复合函数积分

复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：zxiy，,xy是实数,

Re,Imxzyz.21i.

注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

2.复数的表示

1）模：22zxy；

2）幅角：在0z时，矢量与x轴正向的夹角，记为

Argz（多值函

数）；主值

argz是位于(,]中的幅角。

3）

argz与arctan

y

x

之间的关系如下：

当0,xargarctan

y

z

x

；

当

0,argarctan

0,

0,argarctan

y

yz

x

x

y

yz

x

























；

4）三角表示：

cossinzzi，其中argz；注：中间一定是“+”

号。

5）指数表示：izze，其中argz。

(二)复数的运算

1.加减法：若

111222

,zxiyzxiy，则



121212

zzxxiyy

2.乘除法：

1）若

111222

,zxiyzxiy，则



1212122112

zzxxyyixyxy；



1122

2222

22222222222

xiyxiy

zxiyxxyyyxyx

i

zxiyxiyxiyxyxy









。

2）若12

1122

,iizzezze,则



12

1212

izzzze；

12

1

1

22

i

z

z

e

zz



3.乘幂与方根

1）若(cossin)izzize，则(cossin)nn

ninzzninze。

2）若(cossin)izzize，则

122

cossin(0,1,21)n

n

kk

zzikn

nn











（有n个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：

wfz，在几何上可以看作把z平面上的一

个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.

2．复初等函数

1）指数函数：

cossinzxeeyiy，在z平面处处可导，处处解析；

且zzee



。

注：ze是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）对数函数：ln(arg2)Lnzzizk(0,1,2)k（多值函数）；

主值：lnlnargzziz。（单值函数）

Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处

解析，且

1

lnz

z



；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaaea；(0)bbLnzzez

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1bbzbz

。

4）三角函数：sincos

sin,cos,t,

22cossin

izizizizeeeezz

zzgzctgz

izz





sin,coszz在z平面内解析，且

sincos,cossinzzzz





注：有界性sin1,cos1zz不再成立；（与实函数不同）

4）双曲函数,

22

zzzzeeee

shzchz



；

shz奇函数，chz是偶函数。,shzchz在z平面内解析，且

,shzchzchzshz



。

（四）解析函数的概念

1．复变函数的导数

1）点可导：



0

fz

=



00

0

lim

z

fzzfz

z





；

2）区域可导：

fz在区域内点点可导。

2．解析函数的概念

1）点解析：

fz在

0

z及其

0

z的邻域内可导，称

fz在

0

z点解析；

2）区域解析：

fz在区域内每一点解析，称

fz在区域内解析；

3）若()fz在

0

z点不解析，称

0

z为

fz的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为

零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：

,,fzuxyivxy在zxiy可导

,uxy和

,vxy在

,xy可微，且在

,xy处满足CD条件：

,

uvuv

xyyx







此时，有

uv

fzi

xx









。

2．函数解析的充要条件：

,,fzuxyivxy在区域内解析

,uxy和

,vxy在

,xy在D内可微，且满足CD条件：

,

uvuv

xyyx







；

此时

uv

fzi

xx









。

注意：若

,,,uxyvxy在区域D具有一阶连续偏导数，则

,,,uxyvxy

在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说

明,uv具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数()fzuiv一定

是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件（函数以

,,fzuxyivxy形式给出，如第二

章习题2）

3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数

fz是以z的形式

给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1．复变函数积分的概念：



1

lim

n

kk

c

n

k

fzdzfz









，c是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2．复变函数积分的性质

1）



1cc

fzdzfzdz





（1c与c的方向相反）；

2）

[],,

ccc

fzgzdzfzdzgzdz

是常数；

3）若曲线c由

1

c与

2

c连接而成，则



12

ccc

fzdzfzdzfzdz

。

3．复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分：



ccc

fzdzudxvdyivdxudy

；（常用于理论证明）

2）参数方法：设曲线c：

()zztt，其中对应曲线c的起

点，对应曲线c的终点，则

[]()

c

fzdzfztztdt









。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设

fz在单连域B内解析，c为B内任一

闭曲线，则

0

c

fzdz

2．复合闭路定理：设

fz在多连域D内解析，c为D内任意一条

简单闭曲线，

12

,,

n

ccc是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不

相交，并且以

12

,,

n

ccc为边界的区域全含于D内，则

①



c

fzdz

1

,

k

n

k

c

fzdz







其中c与

k

c均取正向；

②

0fzdz





，其中由c及1(1,2,)ckn所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数

fz沿闭曲线c的

积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程

中c不经过使

fz不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分：设

fz在单连域B内解析，

Gz

为

fz在B内的一个原函数，则

2

1

2112

(,)z

z

fzdzGzGzzzB

说明：解析函数

fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算

时只要求出原函数即可。

5。柯西积分公式：设

fz在区域D内解析，c为D内任一正向简

单闭曲线，c的内部完全属于D，

0

z为c内任意一点，则





0

0

2

c

fz

dzifz

zz







6．高阶导数公式：解析函数

fz的导数仍为解析函数，它的n阶

导数为





0

1

0

2

(1,2)

()!

n

n

c

fz

i

dzfzn

zzn











其中c为

fz的解析区域D内围绕

0

z的任何一条正向简单闭曲线，

而且它的内部完全属于D。

7．重要结论：

1

2,0

1

0,0

()n

c

in

dz

n

za





















。（c是包含a的任意正向简单闭曲

线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若

fz在区域D内处处不解析，用一般积分法

[]

c

fzdzfztztdt









2）设

fz在区域D内解析，

c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，

0

c

fzdz

c是D内的一条非闭曲线，

12

,zz对应曲线c的起点和终点，则有

2

1

21

z

cz

fzdzfzdzFzFz

3）设

fz在区域D内不解析

曲线c内仅有一个奇点：









0

0

0

1

0

2

2

()!

c

n

n

c

fz

dzifz

zz

fz

i

dzfz

zzn

































（()fz在c内解析）

曲线c内有多于一个奇点：



c

fzdz

1

k

n

k

c

fzdz







（

i

c内只有一个奇

点

k

z）

或：



1

2Re[(),]

n

k

k

c

fzdzisfzz







（留数基本定理）

若被积函数不能表示成



1()n

o

fz

zz

，则须改用第五章留数定理来计

算。

（八）解析函数与调和函数的关系

1．调和函数的概念：若二元实函数(,)xy在D内有二阶连续偏导数

且满足22

22

0

xy







，

(,)xy为D内的调和函数。

2．解析函数与调和函数的关系

解析函数

fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v

为实部u的共轭调和函数。

两个调和函数u与v构成的函数()fzuiv不一定是解析函数；但

是若,uv如果满足柯西—

黎曼方程，则uiv一定是解析函数。

3．已知解析函数

fz的实部或虚部，求解析函数

fzuiv的方法。

1）偏微分法：若已知实部

,uuxy，利用CR条件，得,

vv

xy





；

对vu

yx







两边积分，得

u

vdygx

x









（*）

再对（*）式两边对x求偏导，得

vu

dygx

xxx

















（**）

由CR条件，uv

yx







，得

uu

dygx

yxx

















，可求出

gx；

代入（*）式，可求得虚部

u

vdygx

x









。

2）线积分法：若已知实部

,uuxy，利用CR条件可得

vvuu

dvdxdydxdy

xyyx







，

故虚部为





00

,

,

xy

xy

uu

vdxdyc

yx









；

由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其

中



00

,xy与

,xy是解析区域中的两点。

3）不定积分法：若已知实部

,uuxy，根据解析函数的导数公式

和CR条件得知，

uvuu

fzii

xyxy









将此式右端表示成z的函数

Uz，由于

fz

仍为解析函数，故

fzUzdzc

（c为实常数）

注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部.u

（九）复数项级数

1．复数列的极限

1）复数列{}{}

nnn

aib（1,2n）收敛于复数abi的充要条件为

lim,lim

nn

nn

aabb



（同时成立）

2）复数列{}

n

收敛实数列{},{}

nn

ab同时收敛。

2．复数项级数

1）复数项级数

0

()

nnnn

n

aib







收敛的充要条件是级数

0

n

n

a







与

0

n

n

b







同

时收敛；

2）级数收敛的必要条件是lim0

n

n





。

注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问

题的讨论。

（十）幂级数的敛散性

1．幂级数的概念：表达式

0

0

()n

n

n

czz







或

0

n

n

n

cz







为幂级数。

2．幂级数的敛散性

1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数

0

n

n

n

cz







在

0

0z

处收敛，那么对满足

0

zz的一切z，该级数绝对收敛；如果在

0

z处发散，那么对满足

0

zz的一切z，级数必发散。

2）幂级数的收敛域—圆域

幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的

圆周上可能收敛；也可能发散。

3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。

比值法如果1lim0n

n

n

c

c





，则收敛半径1

R



；

根值法lim0

n

n

c



，则收敛半径1

R



；

如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛；

如果，则0R；说明仅在

0

zz或0z点收敛；

注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如2

0

n

n

n

cz







）

3．幂级数的性质

1）代数性质：设

00

,nn

nn

nn

azbz







的收敛半径分别为

1

R与

2

R，记



12

min,RRR，

则当zR时，有

000

()nnn

nnnn

nnn

abzazbz







（线性运算）

0110

000

()()()nnn

nnnnn

nnn

azbzabababz









（乘积运算）

2）复合性质：设当r时，



0

n

n

n

fa







，当zR时，

gz解析

且

gzr，

则当zR时，



0

[][]n

n

n

fgzagz







。

3）分析运算性质：设幂级数

0

n

n

n

az







的收敛半径为0R，则

其和函数



0

n

n

n

fzaz







是收敛圆内的解析函数；

在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且

1

0

n

n

n

fznaz











zR

在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；

1

0

0

1

z

n

n

n

a

fzdzz

n















zR

（十一）幂函数的泰勒展开

1.泰勒展开：设函数

fz在圆域

0

zzR内解析，则在此圆域内

fz

可以展开成幂级数



0

0

0

!

n

n

n

fz

fzzz

n







；并且此展开式是唯一的。

注：若

fz在

0

z解析，则

fz在

0

z的泰勒展开式成立的圆域的收敛

半径

0

Rza；

其中R为从

0

z到

fz的距

0

z最近一个奇点a之间的距离。

2．常用函数在

0

0z的泰勒展开式

1）23

0

1

1

!2!3!!

n

zn

n

zzz

ezz

nn





z

2）2

0

1

1

1

nn

n

zzzz

z









1z

3）35

2121

0

(1)(1)

sin

(21)!3!5!(21)!

nn

nn

n

zz

zzzz

nn













z

4）24

22

0

(1)(1)

cos1

(2)!2!4!(2)!

nn

nn

n

zz

zzz

nn







z

3．解析函数展开成泰勒级数的方法

1）直接法：直接求出

0

1

!

n

n

cfz

n

，于是



0

0

n

n

n

fzczz







。

2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复

合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。

（十二）幂函数的洛朗展开

1.洛朗级数的概念：



0

n

n

n

czz







，含正幂项和负幂项。

2．洛朗展开定理：设函数

fz在圆环域

102

RzzR内处处解析，

c为圆环域内绕

0

z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆

环域内，有



0

n

n

n

fzczz







，且展开式唯一。

3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。

*4．利用洛朗级数求围线积分：设

fz在

0

rzzR内解析，c为

0

rzzR内的任何一条正向简单闭曲线，则



1

2

c

fzdzic





。其中

1

c



为()fz在

0

rzzR内洛朗展开式中

0

1

zz

的系数。

说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中1

0

()zz的系

数。

（十三）孤立奇点的概念与分类

1。孤立奇点的定义：

fz在

0

z点不解析,但在

0

z的

0

0zz内解

析。

2。孤立奇点的类型：

1）可去奇点：展开式中不含

0

zz的负幂项；

2

01020

fzcczzczz

2）极点：展开式中含有限项

0

zz的负幂项；

(1)

2

1

01020

1

000

()()

()()()

m

m

mm

c

c

c

fzcczzczz

zzzzzz















0

,

()m

gz

zz





其中

1

(1)01000

()()()mm

mm

gzcczzczzczz



在

0

z解析，

且



0

0,1,0

m

gzmc



；

3）本性奇点：展开式中含无穷多项

0

zz的负幂项；

1

0100

00

()()

()()

m

m

m

m

c

c

fzcczzczz

zzzz







（十四）孤立奇点的判别方法

1．可去奇点：



0

0

lim

zz

fzc



常数；

2．极点：



0

lim

zz

fz





3．本性奇点：



0

lim

zz

fz



不存在且不为。

4．零点与极点的关系

1）零点的概念：不恒为零的解析函数

fz，如果能表示成



0

()mfzzzz，

其中

z在

0

z解析，



0

0,zm为正整数，称

0

z为

fz的m级零点；

2）零点级数判别的充要条件

0

z是

fz的m级零点





0

0

0,(1,2,1)

0

n

m

fznm

fz















3）零点与极点的关系：

0

z是

fz的m级零点

0

z是



1

fz

的m级极点；

4）重要结论

若za分别是

z与

z的m级与n级零点，则

za是

zz的mn级零点；

当mn时，za是





z

z





的mn级零点；

当mn时，za是





z

z





的nm级极点；

当mn时，za是





z

z





的可去奇点；

当mn时，za是

zz的l级零点，min(,)lmn

当mn时，za是

zz的l级零点，其中()lmn

（十五）留数的概念

1．留数的定义：设

0

z为

fz的孤立奇点，

fz在

0

z的去心邻域

0

0zz内解析，c为该域内包含

0

z的任一正向简单闭曲线，则称

积分

1

2c

fzdz

i



为

fz在

0

z的留数（或残留），记作



0

Re[,]sfzz

1

2c

fzdz

i



2．留数的计算方法

若

0

z是

fz的孤立奇点，则



0

Re[,]sfzz

1

c



，其中

1

c



为

fz在

0

z的去心邻域内洛朗展开式中1

0

()zz的系数。

1）可去奇点处的留数：若

0

z是

fz的可去奇点，则



0

Re[,]sfzz0

2）m级极点处的留数

法则I若

0

z是

fz的m级极点，则



0

Re[,]sfzz

0

1

0

1

1

lim[()]

(1)!

m

m

m

zz

d

zzfz

mdz











特别地，若

0

z是

fz的一级极点，则



0

Re[,]sfzz

0

0

lim()

zz

zzfz





注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。

法则II设







Pz

fz

Qz

，

,PzQz在

0

z解析，



0

0,Pz



00

0,0QzQz



，则







0

0

0

Re[,]

PzPz

sz

QzQz





（十六）留数基本定理

设

fz在区域D内除有限个孤立奇点

12

,,

n

zzz外处处解析，c

为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则



1

2Re[,]

n

c

n

fzdzisfzz









说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积

函数

fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。

积分变换复习提纲

一、傅里叶变换的概念

[()]()()jwtFftftedtFw







1

1

[()]()()

2

jtFFFedft











二、几个常用函数的傅里叶变换

1

[()]Fet

j





1

[()]()Fut

j







[()]1Ft

[1]2()F

三、傅里叶变换的性质

位移性（时域）：0

0

[()]jwtFftte[()]Fft

位移性（频域）：0

0

0

[()]()()jwt

www

FeftFwFww





位移性推论：

000

1

[sin()][()()]

2

FwtftFwwFww

j



位移性推论：

000

1

[cos()][()()]

2

FwtftFwwFww

微分性（时域）：[()]()()FftjwFw



（,()0tft），

()[()]()()nnFftjwFw，(1),()0ntft

微分性（频域）：

()[()],[()()]()nnFjtftFwFjtftFw





相似性：1

[()]()

w

FfatF

aa

(0)a

四、拉普拉斯变换的概念



0

[()]()()stLftftedtFs



五、几个常用函数的拉普拉斯变换

1

[]ktLe

sk





；



11

(1)!

[](m

mm

mm

Ltm

ss



是自然数)；（1

(1)1,(),(1)()

2

mmm）

1

[()][1]LutL

s

；

[()]1Lt



2222

[sin],[cos]

ks

LktLkt

sksk







2222

[s],[]

ks

LhktLchkt

sksk





设()()ftTft，则

0

1

[()]()

1

T

Ts

Lftftdt

e







。（()ft是以T为周期的周期

函数）

六、拉普拉斯变换的性质

微分性（时域）：

2[]0,[()]()(0)(0)LftsFsfLftsFssff





微分性（频域）：

[()]LtftFs



，

()[()]nnLtftFs

积分性（时域）：





0

[]tFs

Lftdt

s



积分性（频域）：



[]

s

ft

LFsds

t



（收敛）

位移性（时域）：

[]atLeftFsa

位移性（频域）：

[]sLfteFs（0,0,()0tft）

相似性：1

[()]()

s

LfatF

aa

(0)a

七、卷积及卷积定理



1212

()*()()()ftftfftd







1212

[()()]()()FftftFwFw



1212

1

[()()]()()

2

FftftFwFw







1212

[()()]()()LftftFsFs

八、几个积分公式

()()(0)fttdtf







00

()()()ftttdtft







000

()

[()]()

ft

dtLftdsFsds

t



17



0

()[()]kt

sk

ftedtLft





