正切定理

欧阳地创编

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分别是正弦余弦正切余切正割

余割

时间：2021.03.04创作：欧阳地

角θ的所有三角函数

(见:函数图形曲线)

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线

OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）

有

正弦函数sinθ=y/r

余弦函数cosθ=x/r

正切函数tanθ=y/x

余切函数cotθ=x/y

正割函数cθ=r/x

余割函数cscθ=r/y

（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数versinθ=1-cosθ

余矢函数coversθ=1-sinθ

正弦（sin）:角α的对边比上斜边

余弦（cos）:角α的邻边比上斜边

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正切（tan）:角α的对边比上邻边

余切（cot）:角α的邻边比上对边

正割（c）:角α的斜边比上邻边

余割（csc）:角α的斜边比上对边

[编辑本段]

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2α＋cos^2α＝1

1＋tan^2α＝c^2α

1＋cot^2α＝csc^2α

·积的关系：

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×cα

cotα=cosα×cscα

cα=tanα×cscα

cscα=cα×cotα

·倒数关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·cα＝1

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商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝cα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/cα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

·[1]三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ

·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-

cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-

sinα·sinβ·cosγ

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tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-

tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-

tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+arc

tan(B/A))，其中

sint=B/(A²+B²)^(1/2)

cost=A/(A²+B²)^(1/2)

tant=B/A

Asinα-

Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，

tant=A/B

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²(α)-

sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-

4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)

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cos(3α)=4cos³(α)-

3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)

tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-

cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-

cosα)/sinα

·降幂公式

sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

cosα=[1-

tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

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cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos²α

1-cos2α=2sin²α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*

3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*

3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

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sin²(α)+sin²(α-

2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-

sinx]/2sinx

证明：

左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+

sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx（积

化和差）

=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

等式得证

sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-

cosx-1]/2sinx

证明:

左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-

2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

等式得证

三倍角公式推导

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sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-

a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

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=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-

2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

[编辑本段]

三角函数的诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的

值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

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设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角

函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角

函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

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利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角

函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的

关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

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sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

补充：6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法

（定名法则和定号法则）

f(β)→

f(β)＝

↘

β↓

sinβcosβtanβcotβcβcscβ

360k+αsinαcosαtanαcotαcαcscα

90°-αcosαsinαcotαtanαcscαcα

90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαcα

180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-cαcscα

180°+α-sinα-cosαtanαcotα-cα-cscα

270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-cα

270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-cα

360°-α-sinαcosα-tanα-cotαcα-cscα

﹣α-sinαcosα-tanα-cotαcα-cscα

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角

函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函

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数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，

奇变偶不变”

定号法则

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角

的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号

看象限”

比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所

以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α

是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所

以sin(90°+α)=cosα,cos(90°+α)＝-sinα这

个非常神奇，屡试不爽~

[编辑本段]

三角形与三角函数

1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的

正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．(其中

R为外接圆的半径)

2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两

边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+b

cosC

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3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于

其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积

的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bccosA

4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差

和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）

/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-

B)/2]/cot(C/2)

5、三角形中的恒等式：

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证明:

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-

tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n

∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

[编辑本段]

部分高等内容

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·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易

得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋

z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证

明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函

数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的

函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性

质，二者相映成趣。

:

角度a0°30°45°60°90°180°

01/2√2/2√3/210

1√3/2√2/21/20-1

0√3/31√3/0

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/√31√3/30/

（注：“√”为根号）

[编辑本段]

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-

a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中

c0,c1,c2,.....及a都是常数,这种级数称为幂级

数.

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-

a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

实用幂级数：

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...

(|x|<1)

sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-

1)!+...(-∞

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cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...

(-∞

arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5

+...(|x|<1)

arccosx=π-(x+1/2*x3/3+

1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)

sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-

1/(2k-1)!+...(-∞

coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-

1)k*x2k/(2k)!+...(-∞

arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-

...(|x|<1)

arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作

答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函

数值、三角函数不等式、面积等等。

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傅立叶级数(三角级数)

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)

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a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dx

an=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx

三角函数的数值符号

正弦第一，二象限为正，第三，四象限为负

余弦第一，四象限为正第二，三象限为负

正切第一，三象限为正第二，四象限为负

[编辑本段]

三角函数定义域和值域

sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕

tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

[编辑本段]

初等三角函数导数

y=sinx---y'=cosx

y=cosx---y'=-sinx

y=tanx---y'=1/(cosx)^2;=(cx)^2;

y=cotx---y'=-1/(sinx)^2=-(cscx)^2;

y=cx---y'=cxtanx

y=cscx---y'=-cscxcotx

y=arcsinx---y'=1/√1-x^2;

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y=arccosx---y'=-1/√1-x^2;

y=arctanx---y'=1/(1+x^2;)

y=arccotx---y'=-1/(1+x^2;)

[编辑本段]

反三角函数

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦

Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余

切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余

切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函

数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y

为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反

余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函

数y=arctanx的主值限在-π/2

y=arccotx的主值限在0

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满

足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函

数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首

先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是

f-1(x).

反三角函数主要是三个：

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y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-

π/2,π/2]，图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象

用兰色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-

π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-

π/2,π/2】

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将

这两个式子代如上式即可得

其他几个用类似方法可得。

时间：2021.03.04创作：欧阳地