2020
年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共
12
小题）
.
1
．若
z
＝
1+i
，则
|z2﹣
2z|
＝（）
A
．
0B
．
1C
．
D
．
2
2
．设集合
A
＝
{x|x2﹣
4
≤
0}
，
B
＝
{x|2x+a
≤
0}
，且
A
∩
B
＝
{x|
﹣
2
≤
x
≤
1}
，则
a
＝（）
A
．﹣
4B
．﹣
2C
．
2D
．
4
3
．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥
的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．已知
A
为抛物线
C
：
y2＝
2px
（
p
＞
0
）上一点，点
A
到
C
的焦点的距离为
12
，到
y
轴的
距离为
9
，则
p
＝（）
A
．
2B
．
3C
．
6D
．
9
5
．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
y
和温度
x
（单位：℃）的关系，在
20
个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（
x
i，
y
i）（
i
＝
1
，
2
，…，
20
）
得到下面的散点图：
由此散点图，在
10
℃至
40
℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
y
和温度
x
的回归方程类型的是（）
A
．
y
＝
a+bxB
．
y
＝
a+bx2C
．
y
＝
a+bexD
．
y
＝
a+blnx
6
．函数
f
（
x
）＝
x4﹣
2x3的图象在点（
1
，
f
（
1
））处的切线方程为（）
A
．
y
＝﹣
2x
﹣
1B
．
y
＝﹣
2x+1C
．
y
＝
2x
﹣
3D
．
y
＝
2x+1
7
．设函数
f
（
x
）＝
cos
（ω
x+
）在
[
﹣π，π
]
的图象大致如图，则
f
（
x
）的最小正周期为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．（
x+
）（
x+y
）5的展开式中
x3y3的系数为（）
A
．
5B
．
10C
．
15D
．
20
9
．已知α∈（
0
，π），且
3cos2
α﹣
8cos
α＝
5
，则
sin
α＝（）
A
．
B
．
C
．
D
．
10
．已知
A
，
B
，
C
为球
O
的球面上的三个点，⊙
O
1为△
ABC
的外接圆．若⊙
O
1的面积为
4
π，
AB
＝
BC
＝
AC
＝
OO
1，则球
O
的表面积为（）
A
．
64
π
B
．
48
π
C
．
36
π
D
．
32
π
11
．已知⊙
M
：
x2+y2﹣
2x
﹣
2y
﹣
2
＝
0
，直线
1
：
2x+y+2
＝
0
，
P
为
l
上的动点．过点
P
作⊙
M
的切线
PA
，
PB
，切点为
A
，
B
，当
|PM|
•
|AB|
最小时，直线
AB
的方程为（）
A
．
2x
﹣
y
﹣
1
＝
0B
．
2x+y
﹣
1
＝
0C
．
2x
﹣
y+1
＝
0D
．
2x+y+1
＝
0
12
．若
2a+log
2
a
＝
4b+2log
4
b
，则（）
A
．
a
＞
2bB
．
a
＜
2bC
．
a
＞
b2D
．
a
＜
b2
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
．若
x
，
y
满足约束条件则
z
＝
x+7y
的最大值为．
14
．设，为单位向量，且
|+|
＝
1
，则
|
﹣
|
＝．
15
．已知
F
为双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点，
A
为
C
的右顶点，
B
为
C
上的点，且
BF
垂直于
x
轴．若
AB
的斜率为
3
，则
C
的离心率为．
16
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
的平面展开图中，
AC
＝
1
，
AB
＝
AD
＝，
AB
⊥
AC
，
AB
⊥
AD
，
∠
CAE
＝
30
°，则
cos
∠
FCB
＝．
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17
～
21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60
分。
17
．设
{a
n
}
是公比不为
1
的等比数列，
a
1为
a
2，
a
3的等差中项．
（
1
）求
{a
n
}
的公比；
（
2
）若
a
1＝
l
，求数列
{na
n
}
的前
n
项和．
18
．如图，
D
为圆锥的顶点，
O
是圆锥底面的圆心，
AE
为底面直径，
AE
＝
AD
．△
ABC
是
底面的内接正三角形，
P
为
DO
上一点，
PO
＝
DO
．
（
1
）证明：
PA
⊥平面
PBC
；
（
2
）求二面角
B
﹣
PC
﹣
E
的余弦值．
19
．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者
与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩
余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（
1
）求甲连胜四场的概率；
（
2
）求需要进行第五场比赛的概率；
（
3
）求丙最终获胜的概率．
20
．已知
A
，
B
分别为椭圆
E
：
+y2＝
1
（
a
＞
1
）的左、右顶点，
G
为
E
的上顶点，•
＝
8
．
P
为直线
x
＝
6
上的动点，
PA
与
E
的另一交点为
C
，
PB
与
E
的另一交点为
D
．
（
1
）求
E
的方程；
（
2
）证明：直线
CD
过定点．
21
．已知函数
f
（
x
）＝
ex+ax2﹣
x
．
（
1
）当
a
＝
1
时，讨论
f
（
x
）的单调性；
（
2
）当
x
≥
0
时，
f
（
x
）≥
x3+1
，求
a
的取值范围．
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
22
．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1的参数方程为（
t
为参数）．以坐标原点
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
2的极坐标方程为
4
ρ
cos
θ﹣
16
ρ
sin
θ
+3
＝
0
．
（
1
）当
k
＝
1
时，
C
1是什么曲线？
（
2
）当
k
＝
4
时，求
C
1与
C
2的公共点的直角坐标．
[
选修
4-5
：不等式选讲
]
23
．已知函数
f
（
x
）＝
|3x+1|
﹣
2|x
﹣
1|
．
（
1
）画出
y
＝
f
（
x
）的图象；
（
2
）求不等式
f
（
x
）＞
f
（
x+1
）的解集．
参考答案
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1
．若
z
＝
1+i
，则
|z2﹣
2z|
＝（）
A
．
0B
．
1C
．
D
．
2
【分析】由复数的乘方和加减运算，化简
z2﹣
2z
，再由复数的模的定义，计算可得所求
值．
解：若
z
＝
1+i
，则
z2﹣
2z
＝（
1+i
）2﹣
2
（
1+i
）＝
2i
﹣
2
﹣
2i
＝﹣
2
，
则
|z2﹣
2z|
＝
|
﹣
2|
＝
2
，
故选：
D
．
2
．设集合
A
＝
{x|x2﹣
4
≤
0}
，
B
＝
{x|2x+a
≤
0}
，且
A
∩
B
＝
{x|
﹣
2
≤
x
≤
1}
，则
a
＝（）
A
．﹣
4B
．﹣
2C
．
2D
．
4
【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合
A
，
B
，再由交集的定义，可得
a
的方程，解方程可得
a
．
解：集合
A
＝
{x|x2﹣
4
≤
0}
＝
{x|
﹣
2
≤
x
≤
2}
，
B
＝
{x|2x+a
≤
0}
＝
{x|x
≤﹣
a}
，
由
A
∩
B
＝
{x|
﹣
2
≤
x
≤
1}
，可得﹣
a
＝
1
，
则
a
＝﹣
2
．
故选：
B
．
3
．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥
的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
解：设正四棱锥的高为
h
，底面边长为
a
，侧面三角形底边上的高为
h
′，
则依题意有：，
因此有
h
′2﹣（）2＝
ah
′⇒
4
（）2﹣
2
（）﹣
1
＝
0
⇒＝；（负值
舍）
故选：
C
．
4
．已知
A
为抛物线
C
：
y2＝
2px
（
p
＞
0
）上一点，点
A
到
C
的焦点的距离为
12
，到
y
轴的
距离为
9
，则
p
＝（）
A
．
2B
．
3C
．
6D
．
9
【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．
解：因为
A
为抛物线
C
：
y2＝
2px
（
p
＞
0
）上一点，点
A
到
C
的焦点的距离为
12
，到
y
轴的距离为
9
，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等；
故有：
9+
＝
12
⇒
p
＝
6
；
故选：
C
．
5
．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
y
和温度
x
（单位：℃）的关系，在
20
个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（
x
i，
y
i）（
i
＝
1
，
2
，…，
20
）
得到下面的散点图：
由此散点图，在
10
℃至
40
℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
y
和温度
x
的回归方程类型的是（）
A
．
y
＝
a+bxB
．
y
＝
a+bx2C
．
y
＝
a+bexD
．
y
＝
a+blnx
【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．
解：由散点图可知，在
10
℃至
40
℃之间，发芽率
y
和温度
x
所对应的点（
x
，
y
）在一段
对数函数的曲线附近，
结合选项可知，
y
＝
a+blnx
可作为发芽率
y
和温度
x
的回归方程类型．
故选：
D
．
6
．函数
f
（
x
）＝
x4﹣
2x3的图象在点（
1
，
f
（
1
））处的切线方程为（）
A
．
y
＝﹣
2x
﹣
1B
．
y
＝﹣
2x+1C
．
y
＝
2x
﹣
3D
．
y
＝
2x+1
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在
x
＝
1
处的导数，再求得
f
（
1
），然后利用直
线方程的点斜式求解．
解：由
f
（
x
）＝
x4﹣
2x3，得
f
′（
x
）＝
4x3﹣
6x
，
∴
f
′（
1
）＝
4
﹣
6
＝﹣
2
，
又
f
（
1
）＝
1
﹣
2
＝﹣
1
，
∴函数
f
（
x
）＝
x4﹣
2x3的图象在点（
1
，
f
（
1
））处的切线方程为
y
﹣（﹣
1
）＝﹣
2
（
x
﹣
1
），
即
y
＝﹣
2x+1
．
故选：
B
．
7
．设函数
f
（
x
）＝
cos
（ω
x+
）在
[
﹣π，π
]
的图象大致如图，则
f
（
x
）的最小正周期为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除
A
，
D
；再由
f
（﹣）
＝
0
，求得ω，对照选项
B
，
C
，代入计算，即可得到结论．
解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于
2
×（）＝，
排除
A
，
D
；
由图象可得
f
（﹣）＝
cos
（﹣ω
+
）＝
0
，
即为﹣ω
+
＝
k
π
+
，
k
∈
Z
，（
*
）
若选
B
，即有ω＝＝，由﹣×
+
＝
k
π
+
，可得
k
不为整数，排除
B
；
若选
C
，即有ω＝＝，由﹣×
+
＝
k
π
+
，可得
k
＝﹣
1
，成立．
故选：
C
．
8
．（
x+
）（
x+y
）5的展开式中
x3y3的系数为（）
A
．
5B
．
10C
．
15D
．
20
【分析】先把条件整理转化为求（
x2+y2）（
x+y
）5展开式中
x4y3的系数，再结合二项式
的展开式的特点即可求解．
解：因为（
x+
）（
x+y
）5＝；
要求展开式中
x3y3的系数即为求（
x2+y2）（
x+y
）5展开式中
x4y3的系数；
展开式含
x4y3的项为：
x2•
x2•
y3+y2•
x4•
y
＝
15x4y3；
故（
x+
）（
x+y
）5的展开式中
x3y3的系数为
15
；
故选：
C
．
9
．已知α∈（
0
，π），且
3cos2
α﹣
8cos
α＝
5
，则
sin
α＝（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于
cos
α的一元二次方程，求解后再
由同角三角函数基本关系式求得
sin
α的值．
解：由
3cos2
α﹣
8cos
α＝
5
，得
3
（
2cos2α﹣
1
）﹣
8cos
α﹣
5
＝
0
，
即
3cos2α﹣
4cos
α﹣
4
＝
0
，解得
cos
α＝
2
（舍去），或
cos
．
∵α∈（
0
，π），∴α∈（，π），
则
sin
α＝＝．
故选：
A
．
10
．已知
A
，
B
，
C
为球
O
的球面上的三个点，⊙
O
1为△
ABC
的外接圆．若⊙
O
1的面积为
4
π，
AB
＝
BC
＝
AC
＝
OO
1，则球
O
的表面积为（）
A
．
64
π
B
．
48
π
C
．
36
π
D
．
32
π
【分析】画出图形，利用已知条件求出
OO
1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．
解：由题意可知图形如图：⊙
O
1的面积为
4
π，可得
O
1
A
＝
2
，则
AO
1＝
ABsin60
°，，
∴
AB
＝
BC
＝
AC
＝
OO
1＝
2
，
外接球的半径为：
R
＝＝
4
，
球
O
的表面积：
4
×
42×π＝
64
π．
故选：
A
．
11
．已知⊙
M
：
x2+y2﹣
2x
﹣
2y
﹣
2
＝
0
，直线
1
：
2x+y+2
＝
0
，
P
为
l
上的动点．过点
P
作⊙
M
的切线
PA
，
PB
，切点为
A
，
B
，当
|PM|
•
|AB|
最小时，直线
AB
的方程为（）
A
．
2x
﹣
y
﹣
1
＝
0B
．
2x+y
﹣
1
＝
0C
．
2x
﹣
y+1
＝
0D
．
2x+y+1
＝
0
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得
|PM|
•
|AB|
＝，
说明要使
|PM|
•
|AB|
最小，则需
|PM|
最小，此时
PM
与直线
l
垂直．写出
PM
所在直线方
程，与直线
l
的方程联立，求得
P
点坐标，然后写出以
PM
为直径的圆的方程，再与圆
M
的方程联立可得
AB
所在直线方程．
解：化圆
M
为（
x
﹣
1
）2+
（
y
﹣
1
）2＝
4
，
圆心
M
（
1
，
1
），半径
r
＝
2
．
∵＝
2S
△
PAM＝
|PA|
•
|AM|
＝
2|PA|
＝．
∴要使
|PM|
•
|AB|
最小，则需
|PM|
最小，此时
PM
与直线
l
垂直．
直线
PM
的方程为
y
﹣
1
＝（
x
﹣
1
），即
y
＝，
联立，解得
P
（﹣
1
，
0
）．
则以
PM
为直径的圆的方程为．
联立，可得直线
AB
的方程为
2x+y+1
＝
0
．
故选：
D
．
12
．若
2a+log
2
a
＝
4b+2log
4
b
，则（）
A
．
a
＞
2bB
．
a
＜
2bC
．
a
＞
b2D
．
a
＜
b2
【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到
2a+log
2
a
＜
22
b+log
2
2b
；再借助于函数
的单调性即可求解结论．
解：因为
2a+log
2
a
＝
4b+2log
4
b
＝
22
b+log
2
b
；
因为
22
b+log
2
b
＜
22
b+log
2
2b
＝
22
b+log
2
b+1
即
2a+log
2
a
＜
22
b+log
2
2b
；
令
f
（
x
）＝
2x+log
2
x
，由指对数函数的单调性可得
f
（
x
）在（
0
，
+
∞）内单调递增；
且
f
（
a
）＜
f
（
2b
）⇒
a
＜
2b
；
故选：
B
．
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
．若
x
，
y
满足约束条件则
z
＝
x+7y
的最大值为
1
．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在
y
轴上的截距最大值即可．
解：
x
，
y
满足约束条件，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由，可得
A
（
1
，
0
）时，
目标函数
z
＝
x+7y
，可得
y
＝
x+
，
当直线
y
＝
x+
，过点
A
时，在
y
轴上截距最大，
此时
z
取得最大值：
1+7
×
0
＝
1
．
故答案为：
1
．
14
．设，为单位向量，且
|+|
＝
1
，则
|
﹣
|
＝．
【分析】直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可．
解：，为单位向量，且
|+|
＝
1
，
|+|2＝
1
，
可得，
1+2+1
＝
1
，
所以，
则
|
﹣
|
＝＝．
故答案为：．
15
．已知
F
为双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点，
A
为
C
的右顶点，
B
为
C
上的点，且
BF
垂直于
x
轴．若
AB
的斜率为
3
，则
C
的离心率为
2
．
【分析】利用已知条件求出
A
，
B
的坐标，通过
AB
的斜率为
3
，转化求解双曲线的离心
率即可．
解：
F
为双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点（
c
，
0
），
A
为
C
的右顶点
（
a
，
0
），
B
为
C
上的点，且
BF
垂直于
x
轴．所以
B
（
c
，），
若
AB
的斜率为
3
，可得：，
b2＝
c2﹣
a2，代入上式化简可得
c2＝
3ac
﹣
2a2，
e
＝，
可得
e2﹣
3e+2
＝
0
，
e
＞
1
，
解得
e
＝
2
．
故答案为：
2
．
16
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
的平面展开图中，
AC
＝
1
，
AB
＝
AD
＝，
AB
⊥
AC
，
AB
⊥
AD
，
∠
CAE
＝
30
°，则
cos
∠
FCB
＝﹣．
【分析】根据条件可知
D
、
E
、
F
三点重合，分别求得
BC
、
CF
、
BF
即可．
解：由已知得
BD
＝
AB
＝，
BC
＝
2
，
因为
D
、
E
、
F
三点重合，所以
AE
＝
AD
＝，
BF
＝
BD
＝
AB
＝，
则在△
ACE
中，由余弦定理可得
CE2＝
AC2+AE2﹣
2AC
•
AE
•
cos
∠
CAE
＝
1+3
﹣
2
×
＝
1
，
所以
CE
＝
CF
＝
1
，
则在△
BCD
中，由余弦定理得
cos
∠
FCB
＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17
～
21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60
分。
17
．设
{a
n
}
是公比不为
1
的等比数列，
a
1为
a
2，
a
3的等差中项．
（
1
）求
{a
n
}
的公比；
（
2
）若
a
1＝
l
，求数列
{na
n
}
的前
n
项和．
【分析】（
1
）设
{a
n
}
是公比
q
不为
1
的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列
的通项公式，解方程可得公比
q
；
（
2
）求得
a
n，
na
n，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化
简整理，可得所求和．
解：（
1
）设
{a
n
}
是公比
q
不为
1
的等比数列，
a
1为
a
2，
a
3的等差中项，可得
2a
1＝
a
2
+a
3，
即
2a
1＝
a
1
q+a
1
q2，
即为
q2+q
﹣
2
＝
0
，
解得
q
＝﹣
2
（
1
舍去）；
（
2
）若
a
1＝
l
，则
a
n＝（﹣
2
）n﹣1，
na
n＝
n
•（﹣
2
）n﹣1，
则数列
{na
n
}
的前
n
项和为
S
n＝
1
•
1+2
•（﹣
2
）
+3
•（﹣
2
）2+
…
+n
•（﹣
2
）n﹣1，
﹣
2S
n＝
1
•（﹣
2
）
+2
•（﹣
2
）2+3
•（﹣
2
）3+
…
+n
•（﹣
2
）n，
两式相减可得
3S
n＝
1+
（﹣
2
）
+
（﹣
2
）2+
（﹣
2
）3+
…
+
（﹣
2
）n﹣1﹣
n
•（﹣
2
）n
＝﹣
n
•（﹣
2
）n，
化简可得
S
n＝．
18
．如图，
D
为圆锥的顶点，
O
是圆锥底面的圆心，
AE
为底面直径，
AE
＝
AD
．△
ABC
是
底面的内接正三角形，
P
为
DO
上一点，
PO
＝
DO
．
（
1
）证明：
PA
⊥平面
PBC
；
（
2
）求二面角
B
﹣
PC
﹣
E
的余弦值．
【分析】（
1
）设圆
O
的半径为
1
，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到
PA
⊥
PC
，
PA
⊥
PB
，进而得证；
（
2
）建立空间直角坐标系，求出平面
PBC
及平面
PCE
的法向量，利用向量的夹角公式
即可得解．
解：（
1
）不妨设圆
O
的半径为
1
，
OA
＝
OB
＝
OC
＝
1
，
AE
＝
AD
＝
2
，，
，
，
在△
PAC
中，
PA2+PC2＝
AC2，故
PA
⊥
PC
，
同理可得
PA
⊥
PB
，又
PB
∩
PC
＝
P
，
故
PA
⊥平面
PBC
；
（
2
）建立如图所示的空间直角坐标系，则有
，
故，
设平面
PBC
的法向量为，则，可取
，
同理可求得平面
PCE
的法向量为，
故，即二面角
B
﹣
PC
﹣
E
的余弦值为．
19
．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者
与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩
余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（
1
）求甲连胜四场的概率；
（
2
）求需要进行第五场比赛的概率；
（
3
）求丙最终获胜的概率．
【分析】（
1
）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
（
2
）情景一：前
3
场各负一场：
P
1＝（）5＝；情景二：前
3
场比塞结束是乙被淘
汰，其中甲胜一场，最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜；前
3
场比塞结束是乙被淘
汰，其中甲胜三场，最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜；前
3
场比塞结束是甲被淘
汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜；前
3
场比塞结束是甲被淘
汰，其中乙胜三场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜，由此利用互斥事件概率加
法公式能求出需要进行第五场比赛的概率．
（
3
）前
3
场各负一场，
P
1＝（）5＝，前
3
场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜一场，
最后两场比赛结束，丙胜；前
3
场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜三场，最后两场比赛
结束，丙胜；前
3
场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜；
前
3
场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜；只打
4
场，前
3
场比赛结束时丙连续胜
2
场，其中甲或乙中有一人被淘汰，最终丙获胜的概率．由此利
用互斥事件概率加法公式能求出丙最终获胜的概率．
【解答】（
1
）甲连胜四场只能是前四场全胜，
P
＝（）4＝．
（
2
）情景一：前
3
场各负一场：
P
1＝（）5＝；
情景二：前
3
场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜一场，最后两场比赛结束，又分为甲胜
或丙胜，概率为
P
2＝
2
×（）5＝，
前
3
场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜三场，最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜，
概率为
P
3＝
2
×（）5＝，
前
3
场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜，
概率为
P
4＝
2
×（）5＝，
前
3
场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜三场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜，
概率为
P
5＝
2
×（）5＝，
∴需要进行第五场比赛的概率
P
＝＝．
（
3
）前
3
场各负一场，
P
1＝（）5＝，
前
3
场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜一场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为
P
6＝（）
5＝，
前
3
场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜三场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为
P
7＝（）
5＝，
前
3
场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为
P
8＝（）
5＝，
前
3
场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为
P
9＝（）
5＝，
只打
4
场，前
3
场比赛结束时丙连续胜
2
场，其中甲或乙中有一人被淘汰，最终丙获胜
的概率为：
P
10＝＝，
∴丙最终获胜的概率
P
＝＝．
20
．已知
A
，
B
分别为椭圆
E
：
+y2＝
1
（
a
＞
1
）的左、右顶点，
G
为
E
的上顶点，•
＝
8
．
P
为直线
x
＝
6
上的动点，
PA
与
E
的另一交点为
C
，
PB
与
E
的另一交点为
D
．
（
1
）求
E
的方程；
（
2
）证明：直线
CD
过定点．
【分析】（
1
）求出•＝
a2﹣
1
＝
8
，解出
a
，求出
E
的方程即可；
（
2
）联立直线和椭圆的方程求出
C
，
D
的坐标，求出直线
CD
的方程，判断即可．
解：如图示：
（
1
）由题意
A
（﹣
a
，
0
），
B
（
a
，
0
），
G
（
0
，
1
），
∴＝（
a
，
1
），＝（
a
，﹣
1
），•＝
a2﹣
1
＝
8
，解得：
a
＝
3
，
故椭圆
E
的方程是
+y2＝
1
；
（
2
）由（
1
）知
A
（﹣
3
，
0
），
B
（
3
，
0
），设
P
（
6
，
m
），
则直线
PA
的方程是
y
＝（
x+3
），
联立⇒（
9+m2）
x2+6m2x+9m2﹣
81
＝
0
，
由韦达定理﹣
3x
c＝⇒
x
c＝，
代入直线
PA
的方程为
y
＝（
x+3
）得：
y
c＝，即
C
（，），
直线
PB
的方程是
y
＝（
x
﹣
3
），
联立方程⇒（
1+m2）
x2﹣
6m2x+9m2﹣
9
＝
0
，
由韦达定理
3x
D＝⇒
x
D＝，
代入直线
PB
的方程为
y
＝（
x
﹣
3
）得
y
D＝，
即
D
（，），
∴直线
CD
的斜率
K
CD＝＝，
∴直线
CD
的方程是
y
﹣＝（
x
﹣），整理得：
y
＝（
x
﹣），
故直线
CD
过定点（，
0
）．
21
．已知函数
f
（
x
）＝
ex+ax2﹣
x
．
（
1
）当
a
＝
1
时，讨论
f
（
x
）的单调性；
（
2
）当
x
≥
0
时，
f
（
x
）≥
x3+1
，求
a
的取值范围．
【分析】（
1
）求得
a
＝
1
时，
f
（
x
）的解析式，两次对
x
求得导数，结合指数函数的值域
判断导数的符号，即可得到所求单调性；
（
2
）讨论
x
＝
0
，不等式恒成立；
x
＞
0
时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断
单调性和最值，进而得到所求范围．
解：（
1
）当
a
＝
1
时，
f
（
x
）＝
ex+x2﹣
x
，
f
′（
x
）＝
ex+2x
﹣
1
，设
g
（
x
）＝
f
′（
x
），
因为
g
′（
x
）＝
ex+2
＞
0
，可得
g
（
x
）在
R
上递增，即
f
′（
x
）在
R
上递增，
因为
f
′（
0
）＝
0
，所以当
x
＞
0
时，
f
′（
x
）＞
0
；当
x
＜
0
时，
f
′（
x
）＜
0
，
所以
f
（
x
）的增区间为（
0
，
+
∞），减区间为（﹣∞，
0
）；
（
2
）当
x
≥
0
时，
f
（
x
）≥
x3+1
恒成立，
①当
x
＝
0
时，不等式恒成立，可得
a
∈
R
；
②当
x
＞
0
时，可得
a
≥恒成立，
设
h
（
x
）＝，则
h
′（
x
）＝，
可设
m
（
x
）＝
ex﹣
x2﹣
x
﹣
1
，可得
m
′（
x
）＝
ex﹣
x
﹣
1
，
m
″（
x
）＝
ex﹣
1
，
由
x
≥
0
，可得
m
″（
x
）≥
0
恒成立，可得
m
′（
x
）在（
0
，
+
∞）递增，
所以
m
′（
x
）min＝
m
′（
0
）＝
0
，
即
m
′（
x
）≥
0
恒成立，即
m
（
x
）在（
0
，
+
∞）递增，所以
m
（
x
）min＝
m
（
0
）＝
0
，
再令
h
′（
x
）＝
0
，可得
x
＝
2
，当
0
＜
x
＜
2
时，
h
′（
x
）＞
0
，
h
（
x
）在（
0
，
2
）递增；
x
＞
2
时，
h
′（
x
）＜
0
，
h
（
x
）在（
2
，
+
∞）递减，所以
h
（
x
）max＝
h
（
2
）＝，
所以
a
≥，
综上可得
a
的取值范围是
[
，
+
∞）．
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
22
．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1的参数方程为（
t
为参数）．以坐标原点
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
2的极坐标方程为
4
ρ
cos
θ﹣
16
ρ
sin
θ
+3
＝
0
．
（
1
）当
k
＝
1
时，
C
1是什么曲线？
（
2
）当
k
＝
4
时，求
C
1与
C
2的公共点的直角坐标．
【分析】（
1
）当
k
＝
1
时，曲线
C
1的参数方程为，（
t
为参数），利用平方关
系消去参数
t
，可得
x2+y2＝
1
，故
C
1是以原点为圆心，以
1
为半径的圆；
（
2
）当
k
＝
4
时，曲线
C
1的参数方程为，（
t
为参数），消去参数
t
，可得（
x
﹣
y
）2﹣
2
（
x+y
）
+1
＝
0
（
0
≤
x
≤
1
，
0
≤
y
≤
1
）．由
4
ρ
cos
θ﹣
16
ρ
sin
θ
+3
＝
0
，结合极坐标
与直角坐标的互化公式可得
4x
﹣
16y+3
＝
0
．联立方程组即可求得
C
1与
C
2的公共点的直
角坐标为（）．
解：（
1
）当
k
＝
1
时，曲线
C
1的参数方程为，（
t
为参数），
消去参数
t
，可得
x2+y2＝
1
，
故
C
1是以原点为圆心，以
1
为半径的圆；
（
2
）当
k
＝
4
时，曲线
C
1的参数方程为，（
t
为参数），
两式作差可得
x
﹣
y
＝
cos4t
﹣
sin4t
＝
cos2t
﹣
sin2t
＝
2cos2t
﹣
1
，
∴，得，
整理得：（
x
﹣
y
）2﹣
2
（
x+y
）
+1
＝
0
（
0
≤
x
≤
1
，
0
≤
y
≤
1
）．
由
4
ρ
cos
θ﹣
16
ρ
sin
θ
+3
＝
0
，又
x
＝ρ
cos
θ，
y
＝ρ
sin
θ，
∴
4x
﹣
16y+3
＝
0
．
联立，解得（舍），或．
∴
C
1与
C
2的公共点的直角坐标为（）．
[
选修
4-5
：不等式选讲
]
23
．已知函数
f
（
x
）＝
|3x+1|
﹣
2|x
﹣
1|
．
（
1
）画出
y
＝
f
（
x
）的图象；
（
2
）求不等式
f
（
x
）＞
f
（
x+1
）的解集．
【分析】（
1
）将函数零点分段，即可作出图象；
（
2
）由于
f
（
x+1
）是函数
f
（
x
）向左平移了一个
1
单位，作出图象可得答案；
解：函数
f
（
x
）＝
|3x+1|
﹣
2|x
﹣
1|
＝，
图象如图所示
（
2
）由于
f
（
x+1
）的图象是函数
f
（
x
）的图象向左平移了一个
1
单位所得，（如图所示）
直线
y
＝
5x
﹣
1
向左平移一个单位后表示为
y
＝
5
（
x+1
）﹣
1
＝
5x+4
，
联立，解得横坐标为
x
＝，
∴不等式
f
（
x
）＞
f
（
x+1
）的解集为
{x|x}
．
本文发布于:2023-01-23 17:30:29，感谢您对本站的认可！
本文链接：http://www.wtabcd.cn/fanwen/fan/88/121893.html
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。
| 留言与评论（共有 0 条评论） |
