材料力学

第一章}

第二章绪论

第一节材料力学的任务与研究对象

1、组成机械与结构的零、构件，统称为构件。构件尺寸与形状的变化称为变形。

2、变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失

的变形，称为塑性变形或残余变形。

3、在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。

4、保证构件正常或安全工作的基本要求：a强度，即抵抗破坏的能力；b刚度，

即抵抗变形的能力；c稳定性，即保持原有平衡形式的能力。

5、材料力学的研究对象：a一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，

称为杆件；b一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平

分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板

件称为壳。

6、研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、

刚度和稳定性分析的基本理论与方法。

第二节@

第三节材料力学的基本假设

1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。

2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同

3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。

第四节内力与外力

1、外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作

用时间分①动载荷②静载荷

2、内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。

3、内

力的求法：截面法

4、、

5、内

力的分类：轴力

N

F；

剪力

S

F；扭矩

X

M；

弯矩

Y

M，

Z

M

6、截

面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平

衡方程，求得内力

第五节应力

1、K点的应力：

0

lim

A

F

p

A







；正应力：

N

0

lim

A

F

A











；切应力：S

0

lim

A

F

A











；22p

2、切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于

截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。

第六节应变

1、正应变：

0

lim

ab

ab

ab







。正应变是无量纲量，在

同一点不同方向正应变一般不同。

2、切应变：tan。切应变为无量纲量，切应变

单位为rad。

第七节}

第八节胡克定律

1、

E

，E为（杨氏）弹性模量

2、

G

，剪切胡克定律，G为切变模量

第三章轴向拉压应力与材料的力学性能

第一节引言

1、杆件受力特点：轴向载荷，即外力或其合力沿杆

件轴线

2、杆件变形特点：轴向拉伸或压缩

第二节拉压杆的内力、应力分析

1、￥

2、轴力符号规定：拉为正，压为负

3、轴力图（两要素为大小、符号）

4、拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，

且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正应变沿横截面均匀分布

N

F

A



5、材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：

const即变形关系②物理方程：E即应力应变关系③静力学方程：

N

AF即内力构成关系

6、N

F

A

适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一

般也适用于锥角小于5度的变截面杆）②若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则

所取截面应远离载荷作用区域

7、圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分

布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1—2

个杆的横向尺寸

8、拉压

杆斜截面上的应力：

0

cos

/cos

NN

FF

p

AA









；

2

0

coscosp





，0sinsin2

2

p





；0o，

max0

；45o，0

max2





第三节材料拉伸时的力学性能

1、

2、圆截面试件，标距l=10d或l=5d；矩形截面试件，

标距11.3lA或5.65lA

3、材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服

阶段，硬化阶段，缩颈阶段

4、线（弹）性阶段：E；变形很小，弹性；

p



为比例极限，

e

为弹性极限

5、屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹

性、塑性形变；现象是出现滑移线；

s

为屈服极限

6、硬化阶段：使材料继续变形需要增大应力；

b

为

强度极限

7、缩颈阶段：现象是缩颈、断裂

8、冷作硬化：预加塑性变形使材料的比例极限或弹

性极限提高的现象（考虑材料卸载再加载的



图）

9、材料的塑性或延性：材料能经受较大的塑性变形

而不被破坏的能力；延展率：

0100%

l

l





，延展率大于5%的材料为

塑性材料

10、|

11、断面收缩率

1100%

AA

A





，

1

A是断裂后断口的

横截面面积

12、

e

为塑性形

变，

p

为弹性形变

第四节材料拉压力学性能的进一步研究

1、条件屈服极限

0.2

：对于没有明显屈服极限的材

料，工程上常以卸载后产生残余应变为%的应力作为屈服强度，叫做名义屈服

极限。

2、脆性材料拉伸的应力

—应变曲线：断口与轴线垂直

3、塑性材料在压缩时的

力学性能（低碳钢）：越压越扁

4、脆性材料在压缩时的力学性能（灰口铸铁）：压裂，

断口与轴线成45度角；可以看出脆性材料的压缩强度极限远高于拉伸强度极

限

第五节应力集中与材料疲劳

1、

2、实际应力与应力集中因数：max

n

K





，其中，

max

为最大局部应力，

n

为名义应力

3、疲劳破坏：在交变应

力的作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象

4、疲

劳破坏与①应力大小②循环特

征③循环次数有关；S—N图，

r

为持久极限

5、应

力集中对构件强度的影响：⑴

静载荷，对于脆性材料，在

max

=

b

处首先被破坏；对于

塑性材料，应力分布均匀化⑵疲劳强度问题：应力集中对材料疲劳强度影响极

大

第六节失效、许用应力与强度条件

1、】

2、失效：断裂，屈服或明显的塑性变形

3、工作应力：构件实际承载所引起的应力

4、许用应力：构件工作应力最大的允许值，

1灰口铸铁拉伸力学性能

3低碳钢的压缩力学性能2灰口铸铁的压缩力学性能

u

n



＝，其中n为安全因数，n〉1，一般的，

s

n取—，

b

n取—，

u

为

极限应力（强度极限或屈服极限）

5、强度条件：N

max

max

A

F











＝

6、工程设计当中的等强度原则

第七节连接部分的强度计算

1、剪切强度条件：s

F

A

，对受拉铆钉，Adh

2、挤压强度条件：b

bs,maxbs

bs

F

A

，受压面为

圆柱面时，Ad即圆柱面的投影面积

第四章&

第五章轴向拉压变形

第一节拉压杆的变形与叠加原理

1、拉压杆的轴向变形与胡克定律：N

F

F

AA

，

l

l





，E

N

Fl

l

EA



2、EA为拉压刚度

3、拉压杆的横向形变：

1

bbb，

b

b







，一

般为负

4、泊松比：









，对于各向同性材料，

00.5，特殊情况是铜泡沫，0.39

5、21

E

G







，也就是说，各向同性材料独立的

弹性常数只有两个

6、叠加原理：⑴分段叠加：①分段求轴力②分段求

变形③求代数和Nii

ii

Fl

l

EA







⑵分载荷叠加：几组载荷同时作用的总效果，

等于各组载荷单独作用产生效果的总合。

7、|

8、叠加原理适用范围：①线弹性（物理线形，即应

力与应变之间的关系）②小变形（几何线形，即用原尺寸进行受力分析）

第二节桁架节点位移

分析步骤：①平衡方程求各杆轴力②物理方程求各杆变形③切线代圆弧，求节

点位移

第三节拉压与剪切应变能

1、在外载荷作用下，构件发生变形，载荷在相应位

移上作了功，构件变形因此而储存了能量，且遵循能量守恒

2、轴向拉压应变能

2

F

W



（缓慢加载），

2

22

NN

FlFl

VW

EA



。注意：对于非线弹性材料，以上不成立。

3、单向受力情况：

22

dxdzdy

dVdxdydz





，拉伸应变能密度为

2

v





。纯剪切情况：

22

dxdzdy

dVdxdydz





，剪切应变能密度为

2

v







4、用应变能解题：①不用通过画变形图来确定节点

位移②只能求解沿载荷作用线方向的位移③同时作用多个载荷时，无法求载荷

的相应位移

第四节@

第五节简单拉压静不定问题

1、静定问题是由平衡条件即可解出全部未知力的问

题；静不定度=未知力数—有效平衡方程数

2、静不定问题的求解方法：补充变形协调方程

3、关于变形图的画法：①若能直接判断出真实变形

趋势，则按此画变形图②若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变

形图即可③对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可设各杆都是拉伸变

形，即内力为正（设正法），若计算结果为负，则说明真实方向与所设方向相

反

第六节热应力和预应力

1、热应力：因温度变化在构件内部产生的应力

2、预应力：由于实际杆长与设计尺寸不同，当结构

不受外力时已经存在的应力

第六章扭转

第一节>

第二节引言

1、内力分析仍用截面法，扭矩矢量离开截面为正

2、轴的动力传递：PM，

kW

Nm

r/min

9549

P

M

n



第三节圆轴扭转横截面

上的应力

1、扭转应力问题是

静不定问题

2、变形几何方程：

d

dx



，其中，是距轴线

的径向距离，



是楔形微体在处的矩形平面的切应变，是个角度，d是角

bO2b’

3、物理方程：横截面上处的切应力为

d

dx

GG









4、静力学方面：圆轴扭转切应力一般公式

P

T

I





，

P

I为极惯性矩2

P

A

IdA

5、<

6、最大扭转切应力：

max/

PP

TRT

IIR



，定义抗

扭截面系数P

P

I

W

R

，

max

P

T

W



7、适用范围：①因推导公式时用到了剪切胡克定律，

故材料必须在比例极限范围内②只能用于圆截面轴，因为别的形状刚性平面假

设不成立

8、关于极惯性矩和抗扭截面系数：

44

2

22

2

2

32

()

D

d

p

A

dAdIDd



，

44

216

(

/

)

p

p

D

W

D

d

D

I



，或者有时提出一个D，令

d

D



第四节圆轴扭转破坏与强度条件

1、扭转极限应力

u

对脆性材料来说是扭转强度极限

b

，对塑性材料而言是扭转屈服应力

s



2、许用切应力[]u

n



，工作应力：

max

max

P

T

W











，强度条件：

max

max

[]

P

T

W











第五节圆轴扭转变形与刚度条件

1、

P

dT

dxGI



，

P

T

ddx

GI

，对于常扭矩等截面

圆轴，相差l距离的两截面的相对扭转角

P

Tl

GI

，定义圆轴截面扭转刚度

P

GI

2、·

3、许用扭转角变化率[]，工作时扭转角变化率

P

dT

dxGI



，刚度条件为

max

p

T

GI













，注意，一般[]单位为度/米

第六节扭转静不定问题（找出变形协调条件）

第七节非圆截

面轴扭转（只讨论自由扭转）

1、非圆截

面轴，截面不保持平面，和不成

正比，平面假设不适用

2、矩形截

面轴的扭转⑴①



平行于截面周边

②角点处0③截面长边中点有

max

⑵

max

2

t

TT

Whb





，h和b分

别代表矩形的长边和短边，短边中点

处的切应力

1max

，

3

t

TlTl

GIGhb





，其中，，与/hb有关，查表4-1⑶当/hb10时，

和均接近1/3，

max

2

3T

hb

，

3

3Tl

Ghb



3、椭圆等非圆截面杆

max

t

T

W

，

t

Tl

GI

，

t

W和

t

I

与圆截面杆的量纲相同，可查附录

第八节薄壁杆扭转（自由扭转）

1、闭口薄壁杆的扭转应力：①切应力的方向与中心

线平行，且沿壁厚均布②TdTds，是该点离形心的距离，为

壁厚，ds为线微元③所围面积

2

ds





，

2

T









，则

max

min

2

T









④

扭转变形

t

Tl

GI

，

t

Tl

I

ds







2、`

3、开口薄壁杆扭转概念①切应力沿截面周边形成环

流②max

max

3

1

3

n

ii

i

T

h













，

3

1

3

n

ii

i

Tl

Gh











③开口薄壁杆抗扭性能很差，截面产生明

显翘曲

第七章弯曲应力

第一节引言

1、以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲

2、受力特征是力或力矩矢量垂直于轴线，变形特征

是轴线变弯

3、以弯曲为主要变形形式的杆——梁

第二节梁的约束与类型

可动铰支，提供一个方向的力；固定铰支提供两个方向的力；固定端提供两个

方向上的力以及弯矩

第三节

第四节剪力、弯矩方程及剪力、弯矩

图

1、截面法，求得剪力

S

F，使分离

体顺时针转为正；弯矩M使分离体完成凹形为正

2、①求支反力②建立坐标③建立剪力、弯矩方程（截

面法）④画出剪力、弯矩图

3、在集中力作用处（包括支座）剪力有突变；在集

中力偶作用处（包括支座），弯矩有突变

4、刚架的内力分析：刚架受轴力、剪力和弯矩作用，

轴力、剪力符号同前，弯矩符号没有明确规定，画在受压一侧，分析方法还是

用截面法

5、平面曲杆内力分析，同前，但是一般用极坐标表

示

第五节剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系

1、q为载荷集度，S

d

d

F

q

x

，

S

d

d

M

F

x

，

2

2

d

d

M

q

x



说明剪力图某点的切线斜率等于该点处载荷集度的大小，弯矩图某点的切线斜

率就等于该点处的剪力大小，该截面处载荷集度的正负决定弯矩图某点的凹凸

性，如图所示

2、%

3、q向上为正，

x

轴方向向右为正

4、在集中力作用处，弯矩连续，剪力突变；在集中

力偶作用处，剪力连续，弯矩突变

5、求特征点剪力、弯矩的方法：⑴截面法是基本方

法⑵面积法（积分法）由()S

dF

qx

dx

有

0

()x

S

FqxdxC，即

x

左边分布载

荷的面积加

x

左边的集中载荷（包括支反力），q、F向上为正；由

S

dM

F

dx



有

0

x

S

MFdxD，即

x

左边剪力图的面积加

x

左边集中力偶（包括支反力

偶），M顺时针为正

6、利用微分关系快速画剪力、弯矩图口诀：剪力图

口诀“跟着箭头走——先求支反力，从左往右去”，弯矩图口诀“根据剪力图，

两点对一段；若遇到力偶，顺上逆下走”

第八章弯曲内力

第一节引言

1、横截面上内

力与应力的关系：

A

MydA

2、中性层和中

性轴的概念

3、]

4、几何方程：

ydy

dxd











5、物理方程：

y

EE





6、静力学方程：由

A

ydAM有

2

A

E

ydAM



，定义2

z

A

IydA，可确定中性层的曲率半径

1

z

M

EI



7、由上得

z

My

I



，则有

max

max

max

/

zz

My

M

IIy



，定义抗弯截面系数z

z

I

W

y

，则

max

z

M

W



8、两种典型的抗弯截面系数：矩形截面

2

6z

bh

W，

圆截面

3

32z

d

W





第二节极惯性矩

与惯性矩

1、静矩：面积

对轴的矩，

z

A

SydA，

y

A

SzdA，

对于均质等厚的板，

zc

SyA，

yc

SzA，即面积乘形心到轴的距离

2、组合截面

的静矩与形心：

z

S

23

1123ccc

yAyAyA，

11

i

nn

ici

z

ii

c

SyA

S

y

AAA









；对于缺口截面，()()整孔

zzz

SSS，

()()

()()

整孔

整孔

zz

c

SS

y

AA







3、—

4、（轴）惯性矩：2

z

A

IydA，2

y

A

IzdA

5、惯性矩的平行轴定理：

z

I2

0z

IaA

6、组合截面的惯性矩：

z

I

1

n

i

z

i

I



，

0

2

11

()

nn

ii

zzzii

ii

IIIaA





7、极惯性矩：截面对某点的矩2P

IAdA；对圆

截面

4

32



P

d

I



，对空心圆截面

4

41

32

()

P

D

I



，对薄壁圆截面

3

0

2

P

IR

第三节弯曲切应力

1、梁在非纯弯曲段，横截面上的弯曲切应力平行于

侧边或剪力，沿宽度均匀分布

2、







()

()Sz

z

FS

y

Ib



，其中()

z

ydAS



代表y

处横线一侧的部分截面（面积为



）对

z

轴的静矩，对于矩

形截面，

()

z

S

2

2

24

()

bh

y，

3

12



z

bh

I，

2

2

3

4

1

2

()()S

F

y

y

bhh

，则

3

3

22



max

SS

FF

bhA



3、工字梁的弯曲

切应力分布如图。y处横线下的截面是由下

翼缘与部分腹板所组成，该截面队中性轴z

的静矩为

2

22

2

0()()()

24424z

h

bhh

Sy



，为腹

板厚度，腹板上y处的弯曲切应力为

2222

0

()[()(4)]

8

z

Fs

ybhhhy

I





，可

见，腹板上弯曲切应力沿腹板高度成抛物线

状分布，在中型周处弯曲切应力最大，为

,max

22

max0

[()]

8

z

zz

FsS

Fs

bhbh

II







，在腹板与翼缘交接处切应力最小，

为22

min0

()

8

z

Fs

bhbh

I





，沿翼缘侧边的切应力较小，一般不予考虑

4、￥

5、盒形薄壁梁的弯曲

切应力分布如图。最大弯曲切应力仍在中性轴

上，

max

2Fs

A

，A为横截面面积

6、一般对称薄壁梁的

弯曲切应力平行于中心线的切线，且沿壁厚均匀

分布

7、剪流的概念：

()

()()sz

z

FS

qsst

I



，利用剪流的概念，可

以形象地确定



的方向

8、弯曲正应力与弯曲切应力比较：

max

max

2

6

z

M

Fl

Wbh

，

max

3

2

F

bh

，max

2

max

62

4()

3

Flbhl

bhFh











，可见薄壁截

面梁和短粗梁弯曲切应力和正应力大小相差不大，而细长非薄壁梁的最大弯曲

正应力远大于最大弯曲切应力

第四节梁的强度条件

1、梁危险点的应力状态如

图，图4为实心与非薄壁截面梁，图5为薄壁截面梁

2、弯曲正应力强度条件：

max

max

[]

z

M

W











3、弯曲切应力强度条件：

,max

max

max

[]Sz

z

FS

I













4、梁强度问题的分析步骤：

①内力分析，确

定危险截面②

应力分析，确定

危险点③根据

强度条件进行

校核

第五节梁

强度的合理设计

1、梁

图4

》

图5

的合理截面形状：应将尽量多的材料放在远离中性轴的位置。塑性材料一般关

于中性轴对称；对于塑性材料，一般c

tt

[]

[]

c

y

y





，

t

y与

c

y分别代表最大拉应

力与最大压应力所在点距中性轴的距离

2、变截面梁与等强度梁，横截面沿梁轴变化的梁称

为变截面梁，各个截面具有同样强度的梁称为等强度梁，弯曲等强条件

()

[]

()

Mx

Wx

，剪切等强条件S

3()

[]

2()

Fx

bhx



3、合理安排约束力，如图：

4、合理安排加载方式，尽量分散加载

5、、

6、加配重

第六节弯拉（压）组合与截面核心

1、弯拉（压）组合时，将弯曲正应力和轴力引起的

正应力分别分析再合并，若轴力有偏心，则先将轴力向形心化简

2、脆性材料不宜受拉，脆性材料受偏心压缩时，应

保证横截面上不出现拉应力，而要使横截面上只存在压应力，必须对偏心压应

力作用点进行限制，使其位于一定范围内，此范围称为截面核心

3、截面核心的求法：中性轴方程

1

0y

z

yz

ey

ez

AII

，截面边界方程(,)0fyz，截面边界上一点的曲线斜率

dy

k

dz



第九章弯曲变形

第一节引言

梁变形的表示方法：形心轴的线位移

为挠度



，截面绕形心轴的角位移为

转角，变弯的轴线叫做挠曲轴，挠

曲轴方程()x，梁的转角一般

很小'/ddx

第二节/

第三节梁变形

的基本方程与积分法求位移

1、在建立纯弯曲正应力公式时，曾得到用中性层曲

率表示的弯曲变形公式

1

Mx

EI



，该式也可用于一般非纯弯曲，则该式变

为

1

()

Mx

xEI



，由高等数学可知，平面曲线()x上任意一点的曲率为

32

2

1()

1[()]

wx

wx











，有



32

2

()

1[()]

Mx

wx

EI

wx









，即挠曲轴微分方程，

因为梁的变形

一般很小，故

21w



，即

211w



，则

挠曲轴微分方

程可简化为

Mx

w

EI





2、坐标系如图，弯矩M与''同号，且x轴的方向

无影响

3、积分法算梁变形：

Mx

w

EI



，

Mx

dw

dxC

dxEI

，

Mx

wdxCxD

EI



4、位移边界与连续条件：①固定铰支和可动铰支处，

=0②固定端出=0=0③连续条件即分段处挠曲轴应该满足的连续光

滑条件，即



左=



右

5、挠曲线大致形状：根据弯矩图定凹凸性，弯矩图

过零点为拐点，支座限制支座处的位移

第四节确定梁位移的叠加法

1、叠加法的适用范围：应力不超过比例极限；小变

形

2、！

3、叠加法可以分载荷叠加也可以分段叠加

4、分段叠加用的是逐段刚化法或假象固定法

第五节简单静不定梁

1、分析方法：解除多余约束，代之以支反力；分析

相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件（相当系统即左拥有原静不定梁

载荷与多余支反力的基本系统）

2、步骤：①判断静不定数（确定多余约束数）②解

除多余约束，建立相当系统③列出多余约束处的变形协调条件（位移边界条件）

④结合平衡方程，求多余支反力

第六节梁的刚度条件与合理刚度设计

1、刚度条件

max

w，

max



2、梁的刚度设计与强度设计的不同点：①强度是局

部量，刚度是整体量，如小孔，显著影响强度但对刚度影响甚微，辅梁和等强

度梁是增加梁的强度的有效手段，但增加刚度必须整体加强②强度与材料的

s

和

b

有关，但刚度与E相关③刚度对梁的跨度更敏感

3、*

4、提高梁强度的主要措施：①减小M的数值，如合

理安排梁的约束，改善梁的受力情况，适当增加梁的约束，变静定梁为静不定

梁②提高/IA③减小跨度l④提高材料的弹性模量⑤整体提高EI

第十章应力状态分析

第一节引言

1、应力状

态：通过构件内一点，所作各微截面的

应力状况，称为该点处的应力状态

2、应变状

态：构件内一点在各个不同方位的应变

状况，称为该点处的应变状态

第二节平面应力

状态分析

1、平面应力

状态就是仅在微体四个侧面作用有应力，且其作用线均平行于微体不受力表面

的应力状态

2、cos2sin2

22

xyxy

x









，sin2cos2

2

xy

x







，其中，以拉伸为正，使微体顺时针转

为正，



以X轴为始边，指向沿逆时针转为正

3、，

4、上述关系建立在静力学基础上，与材料性质无关

第三节应力圆

1、将上节公式改写成如下形式：

cos2sin2

22

xyxy

x







，

0sin2cos2

2

xy

x







，平方相加，得

2222()()

22

xyxy

x









2、由上式得出在



—



坐标下的圆：圆心坐标

0

2

（，）xy



，半径22()

2

xy

x

R









3、应力圆的绘制：做出

x

截面的对应点

(,)

xx

D，

y截面的对应点(,)

yy

E，则可确定应力圆，在应力圆上求截面上的应力，

将半径CD沿方位角



的转向旋转2



到CH处，所得到H点即表示



截面

的应力状态

第四节平面应力状态的极值应力与主应力

1、平面应力状态的极值应力：

2

max

2

min

22

xyxy

x

























，最大正应力的方位角

0

minmax

tanxx

xy











，

2

max

2

min

2

xy

x

























，最大

正应力的两平面互垂，最大切应力的两平面也互垂，且二者差45

2、主平面是切应力为0的截面，主平面微体是相邻

主平面互垂，构成一正六面微体。主应力是主平面上的应力，通常按其代数值，

123



3、

4、纯剪切状态下，

t,max

，且分别位于45

和45截面上。故圆轴扭转时滑移和剪切发生在

max

截面，而断裂发生在

max



截面（45）

第五节复杂应力

状态的最大应力

1、三向应力

圆：三组特殊的平面应力对应于三个应

力圆，任意斜截面的应力值位于阴影区

内

2、任意斜截

面的应力为：

222

123

coscoscos

n



，其中



、、分别是与

1

、

2

、

3

的夹角，2222222

123

coscoscos

nn



3、最大应力：

max1

，

min3

，



max13

1

2

，

max

位于与

1

和

3

均成45的截面

第六节平面应变状态分析

1、已知应变

x

，

y

和

xy

，求方向的



和



，

方向角以X轴为始边，逆时针转为正，左下直角增大之为正

2、cos2-sin2

222

xyxyxy









，

sin2cos2

222

xyxy











，且

90









，即互垂方向的切应变方向

相反，大小相等

3、！

4、以上公式建

立在几何关系基础上，所得规律适用于任

何小变形问题，与材料的力学特性无关

5、平面应变转

轴公式与平面应力转轴公式有形式上的相

似性，如下：

cos2sin2

22

xyxy

x









sin2cos2

2

xy

x









cos2sin2

222

xyxyxy





















sin2cos2

222

xyxy

可见~

xx

，~

yy

，



~

2

xy

x

，则应力圆~应变圆

6、应变圆圆心位于



(,0)

2

xy

，半径













22

22

xyxyR

7、最大正应变













2

max

2

min

1

}

22

xy

xyxy

，最大正应变的方位角为











0

minmin

/2

tan

2

xyxy

xx

，最大切应变



2

2

maxxyxy

8、·

9、切应变为0的方位之相应正应变，称为主应变，

主应变位于互垂方位，

123

第七节各向同性材料的应力、应变关系

1、广义胡克定律：













,,

/,/,/

yyy

xzxzzx

xyz

xyxyyzyzxzxz

EEEEEEEEE

GGG

2、以上结果成立条件：线弹性，小变形，各向同性

3、主应力与主应变的关系：



11231123

11

[()][(1)()]

EE



22132213

11

[()][(1)()]

EE



33122213

11

[()][(1)()]

EE

—

可见，最大与最小主应变分别发生在最大和最小主应力方向

4、各向同性材料弹性常数之间的关系：





2(1)

E

G

第八节复杂应力状态下的应变能和畸变能

1、三向应力状态下的应变能密度：



112233

1

2

，根据广义胡克定律，微体的应变能密度为

222

123123213

1

2

2E







，对于非主应力微体，应

变能密度为1

2xxyyzzxyxyyzyzzxzx



2、微体的体积变化率为体应变，

312

av

E







，

其中，123

3av









3、在外力作用下，微体的体积和形状一般发生变化，

研究的相应的应变能为体积改变能和畸变能（形状改变能）

4、应力偏量的概念：

11av

，

22av

，

33av

，其平均应力为

123

1

30

3avav



5、在平均应力

av

的作用下，微体形状不变，仅体积

改变，体积改变能密度为：2

123

12

6VE









6、）

7、在应力偏量的作用下，微体的体积不变，形状发

生改变，则畸变能密度为222

122331

1

6dE













8、

dV



，即应变能密度等于体积改变能密度

与畸变能密度之和

第十一章复杂应力状态强度问题

第一节引言

1、研究目：利用简单应力状态实验结果，建立复杂

应力状态强度条件

2、两类破坏形式：对于脆性材料而言是断裂，对于

塑性材料是屈服，故有两类强度理论，断裂强度理论和屈服强度理论

第二节关于断裂的强度理论

1、第一强度理路（最大拉应力理论），最大拉应力理

论认为，引起材料断裂的主要因素是最大拉应力，不论材料处于何种应力状态，

只要最大拉应力达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力，材料即发生断裂。实

验表明，脆性材料在二向或三向拉伸断裂时，最大拉应力理论与实验结果相当

接近，当存在压应力时，只要最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多，

最大拉应力理论与实验结果也大致相近。断裂条件为：

1b

，则强度条件

为：

11r



2、（

3、第一强度理路的应用：铸铁试件拉伸断裂

max

max

F

A

，铸铁试件的扭转断裂

maxmax

P

M

W



4、第二强度理路（最大拉应变理论），该理论认为，

引起材料断裂的主要因素是最大拉应变，则断裂条件为

11u

，不论材料处

于何种应力状态，只要最大拉应变达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变，材

料即发生断裂。复杂应力状态下最大拉应变为

1123

1

[()]

E

，而

材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变则为

1

b

uE



，则断裂条件为



123b

，则强度条件为



123

，该强度理论适用于非

金属脆性材料，二向拉压，且压应力大于拉应

力

5、第一强度理论和

第二强度理论的极限曲线如图：

第三节有关屈服的强度

理论

1、第三强度理论（最

大切应力理论），该理论认为引起材料屈服的主要原因是最大切应力，屈服条

件是

maxs

，不论材料出于何种应力状态，只要最大切应力达到材料单向拉

伸时的最大切应力，材料即发生屈服，复杂应力状态下的最大切应力

13

max2







，材料单向拉伸屈服时的最大切应力则为

2

s

s



，则屈服条

件是

13

()/2/2－

s

，相应的强度条件是

313

－

r



2、第三强度理论的适用范围：轴类零件，受内压之

钢管常用

3、第四强度理论（畸变能理论），该理论认为，引起

材料屈服的主要因素是畸变能密度，不论材料出于何种应力状态，只要畸变能

密度

d

v达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度

ds

v，材料即发生屈服，则屈服

条件2

22

2

122331

(1)

(1)

[]

63

－－－＝s

EE











，强度条件

22

2

4122331

1

2

－－－

r



4、第三强度理论和第四强度理论的极限曲线如图：

第十二章—

第十三章压杆稳定问题

第一节引言

1、刚性杆单自由度体系

平衡的三种类型：偏离力矩

e

MPyPL，恢

复力矩2

r

MkyLkL，①

er

MM，PkL，

直线平衡状态不稳定，称为失稳，又叫作屈曲②

er

MM，PkL，直线平衡状态稳定③

er

MM，PkL，临界状态，P为临界载荷，临

界载荷就是使压杆在直线状态下的稳定由稳定变为

不稳定的轴向压力

2、计算临界载荷的基本方

法：建立临界状态平衡方程，确定临界载荷

第二节细长压杆的临界载荷

1、

临界载荷的欧拉公式，

通用公式为

2

2()cr

EI

P

l







，l为相当长度，为长度

系数。对于两端铰支细长压杆，1；对于一端固

定另一端自由的细长压杆，2；对于一端铰支一端可动铰支，和一端固定

另一端轴向移动的细长压杆，

1

2

；对于一端固定，另一端可动铰支，0.7

第三节中、小柔度杆的临界应力

1、



2

2

cr

cr

F

πEI

σ

AA

μl

，其中，μl反映约束条件，

与杆长度，约束条件有关，与材料性质无关

2、定义

I

i

A



为截面的惯性半径，只与截面形状有

关

3、定义柔度

l

i



，又称长细比，无量纲量

4、综上

2

2

cr

E





，综合反映杆长度l，支撑方式

，截面几何性质i对临界应力的影响

5、

2

2

crp

E





，故

p

E





，令

p

p

E





，欧拉公式适用条件为

p

，

p

为材料常数，仅与材料的弹

性模量E及比例极限

p

有关，

p

的杆称为大柔度杆

6、临界应力总图如下：

第四节压杆稳定条件与合理设计

1、压杆稳定条件：cr

st

st

F

FF

n

，

cr

st

st

n



，

st

F为稳定许用压力，

st

为稳定许用应力，

st

n为许用

安全因数，一般稳定安全因数要大于强度安全因数

2、提高稳定性的措施：①

lA

l

iI





，减小柔

度，则增大I或i，或减小A②加约束，使l减小③

2

2

cr

E





，可选择材料

使E增大④不计局部削弱，对于局部削弱的截面应进行强度校

第十四章疲劳与断裂

第一节引言

1、循环应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂

的现象，称为疲劳破坏，简称疲劳

第二节循环应力及其类型

1、在一个应力循环中，应力的极大值与极小值，分

别称为最大应力和最小应力，最大应力

max

和最小应力

min

的平均值称为平

均应力，maxmin

2m









2、最大应力与最小应力的代数差之半，称为应力幅，

maxmin

2s









3、应力变化的特点可用最小应力与最大应力的比值

r表示，称为应力比或循环特征，min

max

r







4、1r，称为对称循环应力；0r，称为脉动循

环应力

第三节SN曲线与材料的疲劳极限

1、疲劳实验中，由计数器记下试样断裂时所旋转的

总圈数获所经历的循环应力循环数N，即试样的疲劳寿命

2、以最大应力



为纵坐标，疲劳寿命的对数值lgN

为横坐标，根据实验数据所绘制的最大应力与疲劳寿命关系的曲线，称为

SN曲线

3、作用应力越大，疲劳寿命越短，对于寿命410N

（或510）的疲劳问题，一般称为低周疲劳，反之，称为高周疲劳

4、SN曲线中渐近线的纵坐标所对应的应力，称

为材料的持久极限，用

r

表示

5、对于不存在水平渐近线的材料，常根据构件的使

用要求，指定某一寿命

0

N对应的应力作为极限应力，并称为材料的疲劳极限

或条件疲劳极限

第四节影响构件疲劳极限的主要因素

1、合理设计构件外形

2、合理选择构件截面尺寸，大试样疲劳极限更低

3、提高表面加工质量

第十五章应力分析的实验方法

第一节电测法的基本原理

1、实验表明，在一定范围内，敏感栅的电阻变化率

与正应变

R

k

R

，式中，比例常数k称为应变灵敏度，一般为—