有理数的乘方教案

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有理数的乘方教学设计与反思

学情分析：

从知识基础来看，学生已经有了两个方面良好的基础，一是小学学过如何求一个正数的

平方与立方，使学生能很好的理解乘方的意义和记法，实现知识的迁移；二是学生刚学完有

理数的乘法，具备良好的运算基础，对于准确理解有理数乘方的符号法则具有很重要的作用。

从思维能力方面来看，七年级学生年龄小，抽象思维不强，思维方式主要以直观形象思维为

主，对直观事物比较感兴趣，因此充分运用多媒体进行演示，一方面增强学生学习的趣味性，

吸引学生的注意力；另一方面激发学生学习的热情，提高课堂教学效率。

教学目标

1、知识目标：在现实背景中理解有理数乘方的意义，能进行有理数乘方的运算；

2、能力目标：培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的合作探索

精神；

3、情感态度：通过实验感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长的很快，渗透分类

讨论思想。

重点：有理数乘方的运算

难点：有理数乘方运算的符号法则

教学准备：0.1毫米厚的纸4－5张、刻度尺等

教学设计

一、创设情境、提出问题

提出一个问题：一张大约0.1毫米厚的纸，对折20次后，想象一下有多厚？每层楼约

为3米高，这个厚度有多少层楼高？（学生动手动脑开始活动）

待学生讨论后，指出结果有约105米厚，有35层楼那么高。调动起生的兴趣，并引入

本节内容。

在小学我们已经学习过a·a，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；a·a·a作a3，

读作a的立方(或a的三次方)；那么，a·a·a·a可以记作什么?读作什么?a·a·a·a·a

呢?a·a·a……a(共有n个a,n是正整数)呢?

在小学对于字母a我们只能取正数,进入中学后，我们学习了有理数，那么a还可以取

哪些数呢?请举例说明。

二、分析探索、问题解决

1、知识要点归纳：

1）、求n个相同因数的积的运算叫做乘方。

2）、乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

一般地，在an中，a取任意有理数，n取正整数，以后我们还要学习a取非有理数，n取非

正整数的情况。

应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果，当an看作a的n次方的结果时，

也可以读作a的n次幂。

3）、我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个a相乘，

所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。

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2、你会计算下面的题目吗？不妨试一试

(1)2，











2

1

2，











3

2

3，24；

(2)-2，













2

1

2，













3

2

3，(-2)4；

(3)0，02，03，04

教师指出：2就是21，指数1通常不写。然后让三个学生在黑板上计算。

议一议

引导学生观察、比较、分析这三组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系?（从底

数的正负性和指数的奇偶性分析）

(1)横向观察

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零。

(2)纵向观察

互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。

(3)任何一个数的偶次幂都是非负数。

三、.知识理顺、得出结论

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?（生讨论后，师归纳如下）

当a＞0时，an＞0(n是正整数)；

当a<0，n为偶数（奇数）时,幂的结果为正数（负数）；

当a=0时，an=0(n是正整数)。

(以上为有理数乘方运算的符号法则)

四、应用反思、拓展创新

a2n=(-a)2n(n是正整数)；

12na=-(-a)2n-1(n是正整数)；

a2n≥0(a是有理数，n是正整数)。

你能再算一下以下各题吗？

(1)(-3)2，(-3)3，［-(-3)］5；

(2)-32，-33，-(-3)5；

(3)

2

3

2













，.

3

22

学生做完后小组互相对答案。教师引导学生观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，

让学生自己体会到，(-a)n的底数是-a，表示n个(-a)相乘，-an是an的相反数，这是(-a)n

与-an的区别。

教师引导学生横向观察第(3)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方

时要加括号，不然就是另一种运算了。

练一练（师注意巡视，发现问题，及时解决）

(1)

2

2

5













，

2

2

5













，

2

2

5













，-

2

2

5













，

2

2

5

；

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(2)(-1)2001，3×22，-42×(-4)2，-23÷(-2)3；

(3)(-1)n-1

五、小结回顾、纳入体系

学生回忆，做出小结，个人发表自己的解题高招。

1.乘方的意义2、乘方的运算3、括号的作用

通过本节课的学习，结合自己的做题体会，说一说这节课中自己容易出现的问题是什

么？

六、布置作业

必作题：P63习题1、2、4

选作题：

1、当a=-3，b=-5，c=4时，求下列各代数式的值：

(1)(a+b)2；(2)a2-b2+c2；(3)(-a+b-c)2；(4)a2+2ab+b2

2、平方得9的数有几个?是什么?有没有平方得-9的有理数?一个数的平方可能是负数

吗？为什么?

3、若(a+1)2+|b-2|=0，求a2000·b3的值。

教学反思:

本节课的教学设计采用“学导式”的教学模式。整个教学过程从思考问题到问题解决,

学生自主学习贯穿始终,中间围绕“自学-交流、更正-点拨、归纳”三个环节组织教学,注重

培养学生观察、思考、交流归纳的能力。

在这节课的教学过程中，学生的思维始终保持着高度的活跃，并且情绪饱满、讨论热烈、

每个同学都在欢快地学习数学。他们在欢乐的气氛中学会了乘方运算，并通过自己的思考和

与同学的讨论，归纳出了有关负数的幂的法则，学会了利用乘方的计算方法解决实际问题.

数学教学的重要目的是发展智力，提高能力，而发展智力、提高能力的核心是发展学生

的思维能力。教学中，既要注重逻辑推理能力的培养，又重注重观察、归纳等合情推理能力

的培养，因此，根据教学内容和学生的认知水平，因此把培养学生的观察、归纳等能力列入

了教学目标。在引入新内容时，要尽可能使学生的学习方式与原有的知识体系进行类比，不

断进行推广.a2是由计算正方形面积得到的，a3是由计算正方体的体积得到的，而a4，a5，…，

an是学生通过类推得到的。把学生做巩固性练习和总结运算规律放在一起进行，其效果就远

远超出了巩固性练习的本意。

学生必须通过自己的探索才能学会数学和会学数学，与其说学习数学，不如说体验数学、

做数学。始终给学生以创造发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替学

生思考，把重点放在教学情境的设计上，例如，通过实际计算，让学生自己体会到负数与分

数的乘方要加括号。

有理数的乘方中反映出来的数学思想主要是分类讨论思想，本节中，精心设计了三组计

算题，引导学生从底数大于零、等于零、小于零分析、归纳、概括出有理数乘方的符号法则，

使学生在潜移默化中形成分类讨论思想，符号语言的使用，优化了表示分类讨论思想的形式，

尤其是负数的奇次幂和偶次幂是大分类中的小分类，用符号语言就更加明显，在练习中让学

生完成问题(-1)n-1，进一步巩固了分类讨论思想，使这种思想得以落实。