三棱柱体积

全国名校高中数学优质说课稿汇编（附详解）

棱柱的体积

教学目标

（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方

法；

（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、

猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出

“体积相等”的辩证法的思想；

（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到

特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱

柱的体积公式，并会利用棱柱的体积公式解决实际问题；

（4）通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成

果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.

教学重点

祖暅原理和棱柱体积公式的推导.

教学难点

祖暅原理的含义.

教学过程

一、实际问题引入，说明研究棱柱体积的必要性：

引例：青藏铁路是西部大开发标志性工程，计划投资约262亿元，

铁路全长1142公里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程

最长的高原铁路．针对不同情况的多年冻土，有不同的解决办法与技

术．比如埋设热棒或通风管，就是在路堤中埋设直径30厘米左右的

金属或混凝土横向通风管，可以有效降低路基温度；也可以采用抛石

路基，即用碎块石填筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空

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气下移，同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极不稳定冻土

地段修建低架旱桥，工程效果有保证，但造价高．

假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫．已知路基的形状尺

寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？

2

4

1000

1

说明：在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建

道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积．因此

有必要研究几何体的体积计算．上例就是一个直四棱柱的体积计算问

题．

提出问题：棱柱的体积如何计算？

二、探究棱柱体积公式

1．从已知到未知，从特殊到一般：

首先想到已经学过的正方体、长方体的体积公式，然后探究一般棱柱

的体积公式．

（1）3Va

正方体

＝

（a－棱长）；

（2）V

长方体

abhSh（a－长，b－宽，h－高，S－底面积）

2．进一步考虑正方体、长方体的体积公式的来龙去脉：

（1）请学生谈谈对体积的理解，并小结：几何体占空间部分的大小

叫做它的体积．

（2）提问：体积是如何度量的？(类比长度的度量和面积的度量)

学生讨论后小结：

1）我们在度量长度时，有一个标准，比如说，1米，1厘米等；将一

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段线段用1厘米来截，看这个线段是1厘米的多少个倍数，就是这个

线段有多少厘米．5倍就是5厘米，1.5倍就是1.5厘米．

2）在度量面积时，也有一个标准，比如说1平方米即边长为1米的

正方形作为1个单位面积，去度量平面图形的面积．因此，我们容易

得到正方形的面积等于棱长的平方，长方形的面积等于底乘以高．因

为任意多边形都可以分割成若干个三角形，三角形可以补成平行四边

形，平行四边形可以割补成长方形，所以任意平面多边形的面积都可

以度量．（直边形）

3）在体积中，我们也要先选定一个单位，用来度量体积，然后求出

几何体是单位体积的多少倍，多少个倍数就是几何体的体积数值．通

常把棱长等于单位长度的正方体所占空间的大小作为一个体积单

位．只要直接把单位正方体尽可能地堆在所量的几何体内，来确定所

量几何体的体积的量数．因此我们容易得到正方体和长方体的体积公

式，但是不容易得到一般棱柱的体积公式．（可以先把一般棱柱分割

成三棱柱，三棱柱补成平行六面体，平行六面体割补成长方体）

4）如何找到长方体的体积和一般棱柱的体积之间的关系？

3．从平面到空间的类比猜想：（利用几何画板的动态演示）

（1）等底等高的长方形和平行四边形的面积有何关系？

（2）等底等高的三角形的面积有何关系？

（3）等底等高的梯形的面积有何关系？

结论：根据面积公式我们可以得到面积均相等．初中我们学过的面积

公式的推导是因为任意平面多边形（直边形）都可以用割补的方法转

化为长方形的面积得到．在利用几何画板动态演示的过程中，我们发

现，用平行于底边的任意直线截两个平面图形得到的截线长度总相

等．

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启发思考：这是否可以成为两个平面图形面积相等的条件呢？

继续探究：线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立

体是由无穷多个平面构成的．因此我们可以得到：夹在两条平行直线

之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所

得的两条截线长度相等，那么，这两个平面图形的面积相等．

猜想：类比到两个空间图形体积相等的条件有什么相似的结论呢？用

平行于底面的任意平面截两个空间图形得到的截面面积总相等，则这

两个空间图形的体积相等．

4．祖暅原理的引入——利用“小试验”验证以上猜想：

（1）取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以

改变其形状．

启发思考：

1)推斜以后体积变化了吗？（几何体所占空间的大小不变）

2)推斜前后的两个几何体（前为长方体，后为平行六面体）还有什

么共同之处？（高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改

变）

3)这种共同之处是不是就是两个几何体体积相等的条件呢？

（2）用一摞不同的书，推移成各种形状，继续探讨结论是否正确．（不

一定是棱柱）

（3）由学生总结归纳出祖暅原理的大致内容．

5．祖暅原理：“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”．

（1）内容解释：这里的“幂”是指水平截面的面积，“势”是指高．

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即体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，

若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相

等．

还可表达为：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行

．．

于这

两个平面的任意

．．

平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么

这两个几何体的体积相等．（我国古代数学家祖暅在实践的基础上，

明确肯定了这一点）

（2）由“面积都相等”推出“体积相等”，体会辩证法的思想．

（3）祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的相

关知识，中学阶段不能证明．它只能判定两个几何体是否等积，不能

用它具体求出某几何体的体积．要想完成求体积的任务，还必须已知

一个几何体的体积作为基础．

（4）几何画板动态演示任意一个平面截两个几何体所得截面的各种

位置．

6．利用祖暅原理推导棱柱体积公式：

（1）利用祖暅原理推导棱柱体积，需要构造一个几何体，此几何体

必须符合两个条件：①它的计算公式是已知的；②它符合祖暅原理的

条件，即该几何体与棱柱能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两

个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总

．

相等．

（2）方法：如果一个棱柱与一个长方体的高相同（都为h）且底面

面积相等（都为S），那么当我们用一个与底面平行的平面去截它们

时，可以证明截面的面积都等于各自底面的面积S，根据祖暅原理可

知，棱柱的体积与长方体的体积相等，即VSh

棱柱

＝，其中V

棱柱

表示棱柱

的体积，S表示棱柱底面的面积，h表示棱柱的高．

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7．介绍祖冲之父子及我国古代数学家和西方数学家对几何体体

积的研究：

中国古代数学，在魏晋南北朝达到新的高峰．这一时期的代表人

物是刘徽（公元263年左右）、祖冲之（429－500）和他的儿子祖暅．刘

徽为《九章算术》作注，祖冲之父子在此基础上撰写了《缀术》等著

作．祖冲之精确地计算圆周率，提出约率和密率，是世界数学史上的

重大成就．他们三人还先后研究并最终给出了球的体积公式．在这过

程中，他们利用了“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”的原

理，唐朝的李淳风在为《九章算术》作注时称求球体体积公式的方法

是“祖暅之开立园术”，祖暅之即祖暅，因此我国称之为祖暅原理．意

大利数学家卡瓦列里1635年提出了相同的原理，西方称之为卡瓦列

里原理，为微积分学创立作了准备．

8．祖暅原理的简单应用：

（1）底面积和高都相等的圆柱和长方体的体积相等吗？

（2）底面积和高都相等的斜六棱柱和三棱锥的体积相等吗？

三、巩固与应用

1．引例的解答：这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积问题．

3

1

24110003000

2

Vm．

2．例2．已知三棱柱ABCABC



的底面为直角三角形，两直角边AC

和BC的长分别为4cm和3cm，侧棱

AA

的长为10cm，求满足下列条件

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H

C'

B'

A'

C

B

A

0.1

0.10.3

0.3

0.3

0.3

0.3

24.8

的三棱柱的体积：

（1）侧棱

AA

垂直于底面；

（2）侧棱

AA

与底面所成的角为60．

解：（1）因为侧棱

AA





底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱

AA

的

长，而底面三角形ABC的面积2

1

6

2

SACBCcm，于是三棱柱的体

积

361060VShcm．

（2）如图所示，过

A

作平面ABC的垂线，垂足为

H

，

于是

AH

为三棱柱的高．因为侧棱

AA



与底面所成的角为60，所以

60AAH



,可计算得

sin6053AHAAcm





又由（1）可知底面三角形ABC的面积

26Scm，故三棱柱的体积

3653303VSAHcm





3．例3．一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：

米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土？（钢筋体积略

去不计，精确到0.01立方米）

解：将预制件看成由一个长方体挖去一个

底面为等腰梯形的直四棱柱．



1

0.61.10.50.30.30.54

2

S

底

（平方

米），

0.5424.813.39VSh

底

（立方米）．

答：略．

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说明：在实际问题中，可能需要将几何体割、补成棱柱，然后计算其

体积，本题意在提高学生这方面的能力．

四、课堂小结：

1．学生小结：

2．老师小结：

（1）本节课的主要内容有两个：一是棱柱体积公式的推导．所采用

的方法是利用祖暅原理，根据长方体的体积公式推导出棱柱的体积公

式．应用祖暅原理可以根据已知几何体的体积求未知几何体的体积，

这是一种求体积的办法，但要注意是否满足祖暅原理的条件．二是应

用棱柱体积公式解决实际问题．在具体问题中要结合直观图，认真分

析棱柱的底面积和高从而得到体积．

（2）本节课的数学思想方法主要体现在：由特殊棱柱——长方体的

体积推导一般棱柱的体积，再根据一般棱柱的体积公式去解决具体问

题中的特殊棱柱的体积，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的归纳

演绎的数学思想方法常常是学习数学概念的方法．从两个平面图形面

积相等的条件类比猜想到两个空间图形体积相等的条件，然后在实践

中理解论证，这种归纳、猜想、论证的数学思想方法经常用在发现数

学原理和规律的过程中．在祖暅原理的理解中，体会由“截线都相等”

推出“面积相等”，由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的

思想，实际上就是微积分的思想．

（3）若用割补的办法把一般棱柱转化为长方体也是可以的，但是由

于课堂时间有限，留给同学们课后研究．

教学设计说明

体积的计算在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认

识．本节课用一个需要利用棱柱体积公式才能解决的实际问题引入，

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说明研究棱柱体积公式的必要性．这个实例是学生熟知的青藏铁路的

冻土解决方案，具有很强的现实意义，

本节课的重点是棱柱体积公式的推导．首先启发学生思考体积是

如何度量的．从长度的度量、面积的度量都是必须先找一个度量单位，

类比得出体积的度量也是必须先找一个度量单位即单位正方体所占

空间的大小．然后得到正方体和长方体的体积公式，但是一般棱柱体

积的公式不容易得到．通过几何画板的动态演示，把平面上等底等高

的平行四边形面积相等、等底等高的三角形面积相等的本质揭示出

来，即若用平行于底边的任意直线截两个平面图形得到的截线长度总

相等，则两个平面图形面积相等．然后由学生从平面到空间类比猜想

得出祖暅原理的基本内容，并且利用实物道具的“小试验”验证猜

想．首先讨论推斜前后的两叠裁切相同的纸的体积是否相等，主要把

握整叠纸张的大小、顺序和厚度不变三个共同特点．在祖暅原理内容

的理解中，使学生体会从“面积都相等”得到“体积相等”的辩证法

的思想．然后，把“小试验”中的裁切相同的纸换成一摞不同的书，

让学生继续讨论这摞书经过推斜后是否体积相等，从棱柱到非棱柱，

进一步理解祖暅原理的含义．因为祖暅原理的发现是从实践中得来

的，因此设置一些从简单到复杂，从特殊到一般的“小试验”，让学

生观察试验、发现规律、总结规律．通过设置试验和启发引导，呈现

原理的发现过程．用几何画板动态演示“任意一个平面截两个几何体

所得截面的各种位置”，帮助学生理解祖暅原理中的“任意”和“总

相等”，有效地突破教学难点．最后说明祖暅原理实际上是一个定理，

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但证明它需要用到高等数学的相关知识，中学阶段不能证明．它只能

判定两个几何体是否体积相等，不能用它具体求出某几何体的体

积．要想完成求体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基

础．接下来，学生利用长方体的体积公式和祖暅原理很容易就可以推

导出棱柱体积公式．这个过程体现了从已知到未知、从特殊到一般的

学习数学概念的基本方法．最后，通过介绍祖冲之父子及我国古代数

学家和西方数学家对几何体体积的研究，揭示数学发展过程，体现数

学的人文精神，激发学生学习数学的热情．

巩固和应用中的例题的选取尽量体现在实际生活中的运用，以激

发学生学习的兴趣，增强数学的应用意识.