2020年高考数学答案

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2020年全国卷Ⅲ高考理科数学试题及答案

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合，，则中元素的个数为

A．2B．3C．4D．6

2．复数的虚部是

A．B．C．D．

3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应

样本的标准差最大的一组是

A．B．

C．D．

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠

肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病

例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为

A．60B．63C．66D．69

5．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：交于D，E两点，若，则C的焦点坐标

为

A．B．C．D．

6．已知向量a，b满足，，，则

A．B．C．D．

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7．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=

A．B．C．D．

8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

A．B．C．D．

9．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=

A．–2B．–1C．1D．2

10．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为

A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+

11．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且

F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=

A．1B．2C．4D．8

12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则

A．a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件则的最大值为__________．

14．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．

16．关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

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③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

18．（12分）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据

得到下表（单位：天）：

锻炼人次

锻炼人次

空气质量等级

[0，200]（200，400]（400，600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，

则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400人次>400

空气质量好

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空气质量不好

附：K2=，

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828．

19．（12分）

如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

20．（12分）

已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

21．（12分）

设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B

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两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设a，b，c∈R，，．

（1）证明：；

（2）用表示a，b，c的最大值，证明：≥．

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

选择题答案

一、选择题

1．C2．D3．B4．C

5．B6．D7．A8．C

9．D10．D11．A12．A

非选择题答案

二、填空题

13．714．24015．16．②③

三、解答题

17．解：（1）猜想由已知可得

，

，

……

.

因为，所以

（2）由（1）得，所以

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.①

从而

.②

得

，

所以

18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：

空气质量等级1234

概率的估计值0.430.270.210.09

（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

．

（3）根据所给数据，可得列联表：

人次≤400人次>400

空气质量好3337

空气质量不好228

根据列联表得

．

由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

19．解：设，，，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直

角坐标系．

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（1）连结，则，，，，，，

得．

因此，即四点共面，所以点在平面内．

（2）由已知得，，，，，，

，．

设为平面的法向量，则

即可取．

设为平面的法向量，则

同理可取．

因为，所以二面角的正弦值为．

20．解：（1）由题设可得，得，

所以的方程为.

（2）设，根据对称性可设，由题意知，

由已知可得，直线BP的方程为，所以，，

因为，所以，将代入的方程，解得或.

由直线BP的方程得或8.

所以点的坐标分别为.

，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面

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积为.

，直线的方程为，点到直线的距离为，故的

面积为.

综上，的面积为.

21．解：（1）．

依题意得，即.

故．

（2）由（1）知，.

令，解得或.

与的情况为：

x

+0–0+

因为，所以当时，只有大于1的零点.

因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．

由题设可知，

当时，只有两个零点和1.

当时，只有两个零点–1和.

当时，有三个等点x1

，x2

，x3

，且，，．

综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.

22．解：

（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）；

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由得t=2，所以C与x轴的交点为．

故．

（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，

得直线AB的极坐标方程

．

23．解：

（1）由题设可知，a，b均不为零，所以

.

（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，

故，所以.