正比例函数

正比例函数（基础）

【学习目标】

1.理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数ykx的图象；

2.能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如ykx（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k叫做比

例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）、y是

x

的正比例函数；

（2）、ykx（k为常数且k≠0）；

（3）、若y与

x

成正比例；

（4）、k

x

y

（k为常数且k≠0）.

要点二、正比例函数的图象与性质

正比例函数

ykx

（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直

线

ykx

.当k＞0时，直线

ykx

经过第一、三象限，从左向右上升，即随着

x

的增大

y

也增大；当k＜0时，直线

ykx

经过第二、四象限，从左向右下降，即随着

x

的增大

y

反

而减小.

要点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数ykx（k为常数，k≠0）中只有一个待定系数k，故只要有一对

x

，

y的值或一个非原点的点，就可以求得k值.

【典型例题】

类型一、正比例函数的定义

1、已知1(2)mymx

，当

m

为何值时，y是

x

的正比例函数？

【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)ykxk，要特别注意定义满足0k，

x

的指数

为1．

【答案与解析】

解：由题意得，

20

11

m

m















解得

m

＝2

∴当

m

＝2时，y是

x

的一次函数.

【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k不等于零；（2）

x的指数是1.

举一反三：

【变式】如果函数23(2)mymx是正比例函数，那么m的值是________．

【答案】

解：由定义得

2

20,

31,

m

m











解得

2.

2.

m

m











∴

m

＝2．

类型二、正比函数的图象和性质

2、（2014秋•灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x，y=﹣x，y=﹣0.6x

的图象．

【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即

可．

【答案与解析】

解：列表：

描点，连线：

【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线.

3、若正比例函数22(21)mymx中，y随

x

的增大而增大，则

m

的值为________.

【答案】1；

【解析】由题意可得：210m，221m，∴

m

＝1．

【总结升华】正比例函数

ykx

的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．

y

随

x

的增大而增大，则k＞0．

举一反三：

【变式】（2015•伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x的说法中，正确的是（）

A．当x=1时，y=5

B．它的图象是一条经过原点的直线

C．y随x的增大而增大

D．它的图象经过第一、三象限

【答案】B；

解：A、当x=1时，y=﹣5，错误；

B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；

C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；

D、图象经过二四象限，错误；

故选B．

4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数

1

ykx、

2

ykx、

3

ykx、

4

ykx

的图象分别为

1

l、

2

l、

3

l、

4

l，则下列关系中正确的是（）

A．

1

k＜

2

k＜

3

k＜

4

kB．

2

k＜

1

k＜

4

k＜

3

k

C．

1

k＜

2

k＜

4

k＜

3

kD．

2

k＜

1

k＜

3

k＜

4

k

【答案】B；

【解析】首先根据直线经过的象限，知：

2

k＜0，

1

k＜0，

4

k＞0，

3

k＞0，再根据直线越陡，

|k|越大，知：

2

||k＞|

1

k|，|

4

k|＜|

3

k|．则

2

k＜

1

k＜

4

k＜

3

k

【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符

号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.

类型三、正比函数应用

5、如图所示，射线l

甲

、l

乙

分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程

s

与

时间

t

的函数关系，则他们行进的速度关系是（）．

A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定

【思路点拨】观察图象，在t相同的情况下，有ss

乙

甲

，故易判断甲乙的速度大小．

【答案】A；

【解析】由svt知，

s

v

t

，观察图象，在

t

相同的情况下，有ss

乙

甲

，故有

s

s

vv

tt

甲

乙

乙

甲

．

【总结升华】此问题中，

l

甲

、

l

乙

对应的解析式ykx中，k的绝对值越大，速度越快．

举一反三：

【变式】如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中

s

和

t

分别表示运

动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（）

A.2.5米B.2米C.1.5米D.1米

【答案】C；

提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑

了52米，速度是

13

2

米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.