复数的平方

1

复数

一、复数的概念

1.虚数单位i

（1）它的平方等于1，即2i1；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满

足交换律与结合律．

（3）i的乘方：4414243*i1,ii,i1,ii,Nnnnnn，它们不超出ib的形式．

2.复数的定义

形如i(,)Rabab的数叫做复数，,ab分别叫做复数的实部与虚部

3.复数相等iiabcd，即,acbd，那么这两个复数相等

4.共轭复数izab时，izab．

性质：zz；

2121

zzzz；

1121

zzzz；);0()(

2

2

1

2

1z

z

z

z

z

二、复平面及复数的坐标表示

1.复平面

在直角坐标系里，点z的横坐标是

a

，纵坐标是b，复数izab可用点(,)Zab来

表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的

部分称为虚轴．

2.复数的坐标表示点(,)Zab

3.复数的向量表示向量OZ．

4.复数的模

在复平面内，复数izab对应点(,)Zab，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，

记作z．由定义知，22zab．

三、复数的运算

2

1.加法(i)(i)()()iabcdacbd．

几何意义：设

1

izab对应向量

1

(,)OZab，

2

izcd对应向量

2

(,)OZcd，则

12

zz对应的向量为

12

(,)OZOZacbd．因此复数的和可以在复平面上用平行四边

形法则解释．

2.减法(i)(i)()()iabcdacbd．

几何意义：设

1

izab对应向量

1

(,)OZab，

2

izcd对应向量

2

(,)OZcd，则

12

zz对应的向量为

1221

(,)OZOZZZacbd．

22

12

()()i()()zzacbdacbd表示

1

Z、

2

Z两点之间的距离，也

等于向量

12

ZZ的模．

3.乘法abicdiacbdi.

4.乘方mnmnzzz()mnmnzz

1212

()nnnzzzz

5.除法







22

abicdiacbdbcadi

abi

abicdi

cdicdicdi

cd











.

6.复数运算的常用结论

（1）222(i)2iababab，22(i)(i)ababab

（2）2(1i)2i，2(1i)2i

（3）

1i

i

1i







，

1i

i

1i







（4）

1212

zzzz，

1212

zzzz，11

2

2

zz

z

z









，

zz

．

（5）

2zzz，zz

（6）

121212

zzzzzz

（7）

1212

zzzz，

1212

zzzz，

n

nzz

四、复数的平方根与立方根

3

1.平方根若2(i)iabcd，则iab是icd的一个平方根，(i)ab也是

icd的平方根．（1的平方根是i．）

2.立方根如果复数

1

z、

2

z满足3

12

zz，则称

1

z是

2

z的立方根．

（1）1的立方根：21,,．

13

i

22

，2

13

i

22

，31．210．

（2）1的立方根：

1313

1,i,i

2222

zz．

五、复数方程

1.常见图形的复数方程

（1）圆：

0

zzr（0r，

0

z为常数），表示以

0

z对应的点

0

Z为圆心，r为半径的圆

（2）线段

12

ZZ的中垂线：

12

zzzz（其中

12

,zz分别对应点

12

,ZZ）

（3）椭圆：

12

2zzzza（其中0a且

12

2zza），表示以

12

,zz对应的点

F1、F2为焦点，长轴长为2a的椭圆

（4）双曲线：

12

2zzzza（其中0a且

12

2zza），表示以

12

,zz对应的

点F1、F2为焦点，实轴长为2a的双曲线

2.实系数方程在复数范围内求根

（1）求根公式：

2

1,2

1,2

2

1,2

4

0

2

0

2

i4

0

2

bbac

x

a

b

x

a

bbac

x

a































一对实根

一对相等的实根

一对共轭虚根

（2）韦达定理：

12

12

b

xx

a

c

xx

a

















