cos20

专题11三角函数定义与三角函数恒等变换

十年大数据*全景展示

年份题号考点考查内容

2011

课标

理5

文7

三角函数定义

三角恒等变换

三角函数定义与二倍角正弦公式

2013

卷2

理15

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角恒等变换

同角三角函数基本关系式、三角函数在各象限

的符号及两角和的正切公式

卷2文6

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角恒等变换

二倍角公式及诱导公式

2014

卷1理8

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角恒等变换

本题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、

三角函数性质等基础知识

卷1文2三角函数定义三角函数在各象限的符号

2015

卷1理2

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角恒等变换

诱导公式及两角和与差的三角公式

2016

卷2理9

三角恒等变换

两角差的正切公式、同角三角函数基本关系、

二倍角公式

卷3理5同角三角函数基本关系与诱导公式

二倍角正弦公式、同角三角函数基本关系、三

角函数式求值．

卷1文14同角三角函数基本关系与诱导公式

诱导公式、同角三角函数基本关系、三角函数

求值

卷3文6同角三角函数基本关系与诱导公式

利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求

值

2017

卷1文14

三角恒等变换

同角三角函数基本关系与诱导公式

同角三角函数基本关系、两角和公式及化归与

转化思想

卷3文4

三角恒等变换

同角三角函数基本关系与诱导公式

二倍角的正弦公式与同角三角函数基本关系．

2018

卷2理15

三角恒等变换

同角三角函数基本关系与诱导公式

同角三角函数基本关系、两角和公式及化归

与转化思想

卷3

理4

文4

三角恒等变换

二倍角余弦公式，运算求解能力

卷

1

文11

三角函数定义

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角函数定义、同角三角函数基本关系，转化

与化归思想与运算求解能力

卷2文15

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角恒等变换

诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化

归思想与运算求解能力

2019

卷2理10三角恒等变换

二倍角公式及同角三角函数基本关系，运算求

解能力

卷3文5

三角恒等变换

函数零点

二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．

卷1文7

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角恒等变换

诱导公式，两角和的正切公式

卷2文11

同角三角函数基本关系与诱导公式

三角恒等变换

同角三角函数基本关系、二倍角公式、已知函

数值求角，运算求解能力

2020

卷1理9三角恒等变换二倍角公式，平方关系

卷2

理2三角恒等变换二倍角公式，三角函数的符号

文13三角恒等变换二倍角公式

卷3理9三角恒等变换两角和的正切公式

卷3文5三角恒等变换两角和的正弦公式

大数据分析*预测高考

考点出现频率2021年预测

三角函数定义

4/23

2021年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及三

角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍

为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．

同角三角函数基本关系与诱导公式

16/23

三角恒等变换

13/23

十年试题分类*探求规律

考点36三角函数定义

1．(2018•新课标Ⅰ，文11)已知角的顶点为坐标原点，始边与

x

轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)Aa，

(2,)Bb，且

2

cos2

3

=

，则||(ab−=)

A．

1

5

B．

5

5

C．

25

5

D．1

【答案】B

【解析】角的顶点为坐标原点，始边与

x

轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)Aa，(2,)Bb，且

2

cos2

3

=

，

2

2

cos22cos1

3

=−=

，解得2

5

cos

6

=

，

30

|cos|

6

=，

306

|sin|1

366

=−=

，

6

|sin|5

6

|tan|||||

21|cos|5

30

6

ba

ab







−

==−===

−

，故选B．

2．(2014新课标I，文2)若tan0，则

20B．cos0C．sin0D．cos20

【答案】A

【解析】由tan0知，在第一、第三象限，即

2

kk



+(kZ)，∴222kk+，

即2在第一、第二象限，故只有sin20，故选A．

3．(2011全国课标理5文7)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx=上，

则cos2=

(A)

4

5

−(B)

3

5

−(C)

3

5

(D)

4

5

【答案】B

【解析】在直线2yx=取一点P(1，2)，则r=5，则sin=

y

r

=

25

5

，

∴cos2=212sin−=

3

5

−，故选B．

4．(2018浙江)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点

34

(,)

55

P−−．

(1)求sin()+的值；

(2)若角满足

5

sin()

13

+=，求cos的值．

【解析】(1)由角的终边过点

34

(,)

55

P−−得

4

sin

5

=−，

所以

4

sin()sin

5

+=−=．

(2)由角的终边过点

34

(,)

55

P−−得

3

cos

5

=−，

由

5

sin()

13

+=得

12

cos()

13

+=．

由()=+−得coscos()cossin()sin=+++，

所以

56

cos

65

=−或

16

cos

65

=−．

考点37同角三角函数基本关系与诱导公式

1．(2019•新课标Ⅱ，文11)已知

(0,)

2





，

2sin2cos21=+

，则sin(=)

A．

1

5

B．

5

5

C．

3

3

D．

2

5

5

【答案】B

【解析】

2sin2cos21=+

，



可得：24sincos2cos=，

(0,)

2





，

sin0

，

cos0

，

cos2sin=

，22222sincossin(2sin)5sin1+=+==，



解得：

5

sin

5

=

，故选B．

2．(2016新课标卷3，理5)若，则

(A)(B)(C)1(D)

【答案】A

【解析】由，得或，所以

，故选A．

3．(2016全国课标卷3，文6)若，则()

(A)(B)(C)(D)

【答案】D

4．(2013浙江)已知，则

()

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由22

10

(sin2cos)()

2

+=可得

22

22

sin4cos4sincos10

sincos4





++

=

+

，进一步整理可得

3

tan

4

=2cos2sin2+=

64

25

48

25

16

25

3

tan

4

=

34

sin,cos

55

==

34

sin,cos

55

=−=−

2

161264

cos2sin24

252525

+=+=

tan

1

3

=cos2=

4

5

−

1

5

−

1

5

4

5

2

10

cos2sin,=+R=2tan

3

4

4

3

4

3

−

3

4

−

23tan8tan30−−=，解得tan3=或

1

tan

3

=−，于是

2

2tan3

tan2

1tan4







==−

−

，故选C．

5．(2012江西)若，则tan2α=()

A．−B．C．−D．

【答案】B

【解析】分子分母同除cos得：

sincostan11

,

sincostan12





++

==

−−

∴tan3=−，

∴

2

2tan3

tan2

1tan4







==

−

6．(2013广东)已知，那么

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，选C．

7．(2016•新课标Ⅰ，文14)已知是第四象限角，且

3

sin()

45



+=

，则

tan()

4



−=

．

【答案】

4

3

−

【解析】是第四象限角，

22

2

kk



−+

，则

22,

444

kkkZ



−+++

，

又

3

sin()

45



+=

，22

34

cos()1()1()

4455

sin



+=−+=−=

，∴)

4

cos(



−=)

4

sin(



+=

5

3

，

4

sin()cos()

445



−=+=

，则)

4

tan(



−=)

4

tan(



−−=

)

4

cos(

)

4

sin(









−

−

−=

5

3

5

4

−=

3

4

−．

8．(2013新课标Ⅱ，理15)若为第二象限角，

1

tan()

42



+=，则sincos+=．

【答案】

【解析】(法1)由

1

tan()

42



+=得，tan=

1

3

−，即cos3sin=−，∵22sincos1+=，为第二

象限角，∴sin=

10

10

，cos=

310

10

−，∴sincos+=

10

5

−．

sincos1

sincos2





+

=

−

3

4

3

4

4

3

4

3

51

sin()

25



+=cos=

2

5

−

1

5

−

1

5

2

5

51

sin()sin(2+)sincos

22

25







+=+=+==





9．(2014江苏)已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【解析】(1)∵()5

sin

25





=，，

，∴225

cos1sin

5

=−−=−

()210

sinsincoscossin(cossin)

444210





+=+=+=−

；

(2)∵2243

sin22sincoscos2cossin

55

==−=−=，

∴()()3314334

cos2coscos2sinsin2

666252510



+

−=+=−+−=−

．

考点38三角恒等变换

1．(2020全国Ⅰ理9)已知()0,π，且3cos28cos5−=，则sin=()

A

．

5

3

B

．

2

3

C

．

1

3

D

．

5

9

【答案】

A

【思路导引】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于

cos

的一元二次方程，求解得出

cos

，再用

同角间的三角函数关系，即可得出结论．

【解析】3cos28cos5−=，得26cos8cos80−−=，即23cos4cos40−−=，解得

2

cos

3

=−

或cos2=(

舍去

)

，又()2

5

0,,sin1cos

3

=−=，故选

A

．

2．(2020全国Ⅱ理2)若为第四象限角，则()

A．

02cosB．

02cosC．

02sinD．

02sin

【答案】

D

【思路导引】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．

【解析】当

6



=−时，

cos2cos0

3







=−





，选项

B

错误；当

3



=−

时，

2

cos2cos0

3







=−





，

选项

A

错误；由



在第四象限可得：

sin0,cos0

，则sin22sincos0=，选项

C

错误，

选项

D

正确，故选

D

．

),

2

(





5

5

sin=

)

4

sin(



+

)2

6

5

cos(



−

3．(2020全国Ⅲ文5)已知sinsin1

3







++=





，则sin

6







+=





()

A．

1

2

B．

3

3

C．

2

3

D．

2

2

【答案】

B

【思路导引】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值．

【解析】由题意可得：

13

sinsincos1

22

++=，则：

33

sincos1

22

+=，

313

sincos

223

+=，

从而有：

3

sincoscossin

663



+=，即

3

sin

63







+=







．故选

B

．

4．(2020全国Ⅲ理9)已知2tantan

7

4







−

+=





，则tan=()

A．2−B．1−C．1D．2

【答案】

D

【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．

【解析】

2tantan7

4







−+=





，

tan1

2tan7

1tan







+

−=

−

，令

tan,1tt=

，则

1

27

1

t

t

t

+

−=

−

，整

理得2440tt−+=，解得2t=，即tan2=．故选

D

．

5．(2019•新课标Ⅱ，理10)已知

(0,)

2





，

2sin2cos21=+

，则sin(=)

A．

1

5

B．

5

5

C．

3

3

D．

25

5

【答案】B

【解析】

2sin2cos21=+

，

24sincos2cos=，

(0,)

2





，

sin0

，

cos0

，

cos2sin=

，

22222sincossin(2sin)5sin1+=+==，



5

sin

5

=，故选B．

6．(2019•新课标Ⅲ，文5)函数()2sinsin2fxxx=−在[0，2]的零点个数为()

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【解析】函数()2sinsin2fxxx=−在[0，2]的零点个数，即：

2sinsin20xx−=

在区间[0，2]的根个数，

即

2sinsin2xx=

，即0)cos1(sin=−xx，即0sin=x或1cos=x，∵x[0，2]，∴2,,0=x，故选

B．

7．(2019•新课标Ⅰ，文7)tan255(=)

A．

23−−

B．

23−+

C．

23−

D．

23+

【答案】D

【解析】∵

tan255tan(18075)tan75tan(4530)=+==+

2

3

1

tan45tan3033(33)1263

3

23

1tan45tan3066

333

11

3

+

++++

======+

−

−

−

，故选D．

8．(2018•新课标Ⅲ，理4文4)若

1

sin

3

=

，则cos2(=)

A．

8

9

B．

7

9

C．

7

9

−

D．

8

9

−

【答案】B

【解析】

1

sin

3

=

，2

17

cos212sin12

99

=−=−=

，故选B．

9．(2017新课标卷3，文4)已知

4

sincos

3

−=，则sin2=

A．

7

9

−B．

2

9

−C．

2

9

D．

7

9

【答案】

A

【解析】因为

()2sincos1

7

sin22sincos

19





−−

===−

−

，故选A．

10．(2016•新课标Ⅱ，理9)若

3

cos()

45



−=

，则sin2(=)

A．

7

25

B．

1

5

C．

1

5

−

D．

7

25

−

【答案】D

【解析】法

3

1:cos()

45



−=

，

2

97

sin2cos(2)cos2()2cos()121

2442525



=−=−=−−=−=−

，

法

23

2:cos()(sincos)

425



−=+=，



19

(1sin2)

225

+=

，

97

sin221

2525

=−=−

，

故选D．

11．(2015新课标Ⅰ，理2)sin20°cos10°-con160°sin10°=

A．

3

2

−B．

3

2

C．

1

2

−D．

1

2

【答案】D

【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=

1

2

，故选D．

12．(2014新课标Ⅰ，理8)设(0,)

2



，(0,)

2



，且

1sin

tan

cos







+

=，则

A．3

2



−=

B．2

2



−=C．3

2



+=

D．2

2



+=

【答案】B

【解析】∵

sin1sin

tan

coscos







+

==，∴sincoscoscossin=+

()sincossin

2







−==−





，,0

2222



−−−

∴

2



−=−，即2

2



−=，选B

13．(2013新课标Ⅱ，文6)已知

2

sin2

3

=，则2cos()

4



+=()

(A)

1

6

(B)

1

3

(C)

1

2

(D)

2

3

【答案】A

【解析】因为

2

sin2

3

=，所以2

1

cos()[1cos2()]

424



+=++=

1

(1sin2)

2

−=

1

6

，故选A．，

14．(2015重庆)若tan2tan

5



=，则

3

cos()

10

sin()

5









−

−

＝()

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】

3

cos()

10

sin()

5









−

=

−

33

coscossinsin

1010

sincoscossin

55









+

−

33

costansin

1010

tancossin

55









+

=

−

33

cos2tansin

10510

2tancossin

555





+

=

−

33

coscos2sinsin

510510

sincos

55





+

=

＝

155

(coscos)(coscos)

210101010

12

sin

25





++−3cos

10

3

cos

10





==，选C．

15．(2012山东)若，，则()

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由可得，，

，故选D．

16．(2011浙江)若0

2



＜＜，0

2



-＜＜，

1

cos()

43



+=，

3

cos(

)

423



−=，则cos()

2



+=

A．

3

3

B．

3

3

−C．

53

9

D．

6

9

−

【答案】C

【解析】cos()cos[()()]

2442



+=+−−cos()cos()

442



=+−

sin()sin()

442



++−，而

3

(,)

444



+，(,)

4242



−，

因此

22

sin(

)

43



+=，

6

sin()

423



−=，

则

1322653

cos()

233339



+=+=．

17．(2020全国Ⅱ文13)设

3

2

sin−=x

，则

=x2cos

．

【答案】

1

9

【思路导引】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可．

【解析】22

281

cos212sin12()1

399

xx=−=−−=−=

．故答案为：

1

9

．

18

．

(2020

江苏

8)

已知2

2

sin()

43



+=

，则sin2的值是

________

．

【答案】

1

3















2

,

4





8

73

2sin==sin

5

3

5

4

4

7

4

3

42













，],

2

[2





8

1

2sin12cos2−=−−=

4

3

2

2cos1

sin=

−

=





【解析】∵2

2

sin()

43



+=

，由2

112

sin()(1cos(2))(1sin2)

42223



+=−+=+=

，解得

1

sin2

3

=

．

19．(2020浙江13)已知

tan2=

，则

cos2=

；

π

tan

4





−=





．

【答案】

3

5

−；

1

3

【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2，根据两角差正切公式得

tan()

4



−

【解析】

222

22

222

cossin1tan3

cos2cossin

cossin1tan5







−−

=−===−

++

，

tan11

tan

41tan3







−



−==



+



，故

答案为：

3

5

−；

1

3

．

20．(2020北京14)若函数()sin()cosfxxx=++的最大值为2，则常数的一个取值为．

【答案】

2



【解析】∵()sin(

)cos

fxx

x=

++

sincoscos

sincos

x

xx=+

+

sincoscos

(sin1)

x

x=+

+

22cos(sin1)sin()x=+++，

则

22cos(sin1)4++=，22cossin2sin1+++12sin14=++=，∴sin1=，∴

2



=．

21．(2018•新课标Ⅱ，理15)已知sincos1+=，cossin0+=，则sin()+=．

【答案】

1

2

−

【解析】sincos1+=，两边平方可得：22sin2sincoscos1++=，①，

cossin0+=，两边平方可得：22cos2cossinsin0++=，②，由①

+

②得：

22(sincoscossin)1++=，即22sin()1++=，2sin()1+=−，

1

sin()

2

+=−

．

22．(2018•新课标Ⅱ，文15)已知

51

tan()

45



−=

，则tan=．

【答案】

3

2

【解析】

51

tan()

45



−=

，

1

tan()

45



−=

，则

1

1

tan()tan

1563

5

44

tantan()

1

445142

1tan()tan11

445













+

−+

+

=−+=====

−

−−−

．

23

．

(2017

新课标卷，文

14)

已知

π

(0)

2

a，

，

tanα=2

，则

π

cos()

4

−

=__________

．

【答案】

310

10

【解析】由tan2=得sin2cos=，又22sincos1+=，所以2

1

cos

5

=，因为(0,)

2



，所

以

525

cos,sin

55

==，因为cos()coscossinsin

444



−=+，所以

52252310

cos()

4525210



−=+=．

24．(2019北京9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是________．

【答案】

2



【解析】因为2

1cos411

sin2cos4

222

x

fxxx

−

===−（）（），所以fx（）的最小正周期

2ππ

42

T==．

25

．

(2019

江苏

13)

已知

tan2

π

3

tan

4





=−



+





，则

π

sin2

4





+





的值是

_________

．

【答案】

2

10

【解析】由

tan2

3

tan()

4





=−



+

，得

tan2

3

tantan

4

1tantan

4







=−



+



−

，

所以

tan(1tan)2

1tan3





−

=−

+

，解得tan2=或

1

tan

3

=−．

当tan2=时，

2

2tan4

sin2

1tan5







==

+

，

2

2

1tan3

cos2

1tan

5







−

==−

+

，

42322

sin(2)sin2coscos2sin

444525210





+=+=−=．

当

1

tan

3

=−时，

2

2tan3

sin2

1tan5







==−

+

，

2

2

1tan4

cos2

1tan5







−

==

+

，

所以

32422

sin(2)sin2coscos2sin

444525210





+=+=−+=．

综上，sin(2)

4





+的值是

2

10

．

26

．

(2017

北京

)

在平面直角坐标系

xOy

中，角

与角



均以Ox为始边，它们的终边关于

y

轴对称．若

1

sin

3

=

，则

cos()−

=___________

．

【答案】

7

9

−

【解析】∵角



与角



的终边关于

y

轴对称，所以

2k+=+

，所以

1

sinsin(2)sin

3

k=+−==

，

coscos=−

；

222cos()coscossinsincossin2sin1−=+=−+=−2

17

2()1

39

=−=−

．

27．(2017江苏)若

1

tan()

46



−=，则tan=．

【答案】

7

5

【解析】

tan()tan

7

44

tantan[()]

445

1tan()tan

44













−+

=−+==

−−

．

28．(2015四川)=+75sin15sin．

【答案】

6

2

【解析】．

29．(2015江苏)已知tan2=−，()

1

tan

7

+=，则tan的值为_______．

【答案】3

【解析】

1

2

tan()tan

7

tantan()3

2

1tan()tan

1

7







+

+−

=+−===

++

−

．

30．(2013四川)设sin2sin=−，(,)

2



，则tan2的值是_____．

【答案】3

【解析】sin22sincossin==−，则

1

cos

2

=−，又(,)

2



，

则tan3=−，

2

2tan23

tan23

1tan13







−

===

−−

．

6

sin15sin75sin15cos152sin(1545)

2

+=+=+=

31．(2012江苏)设为锐角，若

4

cos

65







+=





，则

sin2

12







+





的值为．

【答案】

50

217

【解析】因为为锐角，cos()

6



+=

4

5

，∴sin()

6



+=

3

5

，∴sin2(

,25

24

)

6

=+



cos2(

7

)

625



+=，

所以sin(

50

217

25

17

2

2

]

4

)

6

(2sin[)

12

2==−+=+







．

32．(2018江苏)已知,为锐角，

4

tan

3

=，

5

cos()

5

+=−．

(1)求cos2的值；

(2)求tan()−的值．

【解析】(1)因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

(2)因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

33．(2014江西)已知函数()()()++=xxaxf2coscos22

为奇函数，且0

4

=















f，其中()，，0Ra．

(1)求，a的值；

(2)若











−=





















，，

25

2

4

f，求











+

3

sin



的值．

【解析】

(1)

因为()()()22coscos2fxaxx=++

是奇函数，而2

1

2cosyax=+

为偶函数，所以

2

cos(2)yx=+

为奇函数，又

()0,，

得

2



=

．

4

tan

3

=

sin

tan

cos







=

4

sincos

3



=

22sincos1+=2

9

cos

25

=

2

7

cos22cos1

25

=−=−

,(0,π)+

5

cos()

5

+=−2

25

sin()1cos()

5

+=−+=

tan()2+=−

4

tan

3

=

2

2tan24

tan2

1tan7







==−

−

tan2tan()2

tan()tan[2()]

1+tan2tan()11







−+

−=−+==−

+

所以

()fx

=2sin22cosxax−+（）由

0

4

=















f

，得

(1)0a−+=

，即1.a=−

(2)

由

(1)

得：()

1

sin4,

2

fxx=−

因为

12

sin

425

f







=−=−





，得

4

sin,

5

=

又

2













，

，所以

3

cos,

5

=−

因此

sin

sincossincos

333







+=+=





4

33

.

10

−

34．(2013广东)已知函数．

(1)求的值；

(2)若，求．

【解析】(1)()2cos1.

3124

f



−==

(2)

33

cos,

52



=由于<θ<2π，所以2

94

sin1cos1

255

=−−=−−=−，

因此2cos

6612

f





−=−−







32421

2cos2coscos2sinsin22.

44452525







=−=+=−=−





()2cos,

12

fxxxR





=−





3

f









33

cos,,2

52







=





6

f







−



