1/24
考研数学公式(全)
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=c^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*cα
cotα=cosα*cscα
cα=tanα*cscα
cscα=cα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·cα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
2/24
·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tan
α)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
3/24
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
4/24
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
5/24
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算
[编辑本段]
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
6/24
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
7/24
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
部分高等内容
[编辑本段]
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
8/24
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…
＋z^n/n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有
很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
a0`30`45`60`90`
sina01/2√2/2√3/21
cosa1√3/2√2/21/20
tana0√3/31√3None
cotaNone√31√3/30
9/24
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
ax
x
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1
)(log
ln)(
csc)(csc
c)(c
csc)(
c)(
2
2
2
2
2
2
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)(arccos
1
1
)(arcsin
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
Caxx
ax
dx
Cshxchxdx
Cchxshxdx
C
a
a
dxa
Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdx
x
dx
Ctgxxdx
x
dx
x
x
)ln(
ln
csccsc
cc
csc
sin
c
cos
22
22
2
2
2
2
C
a
x
xa
dx
C
xa
xa
axa
dx
C
ax
ax
aax
dx
C
a
x
arctg
axa
dx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
arcsin
ln
2
1
ln
2
1
1
csclncsc
clnc
sinln
cosln
22
22
22
22
C
a
xa
xa
x
dxxa
Caxx
a
ax
x
dxax
Caxx
a
ax
x
dxax
I
n
n
xdxxdxI
n
nn
n
arcsin
22
ln
22
)ln(
22
1
cossin
2
2222
22
2
2222
22
2
2222
2
2
0
2
0
10/24
22
2
21
2
2
1
1
cos
1
2
sin
u
du
dx
x
tgu
u
u
x
u
u
x
， ， ，
一些初等函数：两个重要极限：
三角函数公式：
·诱导公式：
函
数
角A
sincostgctg
x
x
arthx
xxarchx
xxarshx
ee
ee
chx
shx
thx
ee
chx
ee
shx
xx
xx
xx
xx
1
1
ln
2
1
)1ln(
1ln(
:
2
:
2
:
2
2）
双曲正切
双曲余弦
双曲正弦
...594.2)
1
1(lim
1
sin
lim
0
e
x
x
x
x
x
x
11/24
-α-sinαcosα-tgα-ctgα
90°-αcosαsinαctgαtgα
90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα
180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα
180°+α-sinα-cosαtgαctgα
270°-α-cosα-sinαctgαtgα
270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα
360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα
360°+αsinαcosαtgαctgα
·和差角公式：·和差化积公式：
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
ctgctg
ctgctg
ctg
tgtg
tgtg
tg
1
)(
1
)(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
12/24
·倍角公式：
·半角公式：
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
2
cos1
2
cos
2
cos1
2
sin
ctgtg
·正弦定理：R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
·余弦定理：Cabbaccos2222
·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx
2
arccos
2
arcsin
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
)()()()2()1()(
0
)()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)(
nkknnnn
n
k
kknk
n
n
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvu
vuCuv
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当
柯西中值定理：
拉格朗日中值定理：
xx
F
f
aFbF
afbf
abfafbf
)(F
)(
)(
)()(
)()(
))(()()(
曲率：
2
3
3
3
31
3
3
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tg
tgtg
tg
2
2
2222
1
2
2
2
1
2
sincossin211cos22cos
cossin22sin
tg
tg
tg
ctg
ctg
ctg
13/24
.
1
;0
.
)1(
limM
sMM:.
,1
32
0
2
a
Ka
K
y
y
ds
d
s
K
MM
s
K
tgydxyds
s
的圆：半径为
直线：
点的曲率：
弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：
其中弧微分公式：
定积分的近似计算：
b
a
nnn
b
a
nn
b
a
n
yyyyyyyy
n
ab
xf
yyyy
n
ab
xf
yyy
n
ab
xf
)](4)(2)[(
3
)(
])(
2
1
[)(
)()(
1312420
110
110
抛物线法：
梯形法：
矩形法：
定积分应用相关公式：
b
a
b
a
dttf
ab
dxxf
ab
y
k
r
mm
kF
ApF
sFW
)(
1
)(
1
,
2
2
21
均方根：
函数的平均值：
为引力系数引力：
水压力：
功：
空间解析几何和向量代数：
14/24
。代表平行六面体的体积
为锐角时，向量的混合积：
例：线速度：
两向量之间的夹角：
是一个数量
轴的夹角。与是向量在轴上的投影：
点的距离：空间
,cos)(][
..sin,
cos
,,cos
PrPr)(Pr
,cosPr
)()()(2
222222
2121
2
12
2
12
2
1221
cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
rwvbac
bbb
aaa
kji
bac
bbbaaa
bababa
bababababa
ajajaaj
uABABABj
zzyyxxMMd
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
u
u
（马鞍面）双叶双曲面：
单叶双曲面：
、双曲面：
同号）（、抛物面：
、椭球面：
二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：
面的距离：平面外任意一点到该平
、截距世方程：
、一般方程：
，其中、点法式：
平面的方程：
1
1
3
,,
22
2
11
};,,{,
13
02
),,(},,,{0)()()(1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
0
0
0
000
222
000
0000000
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
qpz
q
y
p
x
c
z
b
y
a
x
ptzz
ntyy
mtxx
pnmst
p
zz
n
yy
m
xx
CBA
DCzByAx
d
c
z
b
y
a
x
DCzByAx
zyxMCBAnzzCyyBxxA
15/24
多元函数微分法及应用
z
y
z
x
y
x
y
x
y
x
yx
F
F
y
z
F
F
x
z
zyxF
dx
dy
F
F
yF
F
x
dx
yd
F
F
dx
dy
yxF
dy
y
v
dx
x
v
dvdy
y
u
dx
x
u
du
yxvvyxuu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
yxvyxufz
t
v
v
z
t
u
u
z
dt
dz
tvtufz
yyxfxyxfdzz
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
dudy
y
z
dx
x
z
dz
， ， 隐函数
＋， ， 隐函数
隐函数的求导公式：
时，，当
：多元复合函数的求导法
全微分的近似计算：
全微分：
0),,(
)()(0),(
),(),(
)],(),,([
)](),([
),(),(
2
2
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(
0),,,(
0),,,(
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
GG
FF
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
vuyxG
vuyxF
vu
vu
隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
16/24
),,(),,(),,(
3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,
0),,(
0),,(
0))(())(())((
)()()(
),,(
)(
)(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0
000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xx
zyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
、过此点的法线方程：
：、过此点的切平面方程
、过此点的法向量：
，则：上一点曲面
则切向量若空间曲线方程为：
处的法平面方程：在点
处的切线方程：在点空间曲线
方向导数与梯度：
上的投影。在是
单位向量。
方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是
的梯度：在一点函数
的转角。轴到方向为其中
的方向导数为：沿任一方向在一点函数
lyxf
l
f
ljieeyxf
l
f
j
y
f
i
x
f
yxfyxpyxfz
lx
y
f
x
f
l
f
lyxpyxfz
),(grad
sincos),(grad
),(grad),(),(
sincos),(),(
多元函数的极值及其求法：
不确定时
值时， 无极
为极小值
为极大值
时，
则：
，令：设
,0
0
),(,0
),(,0
0
),(,),(,),(0),(),(
2
2
00
00
2
BAC
BAC
yxA
yxA
BAC
CyxfByxfAyxfyxfyxf
yyxyxxyx
重积分及其应用：
17/24
D
z
D
y
D
x
zyx
D
y
D
x
D
D
y
D
x
D
DD
ayx
xdyx
faF
ayx
ydyx
fF
ayx
xdyx
fF
FFFFaaMzxoy
dyxxIydyxyIx
dyx
dyxy
M
M
y
dyx
dyxx
M
M
x
dxdy
y
z
x
z
Ayxfz
rdrdrrfdxdyyxf
2
3
222
2
3
222
2
3
222
22
D
2
2
)(
),(
)(
),(
)(
),(
},,{)0(),,0,0(
),(,),(
),(
),(
,
),(
),(
1),(
)sin,cos(),(
， ，
，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于
轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：
平面薄片的重心：
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标：
dvyxIdvzxIdvzyI
dvxMdvz
M
zdvy
M
ydvx
M
x
drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
zrrfzrF
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
zyx
r
)()()(
1
,
1
,
1
sin),,(sin),,(),,(
sinsin
cos
sinsin
cossin
),sin,cos(),,(
,),,(),,(,sin
cos
222222
2
00
),(
0
22
2
， ， 转动惯量：
， 其中 重心：
， 球面坐标：
其中：
柱面坐标：
曲线积分：
)(
)()()()](),([),(
),(,
)(
)(
),(
22
ty
tx
dtttttfdsyxf
t
ty
tx
LLyxf
L
特殊情况：
则： 的参数方程为：上连续，在设
长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧
18/24
。，通常设
的全微分，其中：才是二元函数时，＝在
：二元函数的全微分求积
注意方向相反！减去对此奇点的积分，
，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、
是一个单连通区域；、
无关的条件：平面上曲线积分与路径
的面积：时，得到，即：当
格林公式：格林公式：
的方向角。上积分起止点处切向量
分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关
，则：的参数方程为设
标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐
0),(),(),(
),(
·
)0,0(),(),(2
1
·
2
1
2,
)()(
)coscos(
)}()](),([)()](),([{),(),(
)(
)(
00
),(
),(
00
yxdyyxQdxyxPyxu
yxuQdyPdx
y
P
x
Q
y
P
x
Q
GyxQyxP
G
ydxxdydxdyAD
y
P
x
Q
xQyP
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
L
dsQPQdyPdx
dttttQtttPdyyxQdxyxP
ty
tx
L
yx
yx
DL
DLDL
LL
L
曲面积分：
dsRQPRdxdyQdzdxPdydz
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
dydzzyzyxPdydzzyxP
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf
zx
yz
xy
xy
D
D
D
D
yx
)coscoscos(
]),,(,[),,(
],),,([),,(
)],(,,[),,(
),,(),,(),,(
),(),(1)],(,,[),,(22
系：两类曲面积分之间的关
号。，取曲面的右侧时取正
号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：对坐标的曲面积分：
对面积的曲面积分：
高斯公式：
19/24
dsAdvA
dsRQPdsAdsnA
z
R
y
Q
x
P
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
n
n
div
)coscoscos(
...,0div,div
)coscoscos()(
成：因此，高斯公式又可写
，通量：
则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：
—通量与散度：—高斯公式的物理意义
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
dstARdzQdyPdxA
RQP
zyx
A
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
的环流量：沿有向闭曲线向量场
旋度：
， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无
上式左端又可写成：
kji
rot
coscoscos
)()()(
常数项级数：
是发散的调和级数：
等差数列：
等比数列：
n
nn
n
q
q
qqq
n
n
1
3
1
2
1
1
2
)1(
321
1
1
112
级数审敛法：
20/24
散。存在，则收敛；否则发
、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：
、比值审敛法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：
别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
suuus
U
U
u
lim;
3
1
1
1
lim
2
1
1
1
lim
1
21
1
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足
—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数
11
1
3214321
,
0lim
)0,(
nnn
n
n
nn
n
urrus
u
uu
uuuuuuuu
绝对收敛与条件收敛：
时收敛
１时发散ｐ
级数：
收敛； 级数：
收敛；发散，而调和级数：
为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果
收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果
为任意实数；，其中
1
1
1
)1(1
)1()1()2(
)1()2(
)2(
)1(
2
321
21
p
n
p
n
nn
uuuu
uuuu
p
n
n
nn
幂级数：
21/24
0
0
1
0
)3(lim
)3(
1
1
1
1
1
1
1
2
210
32
R
R
R
aa
a
a
R
Rx
Rx
Rx
R
xaxaxaa
x
x
x
xxxx
nn
n
n
n
n
n
n
时，
时，
时，
的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设
称为收敛半径。，其中
时不定
时发散
时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存
收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数
时，发散
时，收敛于
函数展开成幂级数：
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
f
x
f
xffxfx
Rxfxx
n
f
R
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(0
0lim)(,)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
)(
2
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
00
时即为麦克劳林公式：
充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：
函数展开成泰勒级数：
一些函数展开成幂级数：
)(
)!12(
)1(
!5!3
sin
)11(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
12
1
53
2
x
n
xxx
xx
xx
n
nmmm
x
mm
mxx
n
n
nm
欧拉公式：
2
sin
2
cos
sincos
ixix
ixix
ix
ee
x
ee
x
xixe 或
三角级数：
22/24
。上的积分＝
在任意两个不同项的乘积正交性：
。，，，其中，
0
],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1
cossin
)sincos(
2
)sin()(
00
1
0
1
0
nxnxxxxx
xtAbAaaAa
nxbnxa
a
tnAAtf
nnnnnn
n
nn
n
nn
傅立叶级数：
是偶函数 ，余弦级数：
是奇函数 ，正弦级数：
（相减）
（相加）
其中
，周期
nxa
a
xfnnxdxxfab
nxbxfnxdxxfba
nnxdxxfb
nnxdxxfa
nxbnxa
a
xf
nnn
nnn
n
n
n
nn
cos
2
)(2,1,0cos)(
2
0
sin)(3,2,1nsin)(
2
0
12
4
1
3
1
2
1
1
6
4
1
3
1
2
1
1
24
6
1
4
1
2
1
8
5
1
3
1
1
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
2)sincos(
2
)(
0
0
0
2
222
2
222
2
222
2
22
1
0
周期为l2的周期函数的傅立叶级数：
23/24
l
l
n
l
l
n
n
nn
ndx
l
xn
xf
l
b
ndx
l
xn
xf
l
a
l
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
2)sincos(
2
)(
1
0
其中
，周期
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。
，代替分离变量，积分后将，，，则设
的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方
称为隐式通解。 得：
的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程
或 一阶微分方程：
u
x
y
uu
du
x
dx
u
dx
du
u
dx
du
xu
dx
dy
x
y
u
x
y
yxyxf
dx
dy
CxFyGdxxfdyyg
dxxfdyyg
dyyxQdxyxPyxfy
)(
)(
),(),(
)()()()(
)()(
0),(),(),(
一阶线性微分方程：
)1,0()()(2
))((0)(
,0)(
)()(1
)()(
)(
nyxQyxP
dx
dy
eCdxexQyxQ
CeyxQ
xQyxP
dx
dy
n
dxxPdxxP
dxxP
，、贝努力方程：
时，为非齐次方程，当
为齐次方程，时当
、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。应该是该全微分方程的
，，其中：
分方程，即：中左端是某函数的全微如果
Cyxu
yxQ
y
u
yxP
x
u
dyyxQdxyxPyxdu
dyyxQdxyxP
),(
),(),(0),(),(),(
0),(),(
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次
，
0)(
0)(
)()()(
2
2
xf
xf
xfyxQ
dx
dy
xP
dx
yd
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
24/24
21
22
,)(2
,,(*)0)(1
,0(*)
rr
yyyrrqprr
qpqyypy
式的两个根、求出
的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：
求解步骤：
为常数；，其中
式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3
21
rr
的形式，
21
rr(*)式的通解
两个不相等实根)04(2qpxrxrececy21
21
两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(
21
一对共轭复根)04(2qp
2
4
2
2
21
pq
p
irir
，
，
)sincos(
21
xcxceyx
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数；型，
为常数，
]sin)(cos)([)(
)()(
,)(
xxPxxPexf
xPexf
qpxfqyypy
nl
x
m
x
本文发布于:2023-01-23 22:07:20，感谢您对本站的认可！
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