人教版七年级下册

第五章相交线与平行线

一、相交线

相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两

直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。

AD

COB

对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满

足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。

邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，

互为领补角。

邻补角与补角的区别与联系

❖1.邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为

180°

❖2.互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角

即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既

要满足数量关系又要满足位置关系。

领补角与对顶角的比较

二、垂线

垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂

直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直

例如：如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，

b也叫a的垂线。则记为：a⊥b或b⊥a；

若要强调垂足，则记为：a⊥b,垂足为O.

垂直的书写形式：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，

垂足为O。

书写形式：

∵∠AOD=90°（已知）

∴AB⊥CD（垂直的定义）

反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。

书写形式：

∵AB⊥CD（已知）

∴∠AOD=90°（垂直的定义）

应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°

垂线的画法：

如图，已知直线l和l上的一点A,作l的垂线.则所画直线AB是过点A的直

线l的垂线.

工具：直尺、三角板

1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;

2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;

3移:移动三角板到已知点;

4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.

垂线的性质：

1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情形）

同位角：一边都在截线上而且同向，另一边

D

A

O

C

B

B

A

l

1

2

4

3

B

A

E

在截线同侧的两个角。

如∠1和∠5，∠4和∠8。

内错角：一边都在截线上而且反向，

另一边在截线两侧的两个角。

（两个角在两条截线内）

如∠3和∠5，∠4和∠6。

同位角、内错角、同旁内角的比较

四、平行线

平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行线的表示:我们通常用符号“//”表示平行。

任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。

平行线的画法：

已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。

一、帖(线）●

P

二、靠(尺）a

三、移(点)

四、画(线）

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

∵b∥ab∥c∴a∥ca

b

平行线具有传递性。c

五、平行线的判定

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果

同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：同位角相等,两直线平行

1

2

a

b

c

3

2

a

b

c

判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果

内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，

如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

六、平行线的性质：

性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单地说:两直线平行，同位角相等.

性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单地说:两直线平行，内错角相等.

性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单地说:两直线平行，同旁内角互补.

七、命题、定理、证明

命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是

已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……

那么……”的形式，“如果”后的部分是题设，“那么”后的部分是结论。

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称真命题。命题成立，而结

论不一定成立，这样的命题称假命题。

定理：有些真命题是基本事实，它们的正确性是经过推理证实的，无需再次进行

证明的，这样的真命题叫定理。

证明：很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理

的过程叫做证明。

九、平移

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为

平移。

平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，

对应角相等。

3

4

a

b

c

平移作图：

将线段AB平移，使点A与点D对应。

1、连结AD2、过点B作AD的平行线

3、在平行线上作线段BC，使BC=AD4、连结CD

第六章实数

一、平方根

算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的

算术平方根。a的算术平方根记为

a，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平

方根是0。

平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a（x可能为正数，也可能为负数），

那么x就叫做a的平方根(二次方根).

开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算。

平方根的表示方法:

如果x2=a(a≥0),那么x=

a

，

a读作“正负根号a”。

a表示a

的正的平方根。

a-表示a的负的平方根。

规定：正数a的正的平方根

a

叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.

归纳：

1、正数有两个平方根，它们互为相反数；

2、0的平方根是0；

3、负数没有平方根。

二、立方根

立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做a的立方根（三次

方根）

若x是a的立方根，则说明x3=a。a的立方根记为：,读作“三次

根号a”。

根指数

开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。

（1）8的立方根：283（2）-64的立方根：4-64-3

归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根

是零。

平方根和立方根的异同点

三、实数

无理数：无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律

但不循环的数。）如2，3等

实数：有理数和无理数统称实数。

3a

3a

被开方数

实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每

一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

归纳：1、a是一个实数，它的相反数为-a

2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0。

（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的

意义完全一样。）

第七章平面直角坐标系

一、有序数对

有序数对:把有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做（a，b）。

利用有序数对，能准确表示一个位置，这里两个数的顺序不能改变。

二、平面直角坐标系

平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平方向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向；竖直方向上的数

轴称为y轴或纵轴，习惯取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点是平面直角坐

标系的原点.

①条数轴②互相垂直③公共原点满足这三个条件才叫平面直角坐标系

注意:坐标轴上的点不属于任何象限。

平面直角坐标系中两条数轴特征：

（1）互相垂直（2）原点重合（3）通常取向上、向右为正方向

（4）单位长度一般取相同的

平面上点的表示：平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线，垂足在x轴、

y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐标，

则有序数对（a，b）叫做点P的坐标,记为P（a，b）

注意:横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用逗号隔开.

直角坐标系中点的坐标的特点:

三、用坐标表示平移

平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移。

平移后图形的位置改变，形状、大小不变。

总结规律2：图形上点的坐标变化与图形平移间的关系

(1)横坐标变化,纵坐标不变：

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x+a,y)，要向右平移a个单位。

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x-a,y)，要向左平移a个单位。

(2)横坐标不变,纵坐标变化：

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x,y+b)，要向上平移b个单位。

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x,y-b)，要向下平移b个单位。

(3)横坐标、纵坐标都变化：

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x+a,y+b),要向右平移a个单位,向上平移b

个单位；

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x+a,y-b),要向右平移a个单位,向下平移b

个单位；

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x-a,y+b),要向左平移a个单位,向上平移b

个单位；

原图形上的点(x,y)，如果要得到(x-a,y-b),要向左平移a个单位,向下平移b

个单位；

第八章二元一次方程组

一、二元一次方程组

二元一次方程：含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次

方程。

判断下例方程是不是二元一次方程：

(1)3-2xy=1（2）3y-2x=z+5(3)2x=1-3y

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元

一次方程的解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点的坐

标。

二元一次方程组：把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元

一次方程组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。（两个方程

中的未知数相同）

二元一次方程组的特点：

1.有两个未知数.(二元)

2.含未知数的指数都为1.(一次)

3.两个一次方程组成.(方程组)

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程

组的解。二元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。

二、解二元一次方程组

代入消元法：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表

现出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一

次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

思路：“消元”，即把“二元”变为“一元”。

例：用代入法解方程组

x－y=3①

3x－8y=14②

解:由①得,y=x－3③

把③代入②得

3x－8(x－3)=14,解这个方程得:x=2

把x=2代入③得:y=－1

所以这个方程组的解为:

加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程

的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方

法叫做加减消元法，简称加减法.

基本思路:加减消元:二元一元

主要步骤：

变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数

加减——消去一个元

求解——分别求出两个未知数的值

写解——写出方程组的解

三、实际问题与二元一次方程组

解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”

化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一

次方程。

例：解下面两个三元一次方程组：

y=－1

x=2

第九章不等式与不等式组

一、不等式及其解集

不等式：用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式

不等号包括：≥、≤、>、<、≠

不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求不

等式的解集的过程叫做解不等式。

不等式解集的表示方法：

第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x

第二种:利用数轴表示不等式的解集.

用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:大于向右画,小于向左画;

有等号(≥,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆.

二、不等式的性质

性质1：如果a>b,那么a+c>b+c或a-c>b-c

即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或

c

b

c

a

)

即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

性质3：如果a>b，c<0，那么ac

c

b

c

a

）

三、一元一次不等式

一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次

不等式。

例题：例1（p122）综合运用6（p126）

四、一元一次方程组

一元一次方程组：一般地,由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不

等式,叫做一元一次不等式组.

一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫

做由它们所组成的一元一次不等式组的解集(不等式组的解)

有公共部分不等式组的解集

无公共部分不等式组无解

解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

规律：1.两大取大；

2.两小取小；

3.大小小大中间找；

4.大大小小解不了。

第十章数据的收集、整理与描述

一、统计调查

统计表和统计图的区别：

统计表反映的数据准确且容易查找；

统计图很直观地表示出变化的情况，但往往不能看出准确数据。

在实际问题中常把统计表、统计图结合起来描述数据，要能根据不同问题选择

适当的统计图描述数据，以利于数据的分析，最终做出合理的决策。

全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。

全面调查的步骤：1、明确调查问2、确定调查对象3、选择调查方法

4、展开调查,收集数据5、整理数据6、描述数据7、得出结论

抽样调查:采用调查部分对象的方式来收集数据,根据部分来估计整体的情况,

叫做抽样调查.

总体:所要考察对象的全体叫做总体.

个体:总体中每一个考察对象叫做个体。

样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.

样本容量:样本中个体的数目。

全面调查与抽样调查的比较

二、直方图

组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取

值范围）称为组距。

组数：组数=（最大值—最小值）/组距

频数：对落在各小组内的数据进行累计，得到各小组内的数据的个数，叫做频数。

画一组数据的频率分布直方图，可以按以下的步骤进行：

（1）求极差，即数据中最大值与最小值的差.

（2）决定组距与组数：组距=极差/组数.

（3）分组，通常对组内数值所在区间，取左闭右开区间，最后一组取闭区间.

（4）登记频数，计算频率，列出频率分布表.

（5）画出频率分布直方图.（纵轴表示频率／组距）

作频率分布直方图的方法：

（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；

（2）然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；

这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就

构成了频率分布直方图．