初中数学公开课教案

角的平分线的性质

课题

12.3角的平分线的性质（第二课时）

教科书第49——50页相关内容

教学

目标

1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.

2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．

重点角平分线性质定理的逆定理及应用.

难点灵活应用两个性质解决问题．

使用

多媒

体

多媒体课件

教学

过程

教师活动学生活动说明或

设计意

图

复

习

旧

知

，

导

入

新

课

1．角的平分线的性质定理是怎样叙述

的？

2．用数学语言怎样描述？

师作出草图帮助理解．

３．反过来，到一个角的两边的距离相等

的点是否一定在这个角的平分线上呢？

已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE⊥

OB，点D、E为垂足，PD＝PE．

求证：点P在∠AOB的平分线上．

这节课我们就来探究这个问题.

出示课题并板书课题.

1.集体回答：

角的平分线的性质定理：角的平分线

上的点到角的两边的距离相等。

２．看图说出数学语言：

∵OC平分∠AOB，点P在OC上，

且PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE

３．讨论，证明．

图（１）

1．如上右图（１），点P是否在∠AOB

的平分线上呢？

首先我们要作出辅助线，怎么做呢？

怎样证明呢？

教师巡视，引导证明．

1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．

证明:经过点P作射线OC.

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°.

在Rt△PDO和Rt△PEO中

PO＝PO，

PD=PE，

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）

P

合

作

探

究

，

解

决

问

题

通过证明，你得到什么结论？

这就是角的平分线的性质定理的逆定理，

也叫做角的平分线的判定定理．

这个定理用数学语言如何表示呢？

２．角的平分线的性质定理与判定定理有

什么区别呢？

出示课件加以说明．

老师点拨．

３．随堂练习．

填空：如右图（２）

(1)∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB

∴___________

(__________________________)

(２)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE

∴__________

(______________________________)

４．解决问题：（课本第49页思考题）

如下图（3），要在S区建一个贸易市场，

使它到铁路和公路距离相等，离公路与

铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在

何处？（比例尺为1︰20000）

图（3）

5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC

中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，

垂足分别是E，F，且BE＝CF。

∴∠POD＝∠POE，

∴点P在∠AOB的平分线上.

即：OC平分∠AOB

结论：角的内部到角的两边的距离相

等的点在角的平分线上。

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．

∴OP平分∠AOB．

即点P在∠AOB的平分线上.

２．通过老师的点拨，得出：它们的

题设与结论刚好相反，是一对互逆定

理，它们在应用上也不相同，角的平

分线的性质可用来证明线段相等；而

角的平分线的判定定理是用来判定角

的平分线．

３．看图回答问题．

图（２）

４．动手试一试，解决问题.

解：如下图（4），作夹角的角平分线

OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。

s

O

A

C

D

E

B

1

2

s

D

求证：AD是∠BAC的角平分线

分析：

AD是∠BAC的平分线

DE＝DF△BDE≌△CDF

学生如有困难，板书解题过程.

6.教学例题2.如下图（6），△ABC的角

平分线BM、CN相交于点P。求证：点P

到三边AB、BC、CA的距离相等.

图（6）

点拨：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，

PF⊥AC于F

想一想：点P也在∠A的平分线上吗？这

说明三角形的三条角平分线有什么关

系？

图（4）

图（5）

5.按照老师的分析写出解题步骤.（步

骤略）

6.根据老师的提示思考并尝试证明.

证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC

于E，PF⊥AC于F

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM

上（已知）

∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的

两边的距离相等）

同理PE=PF.

∴PD=PE=PF.

即点P到边AB、BC、CA的距离相等.

思考并回答：点P也在∠A的平分线

上，角形三条角平分线相交于一点．

1.练习.（课本P50页练习第2题.）

如右图（7），△ABC的∠B的外角平分线

BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求

证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的

距离相等

2.已知：如右图（8），BE⊥AC于E，CF

⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD.

1.同桌讨论并解题.

（解题步骤略）

A

B

C

E

F

D

A

B

C

P

C

课

堂

练

习

，

巩

固

提

升

求证：AD平分∠BAC.

图（9）

3、变式：

已知：如上图（9）,在△ABC中，BD＝CD,

∠1=∠2.

求证：AD平分∠BAC.

巡视，对有困难的学生给予帮助.

待学生做完后讲评.

图（7）

图（8）

2与3学生画出草图，自己解

题.个别学生上台板演.

课

堂

小

结

1．这节课你有什么收获和体会？

2．这节课我们学习了哪些知识要点？

３．怎样用数学语言表达角的平分线的判

定定理？

４．你还有哪些困惑？

释疑.

自主回答，畅所欲言.

提出疑问，当堂解决.

布

置作

业

1.课本第51页习题12.3第3、6、7题.

2.选用作业设计.

12.3角的平分线的性质（第二课时）

角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（如

A

B

C

F

E

D

A

B

C

D

E

F

1

2

P

A

O

B

C

E

D

1

2

AA

D

N

E

B

F

M

C

板

书

设

计

下图）

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．

∴OP平分∠AOB．

即点P在∠AOB的平分线上

∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）

例1：

例2：

练习讲评：

作

业

设

计

１．如下图，已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的

平分线上.

2、如下图，要在S区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个

广告牌P应建在何处？

第１题图第２题图

3、如图所示，BF与CE相交于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC

的角平分线上。

公路

公路

铁路

S

第３题图第４题图

4、已知PA=PB，∠1+∠2=1800，

求证：OP平分∠AOB

5、如下图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直

线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.

第5题图

教

学

反

思

15.2.2分式的加减

教学目标

┌

┌

E

A

B

D

C

F

A

O

B

P

1

2

E

F

C

B

A

E

D

O

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.

重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算.

2．难点：熟练地进行分式的混合运算.

3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按

从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减.有括号要按先小括号，再中括号，

最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果

要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的

前面.

教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺

序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、

分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节

课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.

三、例题讲解

（教科书）例7计算

[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合

运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要是最简分式.

（教科书）例8计算：

[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合

运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分

子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

四、随堂练习

计算：

(1)

x

x

xx

x

2

2

)

2

4

2

(

2









（2）)

11

()(

baab

b

ba

a









（3）)

2

1

2

2

()

4

12

2

3

(

2











aa

a

a

五、课后练习

1．计算：

(1))1)(1(

yx

x

yx

y









(2)

222

42

)

44

1

2

2

(

a

a

a

a

aa

a

aa

a

















(3)

zxyzxy

xy

zyx

)

111

(

2．计算

2

4

)

2

1

2

1

(

a

aa









，并求出当a-1的值.

六、答案：

四、（1）2x（2）

ba

ab



（3）3

五、1.(1)

22yx

xy



(2)

2

1

a

（3）

z

1

2.原式=

42

2





a

a

，当a-1时，原式=-

3

1

.

13.3.1等腰三角形

教学目标

（一）教学知识点

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

（二）能力训练要求

1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形

的特点．

2．探索并掌握等腰三角形的性质．

（三）情感与价值观要求

通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰

三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．

重点难点

重点：1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用．

难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学方法

探究归纳法．

教具准备

师：多媒体课件、投影仪；

生：硬纸、剪刀．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并

且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称

变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟

悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称

图形？

[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．

[师]那什么样的三角形是轴对称图形？

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一

条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．

[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角

形．

Ⅱ．导入新课

[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

A

B

I

C

A

B

I

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称

点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．

[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自

己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出

一个等腰三角形．

……

[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角

形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶

角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、

底边、顶角和底角．

[师]有了上述概念，同学们来想一想．

（演示课件）

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在

的直线呢？

[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直

线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三

角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的

两个底角有什么关系．

[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．

[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可

以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重

合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．

[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．

[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．

[生齐声]它们是同一条直线．

[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．

[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由

此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底

边上的中线，也是底边上的高．

[师]很好，大家看屏幕．

（演示课件）

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常

称作“三线合一”）．

[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，

得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就

动手来写出这些证明过程）．

（投影仪演示学生证明过程）

[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线

AD，因为

,

,

,

ABAC

BDCD

ADAD

















所以△BAD≌△CAD（SSS）．

所以∠B=∠C．

[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

,

,

,

ABAC

BADCAD

ADAD

















所以△BAD≌△CAD．

所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=

1

2

∠BDC=90°．

DC

A

B

DC

A

B

[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很

条理、很规范．下面我们来看大屏幕．

（演示课件）

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：△ABC各角的度数．

[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．

[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．

[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解

的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更

简捷．

（课件演示）

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本练习1、2、3．

练习

1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

(2)

120

36

(1)

答案：（1）72°（2）30°

2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC

上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

D

C

A

B

D

C

A

B

答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和

∠C的度数．

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

（二）阅读课本，然后小结．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰

三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴

是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应

用它们．

Ⅴ．课后作业

（一）习题13.3第1、3、4、8题．

（二）1．预习课本．

2．预习提纲：等腰三角形的判定．

Ⅵ．活动与探究

如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，

垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

E

D

C

A

B

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等

腰三角形的性质．

结果：

证明：延长CD交AB的延长线于P，如图，在△ADP和△ADC中，

12,

,

,

ADAD

ADPADC

















∴△ADP≌△ADC．

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP，

∴∠4=∠P．

∴∠4=∠ACD．

∴DE=EC．

同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

E

D

C

A

B

P

D

C

A

B

板书设计

一、设计方案作出一个等腰三角形

二、等腰三角形性质

1．等边对等角

2．三线合一

三、例题分析

四、随堂练习

五、课时小结

六、课后作业

备课资料

参考练习

1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）

A．某一条边上的高B．某一条边上的中线

C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线

2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）

A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°

答案：1．C2．C

3.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．求这个

等腰三角形的边长．

解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得

2（x+2）+x=16．解得x=4．

所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．

15.2.2分式的加减

教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.

重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算.

2．难点：熟练地进行分式的混合运算.

3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按

从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减.有括号要按先小括号，再中括号，

最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果

要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的

前面.

教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺

序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、

分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节

课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.

三、例题讲解

（教科书）例7计算

[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合

运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要是最简分式.

（教科书）例8计算：

[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合

运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分

子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

四、随堂练习

计算：

(1)

x

x

xx

x

2

2

)

2

4

2

(

2









（2）)

11

()(

baab

b

ba

a









（3）)

2

1

2

2

()

4

12

2

3

(

2











aa

a

a

五、课后练习

1．计算：

(1))1)(1(

yx

x

yx

y









(2)

222

42

)

44

1

2

2

(

a

a

a

a

aa

a

aa

a

















(3)

zxyzxy

xy

zyx

)

111

(

2．计算

2

4

)

2

1

2

1

(

a

aa









，并求出当a-1的值.

六、答案：

四、（1）2x（2）

ba

ab



（3）3

五、1.(1)

22yx

xy



(2)

2

1

a

（3）

z

1

2.原式=

42

2





a

a

，当a-1时，原式=-

3

1

.