三集合容斥原理公式

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三集合容斥原理的新题型和解题技巧

纵观历年真题，我们可以发现，对于容斥原理类的题目，近年来在国家公务员行测中每年必考，已成为国

考题目中的“常青树”。随着考试难度的提升，两集合的容斥原理已慢慢淡出人们的视线，三集合容斥原

理类题目的发展却如日中天并且出题形式趋于稳定。但2010和2011这两年的国考里又出现了一种新的三

集合题目，这种题目的难度在容斥问题里面算是比较大的，也是最新的一种题型，这里我们重点来探讨一

番。以2010年的题目为例我们具体说明一下。

（国家2010一类—74）某高校对一些学生进行问卷，在接收调查的学生中，准备参加注册会计师考试的

有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24

人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人，问接受调查的学生共有多少

人？（）

A.120B.144C.177D.192

按照我们之前的解题思路，这个题目明显可以确定为三集合容斥问题，先把三集合容斥原理的公式摆上：

根据题目所给的条件令注会为A，

六级为B，计算机为C，设学生总数为x,代入上面公式为：x-15=63+89+47-A∩B-B∩C-C∩A+24,有的考

生认为A∩B+B∩C+C∩A就是题目所给的参加两种考试的46人，这种想法是错误的，像这种情况下公

式不管用了，我们就画一下图来看看，如右图所A∩B=a+24,B∩C=c+24,C∩A=b+24,A∩B+B∩C+

C∩A=a+b+c+72,这里a+b+c才是参加两种考试的人，也就是46，代入公式得x=120.

为什么很多考生在做这种题目的时候犯错误，主要是因为没有清楚地认识到集合中重叠部分所代表的含义，

那么这里咱们再看另外一种思考方式，如下图所示。

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图中三个圆圈代表三个集合A、B、C，方框代表全集P，Q代表既不属于A集合也不属于B集合还不属于

C集合的那部分集合，数字代表各个部分，这里我们将所有标着数字1的部分之和设为X，可以看出来X

代表三个集合中没有交集的部分之和，将所有标着数字2的部分之和设为Y，可以看出来Y代表三个集合

中两两相交的部分之和，将标着数字3的部分设为Z，可以看出来Z代表三个集合中三三相交的部分，由

图我们可以得出以下两个公式：

这里一定要明白第二个公式里乘以1乘以2乘以3代表的含义，X×1代表的是X这部分覆盖了一层，Y×2

代表Y这部分覆盖了两层，同理Z×3代表Z这部分覆盖了三层。

同样是上面这道国考真题，根据上面公式我们可以得出：

解得X=35，P=120.

同样一道题目两种解法都可以解决，但相比较而言，第一种方法更直观更容易理解，但第二种方法如果理

解透彻的话做起题来速度会非常快。但不管哪种方法都是建立在理解的基础上，相信这样就可以轻松解决

这种复杂的三集合容斥问题。这里祝愿大家公考顺利，顺利成“公”。