５５ｃｍ，此时木桶中水的深度是

狓ｃｍ，则另一根铁棒长（５５

狓ｃｍ，则两根铁棒长分别为

★一艘轮船航行于两码头之间，逆水需

求水流速度和两码头间的路程

千米／时，则轮船在顺水和逆水中的航行速度

分别为（１２＋狓）千米／时和（１２－狓）千米／时

６（１２＋狓）＝９０（千米）．

千米／时，两码头间路程为

★某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了

际油价上涨，进口石油的费用反而比上个月增加了

解析：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为

答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为

要求，两地单程直达运行时间为

分钟，回程时列车平均速度比去

问今后在运行中列车的平均速度应是多少

解析：今后在运行中列车的平均速度，应能使列车按设计要求单程

达，即试运行时回程的平均速度

狓ｋｍ／ｈ，则根据题意得

答：今后在运行中列车的平均速度应是

★★某银行设立大学生助学贷款，分

问他现在大约准备贷款多少（精确到千元）？

解析：设这名大学生准备贷款

答：这名大学生准备贷款约

★★某商店的一批钢笔按定价的

店在定价时的期望利润百分率（原定价时的百分率）．

解析：设商店在定价时的期望利润百分率为

答：商店在定价时的期望利润百分率为

★★一水池有进出水管各一根

问再需多少时间可注满水池

分钟可注满水池，则总注水时间（狓＋２）分钟，放水时间

★★学校准备添置一批课桌椅

元，但商店获得同样多的利

元，由原定数量与售价下的总利润和

实际成交总利润相等，得方程

★★为了鼓励居民节约用水，某市对居民生活用水收费作如下规定：在

每月用水限额内，每吨水费

求该市对三口之家每月用水所作的限额是多少

吨水费和超限的（１２－狓）吨水

答：该市对三口之家每月用水所作的限额是

（１）乙出发后多少时间追上甲

地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多少时间

注意到这时两人所行路程之和

米，一列火车从车头上桥到车尾离桥用了一分钟时

间，整列火车完全在桥上的时间为

秒，求火车的长度及行驶速度

根据题意，火车从车头上桥到车尾离桥

全程为（１０００＋狓）米，而整列火车完全在桥上的全程为（１０００－狓）米

由火车的长度为定值，可列方程

★★自“政府补贴，家电下乡”活动开展以来，农村家电市场销量明显增

某门市部统计，在家电下乡活动启动前一个月，销售给农户的

台，启动后的第一个月销售给农户的

２５％，两种型号的冰箱共售出

下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的

给购买冰箱的农户补贴，求启动活

动后的第一个月该门市部销售给农户的

台冰箱，政府共补贴了多少元（结果

解析：要求出政府对这些冰箱的补贴总额，需分别知道启动活动后第一个月

所以政府对这些冰箱的补贴总额为（２２９８

★★某年级三个班为灾区捐款

元，（２）班捐款数是另两

个班级的平均数，（３）班捐款数是三个班总数的

元，（３）班捐款数也可以

★一个六位数的首位数字是

解析：注意到这个六位数中，后五个数字在变换中相对位置没有变化，设这五

１０００００＋狓，变换后的六位数是

★在三点到四点之间，钟面上的时针与分针在什么时刻重合

分时钟面上的时针与分针重合

注意到分钟的转动速度是每

６°，时针的转动速度是每分钟（）１

分时钟面上的时针与分针成

厘米的圆柱形矿泉水瓶内装满水，再

将瓶内的水倒入一个底面直径

厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装

若装不下，那么瓶内水面还有多高

若未能装满，求杯内水面离杯口的距离

π（ｃｍ３），玻璃杯容积

π（ｃｍ３），显然不能完全装下

答：装满玻璃杯后，瓶内余水水面高

★★小明在学习方程的应用时，联系三角形的知识编了一道问题：“已

知一个等腰三角形的周长是

厘米，腰与底边的长度之比为

．”同桌试了一下说：“不对，这道题有问题

题出在什么地方吗，如何修改

解析：本题的三个条件相互矛盾，不可能同时满足

例如，根据前两个条件，可以

类似地，本题也可删去第一个或第二个条件

也可根据需要，对数字作适当调整

★某音乐厅决定在暑假举办学生专场音乐会

零售票两类，团体票占总数的

，且对提前购票者给予不同程度的优惠

月份中售出全部余票，团体票每张

元，零售票应如何定价，能使这

根据两个月的票款收入相等，得

★★一批树苗按下列方法分给各班：第一班取

，……最后树苗全部被取完且各班树苗数都相等

由第一、二两班树苗数相等，列方程

个班级，则根据题意，最后一个班级取树苗

１００（狓－１）棵，再取“余下的

”，即留给最后一个班级的是“余下的

”也是最后一个班级所取树苗数的

设未知数，注意到倒数第二个班级先取的

名老师带领下，准备前往国家森林公园

当地有两家旅行社，分别去两个景区

两家旅行社收取的途中费用

和相应的景区门票定价都相同，且对师生都有优惠：甲旅行社表示带队老师免费，

折收费；乙旅行社表示师生一律按

甲景区对师生均收半价，乙

若该校在暑假夏令营中，学生数增加了

名，老师数不变，则又该去哪个旅

解析：对第一种情景，设学生有

名，分别计算途中费用及景区门票，应

★★某景区一个狭窄的单向通道口，通常情况下每分钟可以通过

一位导游到达这个通道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有

个人在等待，且只能按顺序前行

区大门，如果绕道而行，则需

（１）按照现状等待通过与绕道前往景区大门，哪个时间较快

（２）结果在这位导游协助下，几分钟后秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟

人通过），结果他比拥挤情况下提前了

解析：（１）等待通过时间为

１５，应绕道前往景区大门时间较快

（２）设维持秩序的时间为

★★暑假期间小王和小吴两家

个人一起外出旅游，乘坐两辆出租车

千米处一辆车出了故障，不能行驶

登机手续时间还有半个小时，惟一可以利用的交通工具只有一辆出租车，连同司机

人在原地等候，这辆车分两批接送，６

（２）如果在汽车送第一批人的同时，余下

千米／时的速度向前步行，汽

车在将第一批人送达后立即返回接第二批人，他们能及时到达机场吗

解析：（１）这种情况下，第二批人到达机场所需时间为

（时），不能及时到达机场

（２）设第二批人在汽车回来接他们时已经步行了

这时第二批人到达机场所需时间为

本文发布于:2023-01-24 09:41:07，感谢您对本站的认可！

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