2是质数吗

第七讲质数与合数（二）

我们已经学习过合数与质数的一些简单知识，对它们有了初步的了解。

我们可以按每个整数的约数的个数的不同将自然数分成三类：

第一类：只有一个约数，是“1”；

第二类：只有两个约数，即1和本身的，是质数，如“2、3、5、7、„”；

第三类：除1和本身之外，还有其它的约数，是合数，如“4、6、8、9、„”。

从上述的分类方式中能够清楚地看出两点，①“1”这个数既不是质数，也不是合数；

②“质数与合数放在一起并不是全部自然数”。这两点十分重要，运用中容易出现问题。

如何判断一共大于1的自然数是质数还是合数，下面介绍几种常见的方法。

例1．377是质数吗？

解：我们用从小到大的一个个质数试除377，看看有没有能够整除377的，即用2、3、

5、7、11、13，…去试除。发现377=13×29，所以377不是质数。

两千多年前，埃及亚历山大图书馆的管理员埃托色尼就是用这种方法选出质数的。在全

体自然数中，先把1去掉，然后把2的倍数去掉（保留2）再把3的倍数去掉（保留3），„„，

这样一直做下去，最后剩下的就是质数了。这种方法叫做“筛选法”。

例2．有一个2n+1为的整数(n是整数，n≥1)



2223111

n

n





位

位

，这个数是质数还是合数。

解法1：我们观察这个数的特征，可以看出，它的各位数字的和是3的倍数。

2

22231113(1)

nn

n



个个1

，由于n+1是整数，所以3是原数的约数。

所以



2223111

n

n





位

位

是合数。

解法2：还可以把这个数分解一下，把中间的“3”拆开。



(1)

(1)

0

2223111=2221000111

nn

nn

n











位位

位位

个

=



(1)(1)(1)

00

1112000111=111(20001)

nnn

nn







位位位

个个

。

所以



2223111

n

n





位

位

是合数。

把这个数字拆开的主要目的是能够提出公因数做因数分解。这种方法不但能够说明一个

数是合数，还提供了分解因数的一种方法。

对于质数来说，由于它至今没有统一的数学式子来表示，人们对它的了解仍然是很不全

面的。已经知道质数有无限多个（今后在初中可以证明），并且一般来说，随着数值越大就

越来越稀少。有人统计过五千以内的质数分布情况：

1~1000中有168个质数；1001~2000中有135个质数；2001~3000中有127个质数；

3001~3000中有120个质数；4001~5000中有119个质数。

例3．在三张纸片上分别写上三个最小的连续的奇质数，如果随意从其中取出至少一张

纸片组成一个数，其中有几个是质数？

解：三个最小的奇质数指的是3、5、7.“至少取出一张”的含义是取出一张组成一位

数，取出两张组成两位数，取出三张组成三位数。

下面分三种情况讨论一下：

（1）如果取出的是一张纸片，则3、5、7都是质数；

（2）如果取出的是两张纸片，可能的两位数有35、53、37、73、57、75，其中37、53、

73是质数；

（3）如果取出的是三张纸片，可能的三位数有6个，它们的各位数字的和是3+5+7=15,15

是3的倍数，所以这六个数都是3的倍数，是合数。

综上所述，合乎要求的质数一共有6个，分别是3、5、7、37、53、73。

例4．5112的约数有多少个。

解：首先把5112分解成质因数的乘积。5112=23×32×71.

5112的约数都是由2、3、71这些因子构成，约数中，关于2的因子有四种情况：含有

3个2、含有2个2、含有1个2和不含2；关于3的因子有三种情况：含有2个3、含有1

个3、不含3；关于71的因子有2种情况：含有1个71和不含71.

根据乘法原理，含有2、3、71的约数的个数有4×3×2=24（个）。

例5．在1~300之间，求出：约数个数正好是15个的自然数。

解：首先看一下组成这个数的质因子的情况是什么样子的。15=1×15=3×5.

根据约数个数的公式，这个自然数只含有两个不同的质因数，不妨设这两个质因数分别

为A、B。

（1）当15分解为1×15=(0+1)×(14+1)时，说明这个自然数可以写成A0×B14，即是14

个相同的质因数的乘积，考虑到自然数的取值范围在0~300之间，B最小为2，而214>300，

超出范围。因此这种情况是不存在的。

（2）当15分解为3×5=(2+1)×(4+1)时，说明这个自然数可以写成A2×B4，

当A=2，B=3时，22×34=324>300(超出300)；

当A=3，B=2时，32×24=144(符合条件)；

当A=5，B=2时，52×24=400>300(超出300)；

由此可以得出，对于任何A>3或B>2的取法都不符合条件。

所以，在1~300之间，约数个数是15个的自然数只有144.

例6．有一个自然数含有10个不同的约数，但质因数只有2和3.那么这个自然数最大

是几？

解：设这个自然数表示为2m×3n(m、n是整数)，根据约数个数的公式：

约数个数10=(m+1)×(n+1)=1×10=2×5，

这样，m，n的取值只有4种情况：m=0，n=9；m=9，n=0；m=1，n=4；m=4，n=1。

当m=0，n=9或m=9，n=0时，实际上该数只有一个质因数，不合题意，舍去。

即这个自然数有两种可能。

当m=1，n=4时，21×34=162；当m=4，n=1时，24×31=48。

所以符合要求的最大的自然数是162.

例7．房间里有100盏电灯，并且编号，号码为1、2、3、„„、100.每盏灯上有一个

拉线开关，开始时电灯全都是关的。100位同学由房间外逐个走进去，第一位同学把编号是

1的倍数的灯的开关拉动一下；第二位同学把编号是2的倍数的灯的开关拉动一下；第三位

同学把编号是3的倍数的灯的开关拉动一下；„„；第100位同学把编号是100的倍数的灯

的开关拉动一下；这时房间里那些号码的灯是亮的。

解：根据这个约定，第一位同学应该拉动1、2、3、„„、100各个编号的灯；第二位

同学应该拉动2、4、6、„„、100各个编号的灯；第三位同学应该拉动3、6、9、„„、

100各个编号的灯；„„；第100位同学应该拉动100号的灯；

由于灯开始是关着的，拉动偶数次灯的开关，灯还是不亮；拉动奇数次灯的开关，灯才

是亮的。灯的编号有多少个约数，它就被该约数号码的所有同学拉动多少次。看来1~100

中每个整数的约数的个数是偶数还是奇数，决定最后的结果。我们可以分析几个数的约数，

看其奇偶性的规律。

灯号

约数个数

1223242434

奇偶性奇偶偶奇偶偶偶偶奇偶

观察得出：编号为平方数1、4、9、„„时，都有奇数个约数。在1~100内平方数还有

16、25、36、49、64、81、100，一共有10个。

因此有10盏灯是亮的，编号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

附：（1）在1~100中，若一个数是质数，那么它一定有两个约数，约数个数为偶数；

（2）若该数为合数，且可以写成am×bn的形式，它的约数的个数是(m+1)×(n+1)，当

m、n中至少有一个是奇数时（不妨设m为奇数），则(m+1)×(n+1)为偶数（因为m+1是偶

数）；

（3）若该数是am时（m为偶数），这个数是一个平方数，它的约数的个数是奇数；

（4）若该数为am×bn，m，n都是偶数且m=n时，这个数就是一个平方数，它的约数

的个数是奇数；

（5）若该数am×bn为合数，m，n都是偶数且a≠b，m≠n时，这个数最小是32×24=144；

由上述分析得到在1~100中，只有平方数的约数的个数是奇数个，其余的数，它们的

约数的个数都是偶数个。

练习题

1．下列的说法对吗？为什么？

（1）质数与合数组成了自然数；（）

（2）所有的偶数都是合数；（）

（3）所有的奇数都是质数；（）

（4）质数一定不是偶数；（）

（5）两个质数的和一定是偶数；（）

（6）任意两个自然数的积都是合数；（）

答案：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×；（6）×；

解：（1）1既不是质数，也不是合数；

（2）2是偶数，但不是合数；

（3）9是奇数，但不是质数；

（4）2是偶数，也是质数；

（5）2、3都是质数，它们的和是5，不是偶数；

（6）1和3都是自然数，它们的乘积3是质数，不是合数。

2．两个相邻的自然数的积是756，这两个数是和。

解：分解质因数756=2×2×3×3×3×7=27×28。

答：这两个数分别是27和28.

3．写出1155的所有两位数的约数。

解：分解质因数1155=3×5×7×11.

它的两位数的约数有11、15、21、33、35、55、77。

4．2340的约数的个数是个。

解：2340=22×32×5×13，所以它的约数的个数是3×3×2×2=36（个）。

5．有四个小学生的年龄相乘是11880，问他们的年龄分别是几岁？

解：11880=23×33×5×11，小学生的年龄在6~13岁之间。他们的年龄可以是9岁、10岁、11

岁、12岁。

6．在1~20内，有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，则这个数是。

解：在1~20内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。显然2不满足条件，

试一下3，3+10=13是质数，3+14=17也是质数，所以这个数是3.其他的几个数满足条

件吗？请自己试一下。

7．两个质数的和是40，则这两个质数的乘积的最大值是；最小值是。

解：把40表示成两个质数的和，共有三种形式：

40=17+23=11+29=3+37。

17×23=391，11×29=319，3×27=81.

所以乘积的最大值是319，最小值是81。

8．连续九个自然数中最多有几个质数？为什么？

解：在连续的九个自然数中，偶数（除2以外）都是合数，

从2开始看，这九个数是2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中2、3、5、7是质数。也

就是有4个质数。

如果从大于2的数开始数，若从偶数开始，那么九个数中有5个偶数，它们都是合数，

最多剩下的4个奇数可能是质数，即质数的个数不会大于4个。

如果从奇数开始数，如3~11，5~13中，其中有4个偶数，剩下的奇数中有3、5、7、

11或5、7、11、13为质数，也是4个质数。

如果从奇数开始数，且最小的奇数大于5，则九个数中有4个偶数，在剩余的五个奇数

中，一定有一个奇数的个位数字是5的，这个奇数是5的倍数，当然是合数。

所以在连续九个自然数中，最多有4个质数。