平面向量

平面向量知识点归纳

■标准化文件发布号：（9556・EUATWK・MWUB・WUNN-INNUL-DDQTY・Kn

2

第—童平面向量

2.1向量的基本概念和基本运算

16、向量：既有大小，乂有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起

点、方向、长度.零向量：长度为0的向量•单位向量：长度等于1个单位的向量•平行向量(共

线向量):方向相同或相反的非零向量•零向量与任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连.⑵平行四

边形法则的特点：共起点.

⑶三角形不等式：

||«|-|/?||

a+b=b+a；

②结合律：(&+b)+c：=d+(b+c：)；(3J+0=6+«=(i.

(5)坐标运算：设0=(不,)),b=(x2,y2)t贝IJ

万+5=(召+疋，开+儿)・

«-^=AC-AB=BC

(1)三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量・

⑵坐标运算：设a=S=(x2,y2),则a-b=(xl-x29yl-y2).

设A、B两点的坐标分别为(人切)，(x

2

,y

2

),则AB=(^-y

2

).

19、向量数乘运算:(1)实数兄与向量万的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作久刁・

②当兄＞0时，久/的方向与7的方向相同；当几＜0时？久/的方向与〃的方向相反;当＞1=0

时，Ad=6.

⑵运算律：①;1(“町=(；1“)万；②(兄+〃)厅=脑+炖；③兄(刁+5)=肪+舫

(3)坐标运算:设a=(x,y).则Aa=A(x,y)=(Ax9Ay).

20、向量共线定理：向量耳〃工0）与5共线，当且仅当有唯一一个实数几，使b=A,a.

设"&,）［）,b=（x2,y2）,其中,则当且仅当人儿-兀儿=°时向量

⑷运算性质：①交换律:

18、向量减法运算:

B

3

&、6（5工0）共线.

2.2平面向量的基本定理及坐标表示

21、平面向量基本定理：如果兀、&是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

意向量X,有且只有一对实数&、,使

万=入石+入瓦.（不共线的向量石、：作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P是线段Pf?上的一点，P】、的坐标分别是（%））（兀2,儿），当卒"

匝时，点P的坐标是（芝牛，塔字）•（当2=1B寸，就为屮点公式。：

2.3平面向量的数量积

23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的

和。）：

Wa-b=a^bcos6,/^6,0<<9<180）.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质：设刁和5都是非

零向量，贝IJ①Q丄boci—O•②当N与5同向时，/•5=|训可；当尬与5反向时,a-b=-db;

a-a=a2=d［或同=^/^.③db<|^||ib|.

（3）运算律:®ab=bd:②（脳）.5=2®5）=7（加）；③

（a+byc=ac+bc.

⑷坐标运算：设两个非零向量万=（不,））），丘=（兀,儿），则力•方=兀內+）订2•

若a=(x,y),贝IJ|a|2=x2+y2,或a=^x2+y2.设"(丙切),^=(x2,y2),贝IJ厅丄方OxLx2+

yy2=0・

设Qb都是非零向量，/=（心y）5=（x”yJ,8是力与5的夹角，则

知识链接：空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得•下面对空间向量在立体几何

中证明，求值的应用进行总结归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴.直线的方向向量：

若A、B是直线/上的任意两点，则4万为直线/的一个方向向量；与人力平行

的任意非零向量也是直线/的方向向量.

⑵•平面的法向量：

若向量并所在直线垂直于平面S则称这个向量垂直于平面乙记作齐丄Q,如果方

丄匕那么向量并叫做平面&的法向量.

⑶.平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为方=（x,y,z）.

③求出平面内两个不共线向量的坐标方=（4卫2，他），石=（$，$,$）.

“・a=0

④根据法向量定义建立方程组彳一一・

/?•/?=0

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面。的法向量.

COS0=

ci

b

Jf+)f

4

5

用向■方法判定空间中的平行关系⑴线线平行

设直线厶人的方向向量分别是ab则要证明1,//12,只需证明a//b,即

a=kb（keR）・

即：两直线平行或重合O两直线的方向向量共线。

⑵线面平行

①（法一）设直线/的方向向量是平面&的法向量是“，则要证明/〃

a,只需证明Q丄"，即au=0.

即：直线与平面平行°直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②，（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已

知直线的方向向量是共线向量即可.

⑶面面平行

若平面a的法向量为"，平面0的法向量为卩，要证a//P,只需证"〃

v,即证"=折.

即：两平面平行或重合°两平面的法向量共线。

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直

设直线厶丄的方向向量分别是a.b,则要证明厶丄h,只需证明方丄工即ab=0

・

即：两直线垂直O两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直

①（法一）设直线/的方向向量是方，平面Q的法向量是d则要证明

Ila,只需证明a//U,即a=Au.

6

②（法二）设直线/的方向向量是平面Q内的两个相交向量分别为

■―—•

m>n,右f，贝I"丄a

a・/?=0

即：直线与平面垂直o直线的方向向量与平面的法向量共线o直线的方向

向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。

⑶面面垂直

若平面a的法向量为匸，平面0的法向量为1要证G丄0,只需证"丄1即证"•v=

0.

即：两平面垂直O两平面的法向量垂直。

4、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，ab所成的

角为8,

ACBbl

则cos0=_^1_.

AC^BD

⑵求直线和平面所成的角

1定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这

个平面所成的角.

7

②求法：设直线/的方向向量为-平面6Z的法向量为"，直线与平面所成的

(3)求二面角

1定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平

面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角

的棱，每个半平面叫做二面角的面.

二面角的平面角是指在二面角a-1-p的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作

射线AO丄丄/,则乙403为二面角a-l-0的平面角.

②求法:设二面角a-l-0的两个半平面的法向量分别为m.n,再设乔“

的夹角为0,二面角a-1-p的平面角为0,则二面角。为乔、方的夹角©或其补

角兀一0.

根据具体图形确定0是锐角或是钝角：

m・n

♦如果。是锐角’则cos0=|cos°|==

mn

即&=arccos___

tn・n

♦如果。是钝角，则cos8=-|cos°|=-=

mn

角为8,。与「的夹角为0

则0为0的余角或0的补角

的余角•即

有:

sin0=|cos(p

=

8

5、利用法向■求空间距离

⑴点Q到直线丄距离

若Q为直线/外的一点，P在直线/上，矗为直线/的方向向量，b=PQ,则点Q到直

线/距离为h=-^J(db)2-(^b)2

a

⑵点A到平區△的距离

若点P为平面a外一点，点M为平面a内任一点，平面Q的法向量为n,则P到

平面Q的距离就等于丽在法向量并方向上的投影的绝对值.

即d=MPcos@,MP)

n-MP

=MP

11nMP

MP

n

⑶直线上与平面f之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,

直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

(4)两平行平面zP之间的距离

9

利用两平行平面间的距离处处相等’可将两平行平面间的距离转化为求点面距

⑸异面直线间的距离

设向量〃与两异面直线都垂直,MgPwb,则两异面直线间的距离〃就是丽在向量齐方

向上投影的绝对值。

nMP即〃=——

・n

6、三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面

的一条斜线的射影垂

直‘那么它也和这条斜线垂直.

acza,a丄04

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

(2)三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直.那

么它也和这条斜线的射影垂直.

P0丄a.O^a

推理模式：PA^a=AF丄40

aua.a丄AP

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理

设AC是平面a内的任一条直线，AD是a的一条斜线AB在a内的射影.且

BD1AD,垂足为D.设AB与a（AD）所成的角为久AD与AC所成的角为

0(

推理模式：PAra=A=＞。丄P4

10

AB与AC所成的角为8.贝IJcos0=coscos・

8、面积射影定理

已知平面0内一个多边形的面积为s（s原），它在平面a内的射影图形的面积

为S[S射），平面a与平面0所成的二面角的大小为锐二面角8,贝IJ

cos&=》=如.

ss原

9、一个结论

長丽帝线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为厶、人、/31夹角分别为

q、Q、&3,则有/2=<=>cos2+COS2+cos;0.=1

<=>sin2q+sin202+sur罠=2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）•

11

基础练习

一选择题

1.如图，点0是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点儿B,GD,E,F,0中的任意

一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的

向量共有（）

A・6个E.7个

C・8个D.9个

解析：选D.与向量共线的向量有,,,,,,,,共9个，故选D.

2.设不共线的两个非零向量6,J且紅&+◎）〃（◎+屁小则实数R的值为

（）

A・1E・一1C・±1D・0

答案：A

3.已知向量是不共线向量①，s，给出下列各组向量：

①a=2°,b=ei+e

2

i®a=2e

l

—e

2

>b=—①+茲；

③a=G+db=—2ei—2ei；④b=ei—e2・

其中共线的向量组共有（）

A・1个E・2个C・3个D.4个

答案：B

4・己知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设=e=b

9则=

E・一尹+b）

C・3（a_b）

答案：B

5•下列计算正确的有（）

12

①（一7）x6a=—42a：②a-2b+（2a+2b）=3a：

③a+b_(a+b)=O・

A・0个B・1个C・2个D・3个

解析：①对，②对，③错，因为d+b—(a+b)=O・

答案：c

1.化简一+所得结果是()

A.B.C・0D・

答案：c

2.在MBC中，||=||=||=1,则|一|的值为()

.2

答案：B

3.已知向量a//b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向()

A.与向量d方向相同

B.与向量a方向相反

C.与向量b方向相同

D.与向量b方向相反

答案：A

4.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,+=儿则久=

答案：2

5.向量(+)+(+)+等于()

A.B.C・D・

解析：(+)+(+)+=(+)+(+)+=++=.故选C.

答案：c

1.如果e八02是平面a内所有向量的一组基底，那么()

13

A.若实数人1、久2使久M/+人乂2=0,则久］=久2=0

B.空间任一向量a可以表示为。=小/+恋2,这里小加是实数

C.对实数几、心亦+皿2不一定在平面a内

D.对平面a中的任一向量a,使a=he^k

2

e

2的实数入、必有无数对

答案：A

2.如果3c+4d=a,2£i+3s=b,其中a,b为已知向量，贝lj____________________

答案：ei=3a—4b◎=—2a+3b

3.设°,◎是平面内一组基底，如果=3^1—2^,=4ei+s，=3e

i

—9e

2f则共线的三点是

()

A・A、B、CE・B、C、D

C・A、B、DD・A、C、D

答案：c

4.设引，◎是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底

的是()

A・和ei~C2

B.3^i—2cz和如三一6(?i

C.£1+2^2和d+2c

D・◎和01+◎

解析:丁4^2—6^1=—2(3厲—2e2),

A3ei—2^2与4^2—6门共线，故选B

答案：B

1.若=(2,3),且点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为()

A.(1,1)B.(-b1)

C.(3,5)D.(4,4)

答案：C

14

2.已知平行四边形OABC(。为原点)，=(2,0),=(3,1),则OC等于()

A.(1,1)B.(1,-1)

15

解析：==-=(3J)-(2,0)=(1,1),故选A.

答案：A

3・若向量r/=(l,l),b=(L,-1),c=(—l,2),则c等于()

A.-如+|b

c.H

答案：B

1.若a=(2,3),b=(4,—l+y),且a//b,则y=()

A・6B.5C・7D.8

答案：C

32

2.已知点M是线段AB上的一点，点P是平面上任意一点，=<+十若=儿则2等

A.|

解析：用，表示向量■・

322232332

••・=+=+§+§=_§+§,=+=_+=_§+§+=飞+「•.予

答案：D

1•若向量厶b满足a=b=l,a与b的夹角为60S则aa^ab等于()

13

A-B-

C.1+爭D.2

解析：选B.a・a+a.b=|aF+k||b|cos60o=l.+*=*.

2.设a,b,c是任意的非零向量，且相互不共线，则卞列结论正确的是()

A.(ab)c—(c・a)b=0

E・a・b=0=>a=0或b=0

C.(b・c)a—(a・c)b不与c垂直

D・(3a+4b)・(3a—4b)=9|a|2—16|歼

C・(一1,-1)

D.(-14)

于（

ci

16

解析：选D・由于数量积是实数，因此(cb)c,(w)b分别表示与cb共线的向量，运算结

果不为0,故A错误；当a丄b,。与b都不为零向量时，也有Gb=o,故B错误；

[(b・c)a_(ac)bTc=(b・c)a・c_@・c)b・c=0,故C错误;

(3n+4h)(3a—4b)=9a2—16b2—12a-b+12a-b

=9歼一16师.

l.a=(-4,3),Z?=(5,6),则3奸一4°小等于()

A・23E・57

C・63D・83

解析：选D.V|rz|=y](—4)2+32—5,trb=—4x5+3x6=—2,3|a|2—467-Z?=3x52—

4x(—2)=83・故选D・

2•己知A(2.1),B(3,2),C(-b4),贝IJAABC^()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.任意三角形

解析：选B.-=(l,1)(-3,3)=—3+3=0・故选B

1.设坐标原点为O，已知过点(0,扌)的直线交函数V=|A-的图象于A、B两点,则•

的值为()

34

A-4B3

j43

解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k,则直线方程为y=kx+^,与尸护联立

得护=也+扌，

.x2—2kx—1=0,/.xiX2=—1,Xi+x2=2k,

yiv：=(3+*)(g+£=心应+扌+“⑴严)

=_后+后+壬=£

：••=畑+悴=-1+壬=一|・

二填空题

2.已知A,B,C是不共线的三点，向量加与向量是平行向量，与是共线向量，则加

■

解析:VA,B,C不共线，•••与不共线，

又加与，都共线，

A/n=0.

答案：0

17

6.已知II=lai=3,11=1方1=3,AAOB=120°,则a+b=

答案:3

5・已知向量a,方不共线，实

x,

y满足(3x—4y)a+(2x—3y)b

18

=6a+3b9则兀一y=_________.

解析：由题意，得3x—4y=6且2x—3y=3,解得兀=6,y=

3,•:兀—y=3・

答案：3

6.如下图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF

与AC交于点G,若=a,=b,用a、b表示=

解析：・・・E、F分别为相应边中点,

3333

••・=玄=严)=旷+学・

—33

答嶷出

(3,4),则兀=___________

答案：-1

4.

已知4=(1,2),b=a3),实

y满足xa+yb=

19

5.若将向量a=(©1)按逆时针方向旋转号得到向量b,则b

的坐标为_______・

答案」一1,V3)

6・已知平行四边形ABCD中，A(l,l),B(6,l),C(8,5),则点D

的坐标为_______・

答案：(3,5)

7.作用于原点的两个力Fi=(2,2),F

2

=(L3),为使它们平

衡，需加力码=_________

答案：(-3,-5)

3.已知口ABCD四个顶点的坐标为4(5,7),B(3,x),C(2,3),

D(4,兀)，则兀=__________・

答案：5

3._________________________________________________________________已知向量

a,b满足|b|=2,d与b的夹角为60°,则b在。上的投影是___________________.

解析：/?在4上的投影是|b|cos〈a,b〉=2cos60=1.答案：1

4.已知同=2|b|H0,且关于A-的方程T+|d|x+d・b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围

是______.

解析：由于|4=2|b|H0,且关于x的方程x-+ax+a-b=0有实根,则奸一4a・bM0,设向

a・b4^1"1「兀_

20

M"bb的夹角为&,则cos0=拥切*=2»:°已兀.

答案：U，K

4•在边长为边的等边三角形ABC中，设=c,=a,=b,则a・b+b・c+c・a=

解析：a・b+b・c+c・a=>/ix{5xcosl2(rX3=—3.

答案：一3

5.已知|4=|b|=l,|3a—2b|=3,贝lj|3a+b|=____________.

解析：由已知|3a-2b|=3,得9|a卩一12&•b+4|歼=9,

A3a+b|=7(3a+b)2=p9|ap+6a•b+|Z?F=2址・答案：2y[3

・在平面直角坐标系中，0为原点，已知两点A(l,—2),B(—1,4),若点C满足=a+0,其

中OWaWl且a+£=l,则点C的轨迹方程为________________・

解析：Ta+0=1,•••0=1—久

又•••=a+0=a+(l—a),

又B与有公共点B,B、C三点共线，

TOWaWl,•••(?点在线段AB上运动，

•：C点的轨迹方程为3x+y—1=0(—lWxWl)・

答案：3x+y—1=0(—1WxWl)

三解答题