初二数学期末试卷

初二上册期末数学试卷含答案

一、选择题

1

．我国信息技术飞速发展，下列标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

（）

A

．

B

．

C

．

D

．

2

．

2020

年

6

月

23

日上午

9

时

43

分，北斗三号系统第

30

颗卫星，同时也是整个北斗系统

的第

55

颗卫星成功发射，北斗三号全球卫星导航系统星座部署全面完成．其中支持北斗三

号新信号的

22

纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．

1

纳米＝

0.000000001

米，将

22

纳米用科学记数法表示为（）

A

．82.210

米

B

．70.2210

米

C

．82.210

米

D

．92210

米

3

．下列计算正确的是（）

A

．2

222abab

B

．6212aaa

C

．2

22439xyxy

D

．725()()mmm

4

．要使分式

1

2x

有意义，则

x

的取值应满足（）

A

．

0xB

．2xC

．

2xD

．2x

5

．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A

．2222(1)1xxxB

．221226xyxy

C

．22(1)21xxxD

．22()()xyxyxy

6

．根据分式的基本性质，分式

a

ab





可变形为（）

A

．

a

ab

B

．

a

ba

C

．

a

ab

D

．

a

ab

7

．如图，已知∠

ABD

＝∠

CBD

，添加以下条件，不一定能判定△

ABD

≌△

CBD

的是

()

A

．∠

A

＝∠

C

B

．

AB

＝

CB

C

．∠

BDA

＝∠

BDC

D

．

AD

＝

CD

8．如果关于

x

的分式方程

13

555

mxmx

xxx







的解为整数，且关于

y

的不等式组

695

22

42()

y

y

yym

















无解，则符合条件的所有负整数

m

的和为（）

A

．﹣

12B

．﹣

3C

．﹣

7D

．﹣

2

9

．如图，在边长分别为

a

，

b

的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（

a

-

b

）的正方

形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（）

A

．2()aabaabB

．22()()ababab

C

．222()2abaabbD

．222()2abaabb

10

．如图，线段

10AB

，

45AB

，

42ACBD

.

点E，F为线段

AB

上两点

.

从

下面

4

个条件中：①5CEDF；②

AFBE

；③7CEDF；④

CEBDFA.

选择一

个条件，使得

ACE

一定和

BDF

全等

.

则所有满足条件的序号是（）

A

．①④

B

．②③

C

．①②④

D

．②③④

二、填空题

11

．当

x

＝

___

时，分式

3

31

x

x





的值为

0

．

12

．已知点3Aa，

和点4Bb，

关于

x

轴对称，则

ab______

．

13

．若

3

yx

xy



，则

2

2

()

()

xyxy

xyxy







______

．

14

．已知36,32ab，则

3ab

_________

．

15

．如图，在

RtABC△

中．ACBC，若

5AC

，

12BC

，

13AB

，将

RtABC△

折

叠，使得点

C

恰好落在

AB

边上的点

E

处，折痕为

AD

，点

P

为

AD

上一动点，则

PEB△

的

周长最小值为

___

．

16

．如果2211xmx

是完全平方式，则

m

______

．

17

．若一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，则这个多边形的内角和是

_____

度．

18．如图，已知线段

18AB

米，

MAAB

于点A，

6MA

米，射线BDAB于B，P点从

B点向A运动，每秒

1

米，

Q

点从B点向D运动，每秒

2

米，P、

Q

同时从B出发，则出

发

x

秒后，在线段MA上有一点

C

，使

CAP

与

PBQ△

全等，则

x

的值为

_______________

．

三、解答题

19

．因式分解：

(1)339xyxy

(2)322484xxyxy

20

．先化简，再求值：

2

11

1

244

x

xxx













，选择一个你喜欢的数代入求值．

21

．如图，

AC

平分∠

BAD

，

AB

＝

AD

．求证：

BC

＝

DC

．

22

．某校八年级数学兴趣小组对

“

三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关

系

”

进行了探究．

(1)

如图

1

，在△

ABC

中，∠

ABC

与∠

ACB

的平分线交于点

P

，若∠

A

＝

66°

，则∠

BPC

＝

°

；

(2)

如图

2

，△

ABC

的内角∠

ACB

的平分线与△

ABC

的外角∠

ABD

的平分线交于点

E

．其中

∠

A

＝

α

，则∠

BEC

＝（用

α

表示∠

BEC

）；

(3)

如图

3

，

BQ

平分外角∠

CBM

，

CQ

平分外角∠

BCN

．试确定∠

BQC

与∠

A

的数量关系，

并说明理由．

23

．为进一步落实

“

德、智、体、美、劳

”

五有并举工作，某中学以体有为突破口，准备从

体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校开展球类活动，已知篮球的单价比

足球单价的

2

倍少

30

元，用

1200

元购买足球的数量是用

900

元购买篮球数量的

2

倍．

(1)

足球和篮球的单价各是多少元？

(2)

根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共

200

个，总费用不超过

15600

元，学校

最多可以购买多少个篮球？

24．问题情景：分解下列因式，将结果直接写在横线上：

221xx

___

；

293025xx

___

；

242436xx

___

．

探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：

22411；

2304925

；

2244436

归纳猜想：若多项式2(0)axbxca

是完全平方式，则系数

a

，

b

，

c

存在某种关系，请

你猜想并用式子表示出

a

，

b

，

c

之间的关系．

验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并验证你猜想的结论．

解决问题：若多项式2228(7)mxmxm

是一个完全平方式，利用你猜想的结论

求出

m

的值．

25

．如图，已知

CD

是线段

AB

的垂直平分线，垂足为

D

，

C

在

D

点上方，∠

BAC=30°

，

P

是

直线

CD

上一动点，

E

是射线

AC

上除

A

点外的一点，

PB=PE

，连

BE

．

（

1

）如图

1

，若点

P

与点

C

重合，求∠

ABE

的度数；

（

2

）如图

2

，若

P

在

C

点上方，求证：

PD+

1

2

AC=CE

；

（

3

）若

AC=6

，

CE=2

，则

PD

的值为（直接写出结果）．

26

．阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于﹣

1

，记为

i2＝﹣

1

，这个数

i

叫做虚数单位，把形如

a+bi

（

a

，

b

为实数）的数叫做复数，其中

a

叫这个复数的实部，

b

叫做这个复数的虚部，它的

加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．

例如：计算：（

2

﹣

i

）

+

（

5+3i

）＝（

2+5

）

+

（﹣

1+3

）

i

＝

7+2i

；

（

1+i

）

×

（

2

﹣

i

）＝

1×2

﹣

i+2×i

﹣

i2＝

2+

（﹣

1+2

）

i+1

＝

3+i

；

根据以上信息，完成下列问题：

（

1

）填空：

i3＝，

i4＝，

i+i2+i3+…+i2021＝；

（

2

）计算：（

1+i

）

×

（

3

﹣

4i

）﹣（﹣

2+3i

）（﹣

2

﹣

3i

）；

（

3

）已知

a+bi

＝

25

43i

（

a

，

b

为实数），求2222(24)xaxb

的最小值．

【参考答案】

一、选择题

2

．

A

解析：

A

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【详解】解：

A

．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

B

．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C

．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D

．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：

A

．

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转

180

度后与自身重

合．

3

．

C

解析：

C

【分析】科学记数法的表示形式为

a

×10

n

的形式，其中

1≤|

a

|

＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值

时，要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相

同．当原数绝对值

≥10

时，

n

是正整数；当原数的绝对值＜

1

时，

n

是负整数．

【详解】解：

22

纳米＝

22×0.000000001

米＝

2.2×10−8米．

故选：

C

．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a

×10

n

的形式，其中

1≤|

a

|

＜

10

，

n

为整数，表示时关键要正确确定

a

的值以及

n

的值．

4

．

C

解析：

C

【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：

A.2

242abab

，故该选项不正确，不符合题意；

B.628aaa

，故该选项不正确，不符合题意；

C.2

22439xyxy

故该选项正确，符合题意；

D.725()()mmm，故该选项不正确，不符合题意；

故选

C

【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，掌握积的乘方，幂的乘

方，同底数幂的乘除法运算法则是解题的关键．

5

．

B

解析：

B

【分析】利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案．

【详解】解：要使分式

1

2x

有意义，则

x

+2≠0

，

解得：

x

≠-2

．

故选：

B

．

【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．

6

．

D

解析：

D

【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．

【详解】解：

A.

从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.

从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C.

从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

D

从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．

故答案为

D

．

【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，正确应用分解因式的定义成为解答本题的关

键．

7

．

B

解析：

B

【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个

非

0

的数或式子，分式的值不变．

【详解】解：

aa

abba







．

故选

B

．

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基

础题型．

8

．

D

解析：

D

【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．

【详解】解：∵∠

ABD

=

∠

CBD

，

BD

=

BD

，

∴当添加∠

A

=

∠

C

时，可根据

“

AAS

”

判断△

ABD

≌△

CBD

；

当添加∠

BDA

=

∠

BDC

时，可根据

“

ASA

”

判断△

ABD

≌△

CBD

；

当添加

AB

=

CB

时，可根据

“

SAS

”

判断△

ABD

≌△

CBD

；

当添加

AD

=

CD

时，不能判断△

ABD

≌△

CBD

；

故选：

D

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

9

．

B

解析：

B

【分析】根据分式方程的解为整数确定出

m

的范围，再由不等式组无解确定出满足条件所

有负整数

m

的和即可．

【详解】解：分式方程去分母得：

mx

=

m

-1-3

x

，

解得：

x

=

1

3

m

m





（

m

≠-3

），

不等式组整理得：

7

<

2

24

y

ym















，

由不等式组无解得到

2

m

+4≥

7

2



，

解得：

m

≥

15

4



，即负整数

m

=-3

，

-2

，

-1

，

∵

1

3

m

m





为整数，得到

m

=-1

，

-2

，之和为

-3

，

故选：

B

．

【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则

是解本题的关键．

10

．

D

解析：

D

【分析】从整体直接列式和从部分和差计算列式表示出所剪去的正方形的面积，可得到此

题的结果．

【详解】解：∵所剪去正方形的面积可表示为（

a

-

b

）2和

a2+

b2-2

ab

，

即（

a

-

b

）2=

a2-2

ab

+

b2，

故选：

D

．

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用能力，关键是能根据图形列出不同整

式表示其面积．

11

．

D

解析：

D

【分析】利用全等三角形的判定定理对①②③④进行逐一判断即可

.

【详解】解：①结合已知条件，判定条件为

SSA.

由于

CE=5

，

AC=4

2

，

CE

＜

AC

，∴

E

点在

线段

AB

上有两个符合条件的点，同理

F

也有两个符合条件的点，由图可知

ACE

不一定和

BDF

全等，错误；

②结合已知条件，由

SAS

可以判定

ACE

和

BDF

全等，正确；

③由于

CE=7

，

AC=4

2

,CE

＞

AC

，∴线段

AB

上只有一个符合条件的点

E,

同理只有一个符合

条件的点

F

，如图，此时

ACE

一定和

BDF

全等

.

故正确；

④∵

CEBDFA,

∴∠

AEC=

∠

DFB

，再结合已知条件，根据

AAS

，可以判定

ACE

和

BDF

全等

.

正确

.

故选

D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是关键

.

二、填空题

12

．

3

【分析】根据分式值为零时，分子为

0

分母不为

0

可列式计算求解．

【详解】解：由题意得

x

﹣

3

＝

0

，

3

x

+1≠0

，

解得：

x

＝

3

，

故答案为：

3

．

【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为零时，分子为

0

，分母

不为

0

是解题的关键．

13

．

A

解析：

1

【分析】根据关于

x

轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点

P

（

x

，

y

）关于

x

轴的对称点

P

′

的坐标是（

x

，

-

y

），进而得出

a

，

b

的值即可．

【详解】解：∵点

A

（

a

，

3

）与点

B

（

4

，

b

）关于

x

轴对称，

∴

a

=4

，

b

=-3

，

则

a

+

b

=4-3=1

．

故答案为：

1

．

【点睛】此题主要考查了关于

x

轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性

质是解题关键．

14

．1

2

【分析】根据条件

3

yx

xy



，可得出

22

3

yx

xy





，所以223xyxy

．将式子

2

2

()

()

xyxy

xyxy





展

开化简可得：

22222

22222

()2

()2

xyxyxxyyxyxyxy

xyxyxxyyxyxyxy







．将223xyxy

代入，则原式

321

=

342

xyxyxy

xyxyxy







，故答案为

1

2

．

【详解】解：

3

yx

xy



，



22

3

yxyx

xyxy





，

223xyxy

，

22222

22222

()2

()2

xyxyxxyyxyxyxy

xyxyxxyyxyxyxy







，



把223xyxy

代入得：原式

321

=

342

xyxyxy

xyxyxy







，

故答案为

1

2

．

【点睛】．

本题主要考查知识点为：分式的加减，完全平方公式222()2abaabb

．熟练掌握分式

的加减方法和完全平方公式是解决此题的关键．

15

．

3

【分析】逆用同底数幂的除法公式即可．

【详解】∵36,32ab，

∴

33362=3abab

．

故答案为：

3

．

【点睛】本题考查同底数幂的除法逆用，熟记同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题

的关键．

16

．【分析】根据由沿

AD

对称

,

得到，进而表示出，最后求周长即可．

【详解】由沿

AD

对称得到，

则

E

与

C

关于直线

AD

对称，

，

∴

，

如图

,

连接，

由题意得，

∴

，

当

P

在

BC

边上

解析：【分析】根据ADE由

ACD

沿

AD

对称

,

得到AEAC，进而表示出

PBPEPBPCBC

，最后求

PEB

周长即可．

【详解】ADE由

ACD

沿

AD

对称得到，

则

E

与

C

关于直线

AD

对称，

5AEAC，

∴

1358BEABAE

，

如图

,

连接

PC

，

由题意得

PCPE

，

∴12PBPEPBPCBC，

当

P

在

BC

边上，即

D

点时取得最小值

12

，

∴

PEB

周长为PEPBBE，最小值为

12820

．

故答案为

:20

．

【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．

17

．

0

或

##或

0

【分析】根据完全平方公式即可得．

【详解】解：由题意得：，

即，

则，

解得或，

故答案为：

0

或．

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．

解析：

0

或

2

##2或

0

【分析】根据完全平方公式222()2abaabb

即可得．

【详解】解：由题意得：22211(1)xmxx

，

即2221121xmxxx

，

则212m

，

解得

0m

或

2m

，

故答案为：

0

或

2

．

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．

18

．

720

【分析】根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，

根据多边形的内角和定理，可得答案．

【详解】解：由题意，得

两个四边形有一条公共边，得

多边形是，

由多边形内角

解析：

720

【分析】根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，根据多边形

的内角和定理，可得答案．

【详解】解：由题意，得

两个四边形有一条公共边，得

多边形是

336

，

由多边形内角和定理，得

62180720()

．

故答案为：

720

．

【点睛】本题考查了多边形的对角线，利用了多边形内角和定理，解题的关键是注意对角

线是两个四边形的公共边．

19

．

6

【分析】分两种情况，当

△APC≌△BQP

时，当

△APC≌△BPQ

时，根据全等的

性质列方程解答．

【详解】解：当

△APC≌△BQP

时，

AP=BQ

，即

18-x=2x

，且

x=AC6

，解答

x=6

，

解析：

6

【分析】分两种情况，当△

APC

≌△

BQP

时，当△

APC

≌△

BPQ

时，根据全等的性质列方程

解答．

【详解】解：当△

APC

≌△

BQP

时，

AP=BQ

，即

18-

x

=2

x

，且

x=AC6

，解答

x

=6

，

当△

APC

≌△

BPQ

时，

AP=BP

=9

m

，此时用时为

9

s

，

AC=BQ

=18

m

，不合题意，舍去；

综上，出发

6

s

后，在线段MA上有一点

C

，使

CAP

与

PBQ△

全等，

故答案为：

6

．

【点睛】此题考查全等三角形的性质，动点问题，确定全等三角形的两种不同情况，用分

类思想解决问题是解题的关键．

三、解答题

20

．

(1)

(2)

【分析】（

1

）先提公因式

xy

，再利用平方差公式分解因式求解即可；

（

2

）先提公因式

-4x

，再利用完全平方公式分解因式求解即可．

（

1

）

解：

；

（

2

）

解：

解析：

(1)33xyxyxy

(2)24xxy

【分析】（

1

）先提公因式

xy

，再利用平方差公式分解因式求解即可；

（

2

）先提公因式

-4

x

，再利用完全平方公式分解因式求解即可．

（

1

）

解：339xyxy

229xyxy

33xyxyxy

；

（

2

）

解：322484xxyxy

2242xxxyy

24xxy

．

【点睛】本题考查提公因式法和公式法分解因式，熟记公式，正确求解是解答关键．

21

．化简结果为；代入值为

-2

【分析】先通分，因式分解，然后进行除法运算，最后选取使分式有意义的值

代入求解即可．

【详解】解：

∵

，

∴

当时，原式

∴

化简结果为，值为．

【点睛】本题

解析：化简结果为

2x

；代入

0x

值为

-2

【分析】先通分，因式分解，然后进行除法运算，最后选取使分式有意义的值代入求解即

可．

【详解】解：

2

11

1

244

x

xxx













22

21

21

x

x

xx









2x

∵

2x

，

1x

∴当

0x

时，原式

2022x

∴化简结果为2x，值为

2

．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握完全

平方公式与通分．

22

．证明见解析．

【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然

后全等三角形的性质即可得证．

【详解】证明：平分，

，

在和中，，

，

．

【点睛】本题考查了角平分线

解析：证明见解析．

【分析】先根据角平分线的定义可得

BACDAC

，再根据三角形全等的判定定理证出

ABCADC△△

，然后全等三角形的性质即可得证．

【详解】证明：

AC

平分BAD，

BACDAC

，

在

ABC

和

ADC

中，

ABAD

BACDAC

ACAC

















，

()ABCADCSAS

，

BCDC．

【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全

等的判定方法是解题关键．

23

．

(1)122

(2)

(3)∠BQC

＝

90°

，理由见解析

【分析】（

1

）根据三角形的内角和角平分线的定义；

（

2

）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得

∠ABD

＝

∠A+∠AC

解析：

(1)122

(2)

2



(3)

∠

BQC

＝

90°

1

2

A

，理由见解析

【分析】（

1

）根据三角形的内角和角平分线的定义；

（

2

）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠

ABD

＝∠

A

+

∠

ACB

，

再利用∠

BEC

＝∠

DBE

﹣∠

BCE

，即可得到结论；

（

3

）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠

EBC

与∠

ECB

，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

(1)

解：∵

BP

、

CP

分别平分∠

ABC

和∠

ACB

，

∴∠

PBC

1

2

∠

ABC

，∠

PCB

1

2

∠

ACB

，

∴∠

BPC

＝

180°

﹣（∠

PBC

+

∠

PCB

）

＝

180°

﹣（

1

2

∠

ABC

1

2



∠

ACB

）

＝

180°

1

2



（∠

ABC

+

∠

ACB

）

＝

180°

1

2



（

180°

﹣∠

A

）

＝

180°

﹣

90°

1

2



∠

A

＝

90°+32°

＝

122°

故答案为：

122

；

(2)

解：∵

CE

和

BE

分别是∠

ACB

和∠

ABD

的角平分线，

∴∠

BCE

1

2

∠

ACB

，∠

DBE

1

2

∠

ABD

，

又∵∠

ABD

是△

ABC

的一外角，

∴∠

ABD

＝∠

A

+

∠

ACB

，

∴∠

DBE

1

2

（∠

A

+

∠

ABC

）

1

2

∠

A

+

∠

BCE

，

∵∠

DBE

是△

BEC

的一外角，

∴∠

BEC

＝∠

DBE

﹣∠

BCE

1

2

∠

A

+

∠

BCE

﹣∠

BCE

1

2

∠

A

2





；

(3)

解：∠

BQC

＝

90°

1

2

A

，理由如下：

根据题意得：∠

CBM

=

∠

A

+

∠

ACB

，∠

BCN

=

∠

A

+

∠

ABC

，

∵

BQ

平分外角∠

CBM

，

CQ

平分外角∠

BCN

．

∴∠

QBC

1

2

（∠

A

+

∠

ACB

），∠

QCB

1

2

（∠

A

+

∠

ABC

），

∴∠

BQC

＝

180°

﹣∠

QBC

﹣∠

QCB

＝

180°

1

2



（∠

A

+

∠

ACB

）

1

2



（∠

A

+

∠

ABC

）

＝

180°

1

2



∠

A

1

2



（∠

A

+

∠

ABC

+

∠

ACB

）

即∠

BQC

＝

90°

1

2

A

．

【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形外角的性质，三角形的内角和定

理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．

24

．

(1)

足球的单价是

60

元，篮球的单价是

90

元

(2)120

个

【分析】（

1

）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，由题意：用

1200

元购

买足球的数量是用

900

元购买篮球数量的

2

倍，列出分式方程，解

解析：

(1)

足球的单价是

60

元，篮球的单价是

90

元

(2)120

个

【分析】（

1

）设足球的单价是

x

元，则篮球的单价是

(230)x

元，由题意：用

1200

元购

买足球的数量是用

900

元购买篮球数量的

2

倍，列出分式方程，解方程即可；

（

2

）设学校可以购买

m

篮球，则可以购买

(200)m

个足球，由总价



单价



数量，且购买

足球和篮球的总费用不超过

15600

元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

（

1

）

解：设足球的单价是

x

元，则篮球的单价是

(230)x

元，

依题意得：

1200900

2

230xx





，

解得：

60x

，

经检验，

60x

是原方程的解，且符合题意，

23090x．

答：足球的单价是

60

元，篮球的单价是

90

元．

（

2

）

设学校可以购买

m

个篮球，则可以购买

(200)m

个足球，

依题意得：9060(200)15600mm，

解得：

120m

，

答：学校最多可以购买

120

个篮球．

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（

1

）找

准等量关系，正确列出分式方程；（

2

）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等

式．

25

．问题情境：（

x

＋

1

）

2

，（

3x

－

5

）

2

，（

2x

＋

6

）

2

；归纳猜想：＝

4ac

；

验证结论：（答案不唯一）如：＋

4x

＋

4

，验证：见解析；解决问题：

m

＝

2

【分析】问题情景：可用完全平方公式进行

解析：问题情境：（

x

＋

1

）2，（

3

x

－

5

）2，（

2

x

＋

6

）2；归纳猜想：2b

＝

4

ac

；验证结

论：（答案不唯一）如：2x

＋

4

x

＋

4

，验证：见解析；解决问题：

m

＝

2

【分析】问题情景：可用完全平方公式进行分解因式；

归纳猜想：根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想

b2=4

ac

；

验证结论：可用完全平方公式进行验证；

解决问题：多项式

ax2+

bx

+

c

（

a

＞

0

）是完全平方式，则系数

a

，

b

，

c

存在的关系为

b2=4

ac

，可列

[-

（

2

m

+8

）

]2=4

（

m

+2

）（

m

+7

），进而求出

m

的值．

【详解】问题情境：（

x

＋

1

）2，（

3

x

－

5

）2，（

2

x

＋

6

）2

归纳猜想：2b

＝

4

ac

验证结论：（答案不唯一）如：2x

＋

4

x

＋

4

，

验证：因为2b

＝24

＝

16

，

4

ac

＝

4×1×4

＝

16.

所以2b

＝

4

ac

解决问题：根据题意，得

28m（）2＝

4

（

m

＋

2

）（

m

＋

7

）

42m＋

32

m

＋

64

＝

4

（2m＋

9

m

＋

14

）

42m＋

32

m

＋

64

＝

42m＋

36

m

＋

56

m

＝

2

【点睛】本题考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的

理解和应用，综合性较强．

26

．（

1

）

∠ABE=90°

；（

2

）

PD+AC=CE

，见解析；（

3

）

1

【分析】（

1

）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：

△BPE

为等边三角形，则

∠CBE=60°

，故

∠ABE=90°

；

解析：（

1

）∠

ABE=90°

；（

2

）

PD+

1

2

AC=CE

，见解析；（

3

）

1

【分析】（

1

）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△

BPE

为等边

三角形，则∠

CBE=60°

，故∠

ABE=90°

；

（

2

）如图

2

，过

P

作

PH

⊥

AE

于

H

，连

BC

，作

PG

⊥

BC

交

BC

的延长线于

G

，构造含

30

度

角的直角△

PCG

、直角△

CPH

以及全等三角形（

Rt

△

PGB

≌

Rt

△

PHE

），根据含

30

度的直角三

角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；

（

3

）分三种情况讨论，根据（

2

）的解题思路得到

PD=

1

2

AC+CE

或

PD=CE-

1

2

AC

，将数值代

入求解即可．

【详解】（

1

）解：如图

1

，∵点

P

与点

C

重合，

CD

是线段

AB

的垂直平分线，

∴

PA=PB

，

∴∠

PAB=

∠

PBA=30°

，

∴∠

BPE=

∠

PAB+

∠

PBA=60°

，

∵

PB=PE

，

∴△

BPE

为等边三角形，

∴∠

CBE=60°

，

∴∠

ABE=90°

；

（

2

）如图

2

，过

P

作

PH

⊥

AE

于

H

，连

BC

，作

PG

⊥

BC

交

BC

的延长线于

G

，

∵

CD

垂直平分

AB

，

∴

CA=CB

，

∵∠

BAC=30°

，

∴∠

ACD=

∠

BCD=60°

，

∴∠

GCP=

∠

HCP=

∠

BCE=

∠

ACD=

∠

BCD=60°

，

∴∠

GPC=

∠

HPC=30°

，

∴

PG=PH

，

CG=CH=

1

2

CP

，

CD=

1

2

AC

，

在

Rt

△

PGB

和

Rt

△

PHE

中，

PGPH

PBPE











，

∴

Rt

△

PGB

≌

Rt

△

PHE

（

HL

）．

∴

BG=EH

，即

CB+CG=CE-CH

，

∴

CB+

1

2

CP=CE-

1

2

CP

，即

CB+CP=CE

，

又∵

CB=AC

，

∴

CP=PD-CD=PD-

1

2

AC

，

∴

PD+

1

2

AC=CE

；

（

3

）①当

P

在

C

点上方时，由（

2

）得：

PD=CE-

1

2

AC

，

当

AC=6

，

CE=2

时，

PD=2-3=-1

，不符合题意；

②当

P

在线段

CD

上时，

如图

3

，过

P

作

PH

⊥

AE

于

H

，连

BC

，作

PG

⊥

BC

交

BC

于

G

，

此时

Rt

△

PGB

≌

Rt

△

PHE

（

HL

），

∴

BG=EH

，即

CB-CG=CE+CH

，

∴

CB-

1

2

CP=CE+

1

2

CP

，即

CP=CB-CE

，

又∵

CB=AC

，

∴

PD=CD-CP=

1

2

AC-CB+CE

，

∴

PD=CE-

1

2

AC

．

当

AC=6

，

CE=2

时，

PD=2-3=-1

，不符合题意；

③当

P

在

D

点下方时，如图

4

，

同理，

PD=

1

2

AC-CE

，

当

AC=6

，

CE=2

时，

PD=3-2=1

．

故答案为：

1

．

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含

30

度角直

角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨

论．

27

．（

1

）﹣

i

，

1

，；（

2

）﹣

i

﹣

6

；（

3

）的最小值为

25

．

【分析】（

1

）根据题目所给条件可得

i3=i2•i

，

i4=i2•i2

计算即可得出答案；

（

2

）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条

解析：（

1

）﹣

i

，

1

，

2022

1

ii

i





；（

2

）﹣

i

﹣

6

；（

3

）2222(24)xaxb

的最小值为

25

．

【分析】（

1

）根据题目所给条件可得

i3=i2•i

，

i4=i2•i2计算即可得出答案；

（

2

）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；

（

3

）根据题目已知条件，

a+bi

＝

4+3i

，求出

a

、

b

，即可得出答案．

【详解】（

1

）

i3＝

i2•

i

＝﹣

1

×

i

＝﹣

i

，

i4＝

i2•

i2＝﹣

1

×（﹣

1

）＝

1

，

设

S

＝

i+i2+i3+

…

+i2021，

iS

＝

i2+i3+

…

+i2021+i2022，

∴（

1

﹣

i

）

S

＝

i

﹣

i2022，

∴

S

＝

2022

1

ii

i





，

故答案为﹣

i

，

1

，

2022

1

ii

i





；

（

2

）（

1+i

）×（

3

﹣

4i

）﹣（﹣

2+3i

）（﹣

2

﹣

3i

）

＝

3

﹣

4i+3i

﹣

4i2﹣（

4

﹣

9i2）

＝

3

﹣

i+4

﹣

4

﹣

9

＝﹣

i

﹣

6

；

（

3

）

a+bi

＝

25

43i

＝

25(43)

(43)(43)

i

ii





＝

10075

169

i



＝

4+3i

，

∴

a

＝

4

，

b

＝

3

，

∴2222(24)xaxb

＝22224(24)3xx

，

∴2222(24)xaxb

的最小值可以看作点（

x

，

0

）到点

A

（

0

，

4

），

B

（

24

，

3

）的

最小距离，

∵点

A

（

0

，

4

）关于

x

轴对称的点为

A'

（

0

，﹣

4

），连接

A'B

即为最短距离，

∴

A'B

＝22247

＝

25

，

∴2222(24)xaxb

的最小值为

25

．

【点睛】此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本

题的关键．