大学物理答案

6.4半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半

均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．

[解答]在带正电的圆弧上取一弧元

ds=Rdθ，电荷元为dq=λds，

在O点产生的场强大小为

22

000

1d1d

dd

444

qs

E

RRR







，

场强的分量为dE

x

=dEcosθ，dE

y

=dEsinθ．

对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，

x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为

2dsin

y

L

EEE

/6

/6

00

0

0

sind(cos)

22RR









0

3

(1)

22R







．

6.8（1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场

中穿过立方体一面的电通量是多少？

（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的

电通量是多少？

[解答]点电荷产生的电通量为Φ

e

=q/ε

0

．

（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ

1

=Φ

e

/6=q/6ε

0

．

（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在

一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ

1

=Φ

e

/24=q/24ε

0

；

立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．

6.10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R

1

和R

2

(R

1

>R

2

)，带有等量异号

电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r

1

；（2）R

1

2

；（3）r>R

2

处各点的场强．

[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．

（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E=0，（r

1

）．

（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面

内包含的电荷为q=λl，穿过高斯面的电通量为

dd2

e

SS

ESErlESÑ，

根据高斯定理Φ

e

=q/ε

0

，所以

0

2

E

r







，(R

1

2

)．

（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为

零，所以

E=0，（r>R

2

）．

6.11一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去

一块半径为R`

证明小球空腔内的电场为匀强电场．

E

xx

E

θ

R

ds

E

y

O

y

ds

E

xx

E

θ

R

E

y

O

y

O

R

a

R`

O`

图12.10

[解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，

因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的迭加．

对于一个半径为R，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P在球内时，过P

点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程

23

0

14

4

3

Err





P点场强大小为

0

3

Er





．

当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理

可得方程23

0

14

4

3

ErR





P点场强大小为

3

2

0

3

R

E

r





．

O点在大球体中心、小球体之外．大球体在O点产生的场强为零，小球在O

点产生的场强大小为

3

2

0

`

3O

R

E

a





，方向由O指向O`．

O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球

在O点产生的场强大小为

`

0

3O

Ea





，方向也由O指向O`．

[证明]在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为

0

3r

Er





，

`

0

`

3r

Er





，方向如图所示．

设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为

222

``

2cos

rrrr

EEEEE222

0

()(`2`cos)

3

rrrr







，

根据余弦定理得

222`2`cos()arrrr，

所以

0

3

Ea





，

可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O到O`

的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．

6.16电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：

（1）带电直线延长线上离中点为r处的电势；

（2）带电直线中垂在线离中点为r处的电势；

（3）由电势梯度算出上述两点的场强．

[解答]电荷的线密度为λ=q/2L．

（1）建立坐标系，在细在线取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，

根据点电荷的电势公式，它在P

1

点产生的电势为

1

0

1d

d

4

l

U

rl









总电势为

1

0

d

4

L

L

l

U

rl













0

ln()

4

L

lL

rl











0

ln

8

qrL

LrL







．

O

a

r`

O`

r

E

r

E

r`

θ

E

P

（2）建立坐标系，在细在线取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，

在线的垂直平分在线的P

2

点产生的电势为

2

221/2

0

d

d

4()

l

U

rl









，

积分得

2

221/2

0

1

d

4()

L

L

Ul

rl











22

0

ln()

4

L

lL

rll









22

22

0

ln

8

qrLL

L

rLL









22

0

ln

4

qrLL

Lr





．

（3）P

1

点的场强大小为

1

1

U

E

r







0

11

()

8

q

LrLrL



22

0

1

4

q

rL





，①

方向沿着x轴正向．

P

2

点的场强为

2

2

U

E

r





2222

0

1

[]

4

()

qr

Lr

rLrLL







22

0

1

4

q

r

rL







，②

方向沿着y轴正向．

6.17一带电量为q，半径为r

A

的金属球A，与一原先不带电、内外半

径分别为r

B

和r

C

的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如

何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）

[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，

但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得E4πr2=q/ε

0

，

可得P点的电场强度为

2

0

4

q

E

r

．

当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将

A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电

势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r

c

，所以A

球的电势为

0

4

c

q

U

r

．

6.19金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心

为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？

[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心

都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电

势迭加，大小为

000

111

444o

qqQq

U

rab





6.20三块平行金属板A、B和C，面积都是S=100cm2，A、B相距

d

1

=2mm，A、C相距d

2

=4mm，B、C接地，A板带有正电荷q=3×10-8C，

忽略边缘效应．求

（1）B、C板上的电荷为多少？

（2）A板电势为多少？

[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为ζ

1

和ζ

2

，所带电量分别为

o

lxx

x

dl

-L

L

y

r

θ

P

2

q

o

b

a

r

图13.3

q

A

B

C

图13.4

q

1

=ζ

1

S和q

2

=ζ

2

S，

在B、C板上分别感应异号电荷-q

1

和-q

2

，由电荷守恒得方程

q=q

1

+q

2

=ζ

1

S+ζ

2

S．①

A、B间的场强为E

1

=ζ

1

/ε

0

，

A、C间的场强为E

2

=ζ

2

/ε

0

．

设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则

ΔU=E

1

d

1

=E

2

d

2

，②

即ζ

1

d

1

=ζ

2

d

2

．③

解联立方程①和③得ζ

1

=qd

2

/S(d

1

+d

2

)，

所以q

1

=ζ

1

S=qd

2

/(d

1

+d

2

)=2×10-8(C)；q

2

=q-q

1

=1×10-8(C)．

B、C板上的电荷分别为q

B

=-q

1

=-2×10-8(C)；q

C

=-q

2

=-1×10-8(C)．

(2)两板电势差为ΔU=E

1

d

1

=ζ

1

d

1

/ε

0

=qd

1

d

2

/ε

0

S(d

1

+d

2

)，

由于k=9×109=1/4πε

0

，所以ε

0

=10-9/36π，

因此ΔU=144π=452.4(V)．

由于B板和C板的电势为零，所以U

A

=ΔU=452.4(V)．

12．4一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆

心O点处的场强为零．

[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场

强．

在圆弧上取一弧元ds=Rdφ，

所带的电量为

dq=λds，

在圆心处产生的场强的大小为

22

00

dd

dd

44

qs

Ek

rRR







，

由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为

dE

x

=-dEcosφ．

总场强为

2/2

0

/2

cosd

4x

E

R













2/2

0

/2

sin

4R















0

sin

22R





，方向沿着x轴正向．

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．

根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为

`

0

4

E

R





，

由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为

``

0

2coscos

222x

EE

R





，方向沿着x轴负向．

当O点合场强为零时，必有`

xx

EE，可得tanθ/2=1，

因此θ/2=π/4，所以θ=π/2．

12．12真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B．A平面的电荷

面密度为2ζ，B平面的电荷面密度为ζ，两面间的距离为d．当点电荷q从A面

移到B面时，电场力做的功为多少？

[解答]两平面产生的电场强度大小分别为

E

A

=2ζ/2ε

0

=ζ/ε

0

，E

B

=ζ/2ε

0

，

两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为E=E

A

-

θ

R

O

图12.4

θ

R

O

x

dφ

dE

φ

θ

O

E`

E``

x

R

E

B

=ζ/2ε

0

，

方向由A平面指向B平面．

两平面间的电势差为U=Ed=ζd/2ε

0

，

当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为W=qU=qζd/2ε

0

．

12．13一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q．若规定该球面上电势值

为零，则无限远处的电势为多少？

[解答]带电球面在外部产生的场强为

2

0

4

Q

E

r

，

由于dd

R

RR

UUEr





El

2

00

d

44

R

R

QQ

r

rr







0

4

Q

R

，

当U

R

=0时，

0

4

Q

U

R

．

12．14电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（r

的电势为

22

3

0

(3)

8

QRr

U

R



．

[证明]球的体积为3

4

3

VR，电荷的体密度为

3

3

4

QQ

VR







．

利用12．10题的方法可求球内外的电场强度大小为

3

00

34

Q

Err

R





，（r≦R）；

2

0

4

Q

E

r

，（r≧R）．

取无穷远处的电势为零，则r处的电势为

ddd

R

rrR

UErEr



El

32

00

dd

44

R

rR

QQ

rrr

Rr





2

3

00

84

R

rR

QQ

r

Rr





22

3

00

()

84

QQ

Rr

RR



22

3

0

(3)

8

QRr

R



．

14．4通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求

圆心O处的磁感应强度B=？

[解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨

定律：

0

0

2

d

d

4

I

r









lr

B

，

圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为

0

1

2

d

d

4

Il

B

a





，由于dl=adφ，

积分得

11

d

L

BB3/2

0

0

d

4

I

a







0

3

8

I

a



．

OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的

磁场为

I

C

O

b

a

D

A

图14.4

0

2

2

dsin

d

4

Il

B

r







，

由于l=bcot(π-θ)=-bcotθ，所以dl=bdθ/sin2θ；

又由于r=b/sin(π-θ)=b/sinθ，

可得0

2

sind

d

4

I

B

b









，

积分得

3/4

0

2

/2

dsind

4

L

I

BB

b











3/4

00

/2

2

(cos)

48

II

bb













同理可得CD段在O点产生的磁场B

3

=B

2

．

O点总磁感应强度为00

123

32

84

II

BBBB

ab





．

[讨论]（1）假设圆弧张角为φ，电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度

为

0

4

I

B

a







．

（2）有限长直导线产生的磁感应大小为0

12

(coscos)

4

I

B

b









．

对于AC段，θ

1

=π/2、θ

2

=3π/4；对于CD段，θ

1

=π/4、θ

2

=π/2，都可得

0

23

2

8

I

BB

b





．上述公式可以直接引用．

14．6如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I．求正方形中

心O处的磁感应强度B=？

[解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、

方向相同．以AD边为例，利用直线电流的磁场公式：

0

12

(coscos)

4

I

B

R







，

令θ

1

=π/4、θ

2

=3π/4、R=a/2，AD在O产生的场强为

0

2

2AD

I

B

a





，

O点的磁感应强度为0

22

4

AD

I

BB

a





，

方向垂直纸面向里．

16．16一圆形线圈C

1

由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S=2cm2，

将C

1

放在一个半径R=20cm的大圆线圈C

2

的中心，两线圈共轴，C

2

线圈为100

匝．求：

（1）两线圈的互感M；

（2）C

2

线圈中的电流以50A·s-1的速率减少时，C

1

中的感应电动势为多少？

[解答](1)设大线圈中通以电流I

2

，N

2

匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感

应强度为B=μ

0

N

2

I

2

/2R，

小线圈中的全磁通为Φ

12

=N

1

BS=μ

0

N

1

N

2

I

2

S/2R，

互感系数为M=Φ

12

/I

2

=μ

0

N

1

N

2

S/2R=4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H)．

(2)C

1

中的感应电动势的大小为ε=MdI

2

/dt=10-6π×50=5×10-5π(V)．

16．17长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线

圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I=

I

0

sinωt时，求直导线中的感应电动势．

[解答]如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为

B=μ

0

I/2πr．

l

r

θ

Idl

Idl

C

O

b

a

D

A

B

I

θ

1

b

θ

2

I

O

D

B

C

A

图14.6

I

2C

2

C

1

图16.16

I

b

c

a

图16.17

在矩形线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通量为

00

d

dln

22

ac

Sc

IbrIb

ac

BS

rc









，

互感系数为0ln

2

b

ac

M

Ic









．

当线圈中通以交变电流I=I

0

sinωt时，直导线中的感应电动势大小为

0

0

d

(ln)cos

d2

b

Iac

MIt

tc









．

16．10长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈

的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为

x；且长直导线中的电流按I=I

0

cosωt规律随时间变化，如图所示．求

回路中的电动势ε．

[解答]电流I在r处产生的磁感应强度为0

2

I

B

r





，

穿过面积元dS=bdr的磁通量为

0ddd

2

Ib

BSr

r







，

穿过矩形线圈ABCD的磁通量为

00

1

dln()

22

xa

x

IbIb

xa

r

rx









，

回路中的电动势为

d

dt



0

d11d

[ln()()]

2dd

b

xaIx

I

xtxaxt











00

cos

[ln()sin]

2()

Ib

xaavt

t

xxxa















．

1狭义相对论的两个基本假设：

狭义相对性原理：自然规律在所有惯性参考系中具有相同的数学形式。

光速不变原理：所有惯性参考系中真空光速都相同。

2，同时性的相对性是什么意思？如果光速无限大，是否还有同时性的相对性？

在一个参考系中同时发生的两个事件,在另一个参考系看来是不同时的

不会.

3，相对论的时空观与经典力学的时空观的区别与联系

大概是经典力学认为时间和空间都是绝对的,

同一个事件不同状态的人测量情况一样.

而相对论认为同一个事件不同的人测量会得出不同的时间,

就象不同的人的表上的不一样.

相对论认为,光速对于任何人是一样的,所以时间不同,经典力学则不.

大概就只知道这一点

4，要使衍射现象明显，需要满足什么条件？

B

AB

v

D

C

x

rx

drx

bx

a

图16.10

要发生明显的衍射，则需障碍物或小孔的尺寸比波长小或跟波长差不多。

5，光的相干条件是什么？相干光在叠加处的强度为？非相干光在叠加处的强度

为？

1.频率相同2.振动方向相同3.相位差恒定

相干光光强是按振幅的矢量合成，出现干涉时，光强会有明暗相间的分布。

非相干光光强直接加起来就成。

6，光有哪5种偏振态，哪四种偏振光？几种方法从自然光获取线偏振光？

1，线偏振光,2,部分偏振光3，椭圆偏振光4，圆偏振光5自然光

三种，一般的，部分偏振光都可以看成是自然光和线偏振光的混合。自然界中我们看

到的椭圆偏振光是一种完全偏振光，而部分偏振光不是。

7试用半波带法说明离中央明条纹越远的明条纹的光强越小

除中央明纹外，其他明条纹衍射方向对应着奇数个半波带，级数越大，则单缝处的波

阵面可以分成的半波带数目越多，其中偶数个半波带的作用两两相消之后，剩下的光

震动未相消的一个半波带的面积越小，由它决定的该明条纹的亮度也越小。

9.11为测量在硅表面的保护层SiO

2

的厚度，可将SiO

2

的表面磨成劈尖

状，如图所示，现用波长λ=644.0nm的镉灯垂直照射，一共观察到8根明纹，求

SiO

2

的厚度．

[解答]由于SiO

2

的折射率比空气的大，比Si的小，所以半波损失抵消了，光

程差为：δ=2ne．

第一条明纹在劈尖的棱上，8根明纹只有7个间隔，所以光程差为：δ=7λ．

SiO

2

的厚度为：e=7λ/2n=1503(nm)=1.503(μm)．

9.34波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极

大明纹分别出现在sinθ=0.2及sinθ=0.3处，第四级缺级，求：

（1）光栅常数；

（2）光栅上狭缝的宽度；

（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹？

[解答]（1）（2）根据光栅方程得：(a+b)sinθ

2

=2λ；

由缺级条件得(a+b)/a=k/k`，其中k`=1，k=4．

解缺级条件得b=3a，代入光栅方程得狭缝的宽度为：a=λ/2sinθ

2

=1500(nm)．

刻痕的宽度为：b=3a=4500(nm)，

光栅常数为：a+b=6000(nm)．

（3）在光栅方程(a+b)sinθ=kλ中，令sinθ=1，得：k=(a+b)/λ=10．

由于θ=90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和

8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1=15条明纹．

9.38两偏振片组装成起偏和检偏器，当两偏振片的偏振化方向夹角成30º

时观察一普通光源，夹角成60º时观察另一普通光源，两次观察所得的光强相等，

求两光源光强之比．

n

1

=1.00

n

2

=3.42

λ

n=1.50

Si

SiO

2

图6.4

[解答]第一个普通光源的光强用I

1

表示，通过第一个偏振片之后，光强为I

0

=

I

1

/2．

当偏振光通过第二个偏振片后，根据马吕斯定律，光强为I=I

0

cos2θ

1

=

I

1

cos2θ

1

/2．

同理，对于第二个普通光源可得光强为I=I

2

cos2θ

2

/2．

因此光源的光强之比I

2

/I

1

=cos2θ

1

/cos2θ

2

=cos230º/cos260º=1/3．

9.44水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50，当光由水射向玻璃时，

起偏角为多少？若光由玻璃射向水时，起偏角又是多少？这两个角度数值上的关

系如何？

[解答]当光由水射向玻璃时，水的折射率为n

1

，玻璃的折射率为n

2

，根据布

儒斯特定律

tani

0

=n

2

/n

1

=1.1278，

得起偏角为i

0

=48.44º．

当光由玻璃射向水时，玻璃的折射率为n

1

，水的折射率为n

2

，根据布儒斯特定律

tani

0

=n

2

/n

1

=0.8867，

得起偏角为i

0

=41.56º．

可见：两个角度互为余角．