高中数学教学设计

高中数学教学设计

等比数列的前n项和

（第一课时）

一．教材分析。

1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课

程标准数学教科书·数学

5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广

泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中

所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思

想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及

其前n项和”与“等比数列”

内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，

数学归纳法等做好铺垫

二．学情分析。

1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通

项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。

2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强,逻

辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于

年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深

刻，因而片面、不够严谨。

（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前

n项和从公式的形成、特点等方

面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的

推导与等差数列前

n项和公式

的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于

q=1

这一特殊情况，学生往往

容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三．教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节

课的教学目标确定为：

（1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推

导过程、公式的特点，在此

基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

（2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，

向学生渗透特殊到一般、类

比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括

等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

（3）情感，态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的

精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形

式的简洁美。

四．重点,难点分析。

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点：公式的推导方法及公式应用中q与1的关系

五．教法与学法分析.

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高

中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主

义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观

点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在

一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习

伙伴的帮助下）协作，主动建构而

获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，

教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式

和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，

使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自

己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模

型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话：还课堂以生命力，还学

生以活力。

六．课堂设计

（一）创设情境，提出问题。（时间设定：3分钟）

[利用投影展示]在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当

时的印度国王大为赞赏，

对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的

64个方格上，第一格放

1粒小麦，第二

格放

2粒，第三格放

4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第

64格。国王令宫廷数学家计算，

结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？

[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习

的积极性．故事内容紧扣本节

课的主题与重点]

提出问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？

引导学生写出麦粒总数1

2

22

23

263

（二）师生互动，探究问题[5分钟]

提出问题2：1+2+22+23++263究竟等于多少呢

有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发

现比较难求。）

提出问题3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发

现，后一项都是前一项的2

倍）

提出问题4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那

么我们若在此等式两边同以2，

得到另一式：

[[利用投影展示]

...S64

1

2

22

23

263.........(1)

2S64

2

22

23

24

264.......(2)

比较（1）(2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（

1）、（2）两式有许多相同的项）

提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学生会

发现：S642641

[这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，

使学生容易接受为什么要错

位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受

到这种方法的神奇]

这时，老师向同学们介绍错位相减法，并

提出问题6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什

么（1）式两边要同乘以2呢？

[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为

探究等比数列求和公式的推导

做好铺垫]

（三）类比联想，解决问题。[时间设定：10分钟]

提出问题7：设等比数列an的首项为a1,公比为q,求它的前项和Sn

即Sna1a2a3

an

学生开展合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，

叫同

学板书在黑板上。

[设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和

能力提高，让学生在探索过程

中，充分感受到成功的情感体验]

（四）分析比较，开拓思维。[时间设定：5分钟]

将不同的的方法进等行比分析数评列价。{根an据},学公生比的为认

识q状,况它，的可前能有n如下项几和种方法：

错位相减法1：

S

a

a1qaq2

aq

n2

aq

n1

n

1

1

1

qSn

a1qa1q2

a1qn2

a1qn1a1qn

(1q)Sna1a1qn

等比数列

{an},公比为

q,它的前

n项和

错位相减法2Sna1

a2

a3

an1

an

qSn

a2

a3

an1

an

anq

(1q)Sn

a1anq

等比数列{an},公比为q,它的前n项和

提出公比q

Sn

a1

a2

a3

an1an

Saaqaq2

aqn2

aqn1

n

1

1

1

1

1

a

q(a

aq

aqn3

aqn2)

1

1

1

1

1

a1q(Sn

a1qn1)

(1q)Sn

a1

a1qn

累加法

等比数列{an},公比为q

,它的前n项和

Sna1a2a3

an1an

a2

a1q

a3

a2q

a4

a3q

anan1q

a2a3anq(a1a2a3an1)

Sna1q(Snan)

(1q)Sna1anq

可能也有同学会想到由等比定理得

Sn

a1a2

a3

an

a2

a3

an

q

a1

a2

an1

a2

a3

an

q

a1

a2

an1

Sna1qSnan

(1q)Sna1anq

【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美

】

（五）．归纳提炼，构建新知。

[时间设定：3

分钟]

提出问题8:由

n11

n得n=a1-a1qn

对不对？这里的q能不能等于

1？等比数列中的公比能不能为

(1-q)=a-aq

1-q

1？q1时是什么数列？此时Sn？

【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善

知识结构，增强思维的严谨性】．

提出问题9:等比数列的前n项和公式怎样

a1

(1qn)

a1

anq

学生归纳出Sn

,q1

Sn1

,q1

1q

q

na1,q1

na1,q1

【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】

（六）层层深入，掌握新知[时间设定：15分钟]

基础练习1已知an是等比数列,公比为q

1

若a1=3,q=3,则Sn

(2).则a1

2,q

1,则Sn

练习2

判断是非

(1).1-2+4-8+16-

n

1

(1

2n)

+-2

1

(

2)

(2).1

2

2

2

3

n

1

(1

2n)

2

2

1

2

(3).a

a

2

3

a

8

a(1

a8)

a

1

a

【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方

面的“短、浅、快”练习．通

过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征．】

例1已知数列an是等比数列,完成下表

题号a1

q

n

an

Sn

（1）1/2

1/2

8

（2）27

2/3

8

（）

-2

-96

-63

3

【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生

运用知识的能力

.掌握公式中”知

三求二”的题型】

练习3：求等比数列

1,

1,

1

,1

,

前8项和；

24

8

16

变式1、等比数列

1

1

1

1

63

2

,4

,8

,16,

前多少项的和是

64

；

变式2、等比数列1

,1

,

1

,1

,

求第5项到第10项的和；

2

4

8

16

变式3、等比数列a,a2,a3,

an,求前2n项中所有偶数项的和。

（先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生

完成情况，寻找学生中的闪光

点，给予热情表扬。

)

【设计意图：变式训练,深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学

生的模式识别能力，渗透转化思

想】．

练习4有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老

板对这位大学生很欣赏，

有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种

方案让老板选择，其一：

工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20元，

以后每个月的工资是上月工资

2倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订

了一个劳动待遇合同。请你分析一下，老板的选择是否正确？

（七）总结归纳，加深理解。[时间设定：2分钟]

（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？

（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？

【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，

优化学生的认知结构】

（八）课后作业，巩固提高。[时间设定：1分钟]

必做：（1）P66练习1

研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”

选做：求和：n2n

【设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；

“选做题”又为学有余力者留有自

由发展的空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习，拓展

学生的视野．】

七、教学反思：

通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，

由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形

成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究

能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。