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2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（）

A

．

1

．

1B

．

1C

．

2

．

9D

．

2

．

8

2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）

A

．

5

3

B

．2C

．

5

2

D

．3

3．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分

100

分），下表为高一

·

一班

40

名同学的数学竞赛成绩：

555759688

98956994

971607960

82959968

如图的算法框图中输入的

i

a

为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出

m

，

n

的值，则

mn

（）

A

．

6B

．

8C

．

10D

．

12

4．已知直线

y

＝

k

（

x

﹣

1

）与抛物线

C

：

y2＝

4

x

交于

A

，

B

两点，直线

y

＝

2

k

（

x

﹣

2

）与抛物线

D

：

y2＝

8

x

交于

M

，

N

两点，设

λ

＝

|

AB

|

﹣

2|

MN

|

，则（）

A

．

λ

＜﹣

16B

．

λ

＝﹣

16C

．﹣

12

＜

λ

＜

0D

．

λ

＝﹣

12

5．运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为

99

，则判断框中可以填（）

A

．1SB

．2SC

．

lg99S

D

．

lg98S

6．已知下列命题：

①“2,56xRxx”

的否定是

“2,56xRxx”

；

②已知

,pq

为两个命题，若

“

pq

”

为假命题，则

“pq

”

为真命题；

③“2019a”

是

“2020a”

的充分不必要条件；

④“

若

0xy

，则0x且

0y

”

的逆否命题为真命题

.

其中真命题的序号为（）

A

．③④

B

．①②

C

．①③

D

．②④

7．若0ab，则下列不等式不能成立的是（）

A

．

11

ab

B

．

11

aba





C

．

|a|>|b|

D

．22ab

8．已知向量0,2a，23,bx

，且a与b的夹角为

3



，则

x

=

（）

A

．

-2B

．

2C

．

1D

．

-1

9．为实现国民经济新

“

三步走

”

的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在

2015

年以前的年均脱贫率（脱

离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．

2015

年开始，全面实施

“

精准扶贫

”

政策后，扶贫效果明显提高，其

中

2019

年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占

2019

年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率

见下表：

实施项目种植业养殖业工厂就业服务业

参加用户比40%40%10%10%

脱贫率95%95%

90%90%

那么2019年的年脱贫率是实施

“

精准扶贫

”

政策前的年均脱贫率的（）

A

．

27

28

倍

B

．

47

35

倍

C

．

48

35

倍

D

．

7

5

倍

10．已知实数

,xy

满足不等式组

10

240

440

xy

xy

xy

















，则

34xy

的最小值为（）

A

．2B

．3C

．4D

．5

11．函数

1

()fxax

x



在

(2,)

上单调递增，则实数

a

的取值范围是（）

A

．

1

,

4









B

．

1

,

4











C

．

[1,)

D

．

1

,

4











12．已知0x是函数

()(tan)fxxaxx

的极大值点，则

a

的取值范围是

A

．

(,1)

B

．

(,1]

C

．

[0,)

D

．

[1,)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知两点

(1,0)A

，

(1,0)B

，若直线

0xya

上存在点

(,)Pxy

满足0APBP，则实数

a

满足的取值范围

是

__________

．

14．若复数

z

满足23zzi，其中i是虚数单位，z是

z

的共轭复数，则

z

________.

15．若函数()(1)(1)nnnrrnrnnn

nnnnn

fxCxCxCxCxCx

，其中nN且2n，则

(1)f





______________

．

16．设函数ln,fxxaxbabR

，当1,xe

时，记fx

最大值为,Mab

，则,Mab

的最小值为

______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC中，角A，

B

，C所对的边分别为

a

，b，

c

，已知3b，8c，角A为锐角，ABC的面

积为63.

（

1

）求角A的大小；

（

2

）求

a

的值

.

18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为

2

的菱形，

60BAD

，2PBPD.

（

1

）证明：平面PAC平面

ABCD

；

（

2

）设

H

在

AC

上，

1

3

AHAC，若

6

3

PH，求

PH

与平面

PBC

所成角的正弦值

.

19．（12分）已知函数

()|1|2||,0fxxxaa

.

（

1

）当

1a

时，求不等式

()1fx

的解集；

（

2

）若

()fx

的图象与

x

轴围成的三角形面积大于

6

，求

a

的取值范围

.

20．（12分）如图，在三棱柱ADEBCF中，ABCD是边长为

2

的菱形，且

60BAD

，CDEF是矩形，1ED，

且平面CDEF平面ABCD，P点在线段BC上移动（P不与C重合），H是AE的中点

.

（

1

）当四面体EDPC的外接球的表面积为5π时，证明：//HB.

平面EDP

（

2

）当四面体EDPC的体积最大时，求平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值

.

21．（12分）设数列

n

a

满足21

123

333

3

n

n

n

aaaa

，*nN.

（

1

）求数列

n

a

的通项公式；

（

2

）设

,

1

,n

n

nn

b

n

a













为奇数

为偶数

，求数列

n

b

的前

n

项和

n

S

.

22．（10分）已知函数2

1

()ln(0)

2

fxaxxa

x

.

（

1

）讨论函数

f

(

x

)

的极值点的个数；

（

2

）若

f

(

x

)

有两个极值点

12

,,xx

证明12

12

()()

3

ln2

4

fxfx

xx







.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

C

【解析】

根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题

.

【详解】

初始值0n，1S

第一次循环：1n，

11

1

22

S

；

第二次循环：2n，

121

233

S

；

第三次循环：3n，

131

344

S；

第四次循环：4n，

141

455

S

；

第五次循环：5n，

151

566

S

；

第六次循环：6n，

161

677

S

；

第七次循环：7n，

171

788

S

；

第九次循环：

8n

，

181

899

S

；

第十次循环：9n，

191

0.1

91010

S

；

所以输出

1

90.9

10

S.

故选：

C

【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题

.

2、

A

【解析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为

1

，圆柱的底面

半径为

1

，高为

1

．再由球与圆柱体积公式求解．

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，

半球的半径为

1

，圆柱的底面半径为

1

，高为

1

．

则几何体的体积为32

145

111

233

V





．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

3、

D

【解析】

根据程序框图判断出

,nm

的意义，由此求得

,mn

的值，进而求得

mn

的值

.

【详解】

由题意可得

n

的取值为成绩大于等于

90

的人数，

m

的取值为成绩大于等于

60

且小于

90

的人数，故24m，12n，

所以241212mn.

故选：

D

【点睛】

本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识

.

4、

D

【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得

2

4

4AB

k

，

2

4

4AB

k

，然后计算，可得结果

.

【详解】

设

1122

,,,AxyBxy

，

联立2222

2

1

240

4

ykx

kxkxk

yx













（）

则

2

12

22

244

2

k

xx

kk



，

因为直线1ykx

经过

C

的焦点，

所以

12

2

4

4xx

k

ApB.

同理可得

2

2

8MN

k



，

所以41612

故选：

D.

【点睛】

本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

5、

C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果

.

【详解】

运行该程序：

第一次，1i，

lg2S

；

第二次，2i，

3

lg2lglg3

2

S

；

第三次，3i，

4

lg3lglg4

3

S

，

…

；

第九十八次，98i，

99

lg98lglg99

98

S

；

第九十九次，99i，

100

lg99lglg1002

99

S

，

此时要输出i的值为

99.

此时

299Slg

.

故选：

C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题

.

6、

B

【解析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．

【详解】

“2,56xRxx”

的否定是

“2,56xRxx”

，正确；

已知为两个命题，若

“

pq

”

为假命题，则

“pq

”

为真命题，正确；

“2019a”

是

“2020a”

的必要不充分条件

,

错误；

“

若

0xy

，则0x且

0y

”

是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误

.

故选：

B

．

【点睛】

本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．

7、

B

【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可

.

【详解】

选项

A

：由于0ab，即0ab，0ba，所以

11

0

ba

abab





，所以

11

ab

，所以成立；

选项

B

：由于0ab，即0ab，所以

11

0

()

b

abaaab





，所以

11

aba





，所以不成立；

选项

C

：由于0ab，所以0ab，所以

||||ab

，所以成立；

选项

D

：由于0ab，所以0ab，所以

||||ab

，所以22ab，所以成立

.

故选：

B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题

.

8、

B

【解析】

由题意

cos

3

ab

ab





，代入解方程即可得解

.

【详解】

由题意

2

21

cos

32

212

abx

ab

x







，

所以0x，且2212xx，解得2x.

故选：

B.

【点睛】

本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题

.

9、

B

【解析】

设贫困户总数为

a

，利用表中数据可得脱贫率0000

0000

2409521090P

，进而可求解

.

【详解】

设贫困户总数为

a

，脱贫率

0000

0000

0

0

2409521090

94

aa

P

a





，

所以

0

0

0

0

9447

7035



.

故2019年的年脱贫率是实施

“

精准扶贫

”

政策前的年均脱贫率的

47

35

倍

.

故选：

B

【点睛】

本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题

.

10、

B

【解析】

作出约束条件的可行域，在可行域内求

34zxy

的最小值即为

34xy

的最小值，作

3

4

yx，平移直线即可求解

.

【详解】

作出实数

,xy

满足不等式组

10

240

440

xy

xy

xy

















的可行域，如图（阴影部分）

令

34zxy

，则

3

44

z

yx

，

作出

3

4

yx，平移直线，当直线经过点

1,0A

时，截距最小，

故

min

3103z

，

即

34xy

的最小值为3.

故选：

B

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题

.

11、

B

【解析】

对

a

分类讨论，当

0a

，函数

()fx

在

(0,)

单调递减，当0a，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可

求解

.

【详解】

当

0a

时，函数

1

()fxax

x

在

(2,)

上单调递减，

所以0a，

1

()fxax

x

的递增区间是

1

,

a









，

所以

1

2

a



，即

1

4

a.

故选

:B.

【点睛】

本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题

.

12、

B

【解析】

方法一：令

()tangxaxx

，则

(())fxxgx

，

2

1

()

cos

g'xa

x



，

当1a，

(,)

22

x





时，

'()0gx

，

()gx

单调递减，

∴

(,0)

2

x





时，

()(0)0gxg

，

()()0fxxgx

，且

()()()>0fxxg'xgx





，

∴

()0f'x

，即

()fx

在

(,0)

2





上单调递增，

(0,)

2

x



时，

()(0)0gxg

，

()()0fxxgx

，且

()()+()<0f'x=xg'xgx

，

∴

()0f'x

，即

()fx

在

(0,)

2



上单调递减，∴0x是函数

()fx

的极大值点，∴1a满足题意；

当

1a

时，存在

(0,)

2

t





使得

1

cost

a



，即

'()0gt

，

又

2

1

()

cos

g'xa

x



在

(0,)

2



上单调递减，∴

,()0xt

时，

()(0)0gxg

，所以

()()0fxxgx

，

这与0x是函数

()fx

的极大值点矛盾．

综上，1a．故选

B

．

方法二：依据极值的定义，要使0x是函数

()fx

的极大值点，须在0x的左侧附近，

()0fx

，即

tan0axx

；

在0x的右侧附近，

()0fx

，即

tan0axx

．易知，

1a

时，

yax

与

tanyx

相切于原点，所以根据

yax

与

tanyx

的图象关系，可得1a，故选

B

．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、

2,2







【解析】

问题转化为求直线l与圆221xy有公共点时，

a

的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．

【详解】

解：直线

:0lxya

，点

(1,0)A

，

(1,0)B

，

直线l上存在点P满足

0APBP

，

P的轨迹方程是221xy．



如图，直线l与圆221xy有公共点，



圆心

(0,0)O

到直线

:0lxya

的距离：

||

1

2

a

d

，

解得22a．



实数

a

的取值范围为

2,2







．

故答案为：

2,2







．

【点睛】

本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

思想、函数与方程思想，属于中档题．

14、1i

【解析】

设zabi，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得

,ab

的值

.

【详解】

设zabi，由23zzi，得2233abiabiabii，所以

1,1ab

，所以1zi.

故答案为：1i

【点睛】

本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题

.

15、

0

【解析】

先化简函数fx

的解析式，在求出fx



，从而求得1f



的值

.

【详解】

由题意，函数()(1)(1)nnnrrnrnnn

nnnnn

fxCxCxCxCxCx

可化简为

21012221()(1)(1)nrrrnnnn

nnnnn

fxxCCxCxCxCxxx





，

所以22211221()(21)(1)(1)(1)[21(31)]nnnnnnfxnxxxnxxxnnx，

所以

()01f





.

故答案为：

0.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解

导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力

.

16、

2

e

【解析】

易知maxln,lnfxxaxbxaxb

，设lnGxxxab

，lnFxxxab

，利用绝

对值不等式的性质即可得解．

【详解】

maxln,lnfxxaxbxaxb

，

设lnGxxxab

，lnFxxxab

，

令lnhxxx

，'

1

1hx

x



当1,xe

时，'0hx

，所以hx

单调递减

令lnnxxx

，'

1

1nx

x



当1,xe

时，'0nx

，所以nx

单调递增

所以当1,xe

时，

max1,1Gxabaeb

，

max1,1Fxabaeb

，

则4,1111Mababaebaebab

则4,22222Mabeaeae

，

即,

2

e

Mab

故答案为：

2

e

.

【点睛】

本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（

1

）

3



；（

2

）

7.

【解析】

分析：（

1

）由三角形面积公式和已知条件求得

sinA

的值，进而求得

A

；（

2

）利用余弦定理公式和（

1

）中求得的

A

求

得

a

．

详解：（

1

）∵

1

sin

2ABC

SbcA





1

38sin63

2

A

，

∴

3

sin

2

A，

∵A为锐角，

∴

3

A





；

（

2

）由余弦定理得：

222cosabcbcA

1

9642387

2

.

点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题

.

对余弦定理一定要熟记

两种形式：（

1

）2222cosabcbcA；（

2

）

222

cos

2

bca

A

bc



，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件

.

另外，

在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用

.

18、（

1

）见解析；（

2

）

6

3

【解析】

（

1

）记

ACBDO

，连结PO，推导出BDPO，BD平面PAC，由此能证明平面PAC平面ABCD；（

2

）

推导出PHAC，PH平面ABCD，连结HB，由题意得H为ABD的重心，BCBH，从而平面PHB平

面PBC，进而HPB是PH与平面PBC所成角，由此能求出PH与平面PBC所成角的正弦值．

【详解】

（

1

）证明：记

ACBDO

，

连结PO，PBD中，OBOD，PBPD，BDPO，

BDAC，

ACPOO

，BD平面PAC，

BD平面ABCD，



平面PAC平面ABCD．

（

2

）POB中，

2

POB





，1OB，2PB，1PO，

3AO，

3

3

OH，

22

62

()

33

PH

，222PHPOOH

，

PHAC

，PH平面ABCD，∴PH

BC，

连结HB，由题意得H为ABD的重心，

6

HBO





，

2

HBC



，BCBH，BC平面PHB



平面PHB平面PBC，∴H在平面PBC的射影落在PB上，

HPB是PH与平面PBC所成角，

RtPHB中，

6

3

PH，2PB，

23

3

BH

，

2316

sin

33

2

BH

BPH

BP



．

PH与平面PBC所成角的正弦值为

6

3

．

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题．

19、（Ⅰ）

2

{|2}

3

xx

（Ⅱ）（

2

，

+∞

）

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)

由题意零点分段即可确定不等式的解集为

2

2

3

xx









；

(Ⅱ)

由题意可得面积函数为为22

1

3

a

，求解不等式22

16

3

a

可得实数

a

的取值范围为2,

试题解析：

（

I

）当1a时，1fx

化为

12110xx

，

当1x时，不等式化为40x，无解；

当11x时，不等式化为320x，解得

2

1

3

x

；

当1x时，不等式化为20x，解得12x．

所以1fx

的解集为

2

2

3

xx









．

（

II

）由题设可得，

12,1,

312,1,

12,,

xax

fxxaxa

xaxa

















所以函数fx

的图像与

x

轴围成的三角形的三个顶点分别为

21

,0

3

a

A









，21,0Ba

，,1Caa

，

ABC的面积为22

1

3

a

．

由题设得22

16

3

a

，故2a．

所以

a

的取值范围为2,

20、（

1

）证明见解析（

2

）

7

8

【解析】

（

1

）由题意，先求得P为BC的中点，再证明平面//HMB平面EDP，进而可得结论；

（

2

）由题意，当点P位于点

B

时，四面体EDPC的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可

.

【详解】

（

1

）证明：当四面体EDPC的外接球的表面积为5π时

.

则其外接球的半径为

5

2

.

因为ABCD时边长为

2

的菱形，CDEF是矩形

.

1ED，且平面CDEF平面ABCD.

则EDABCD平面，5EC.

则

EC

为四面体EDPC外接球的直径

.

所以90EPC，即CBEP.

由题意，CBED，

EPEDE

，所以CBDP.

因为60BADBCD，所以P为BC的中点

.

记AD的中点为M，连接MH，MB

.

则

MBDP

，

MHDE

，DEDPD，所以平面//HMB平面EDP.

因为HB平面HMB，所以//HB平面EDP.

（

2

）由题意，

ED

平面ABCD，则三棱锥EDPC的高不变

.

当四面体EDPC的体积最大时，DPC△的面积最大

.

所以当点P位于点B时，四面体EDPC的体积最大

.

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz

.

则0,0,0D

，0,0,1E

，3,1,0B

，

311

,,

222

H









，0,2,0C

.

所以3,1,0DB

，

311

,,

222

DH









，0,2,1EC，3,1,1EB

.

设平面HDB的法向量为

111

,,mxyz.

则

11

111

30,

311

0,

222

DBmxy

DHmxyz















令

1

1x

，得1,3,23m

.

设平面EBC的一个法向量为

222

,,nxyz.

则

22

222

20,

30,

ECnyz

EBnxyz















令

2

3y

，得3,3,6n

.

设平面HDP与平面EPC所成锐二面角是



，则

7

cos

8







mn

mn

.

所以当四面体EDPC的体积最大时，平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值为

7

8

.

【点睛】

本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面

平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．

21、（

1

）

1

3n

n

a

；（

2

）





2

1

2

219

31,

48

9

31,

48

n

n

n

nn

n

S

n

n

























为奇数

为偶数

.

【解析】

（

1

）令1n可求得

1

a的值，令2n时，由21

123

333

3

n

n

n

aaaa

可得出

22

1231

1

333

3

n

n

n

aaaa







，两式相减可得

n

a的表达式，然后对

1

a是否满足

n

a在2n时的表达式进行检

验，由此可得出数列

n

a

的通项公式；

（

2

）求出数列

n

b

的通项公式，对

n

分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的

求和公式可求得结果

.

【详解】

（

1

）21

123

333

3

n

n

n

aaaa

，

当1n时，

1

1

3

a

；

当2n时，由21

123

333

3

n

n

n

aaaa

得22

1231

1

333

3

n

n

n

aaaa







，

两式相减得1

1

3

3

n

n

a

，

1

3n

n

a.

1

1

3

a

满足

1

3n

n

a.

因此，数列

n

a

的通项公式为

1

3n

n

a

；

（

2

）

,

3,n

n

nn

b

n









为奇数

为偶数

.

①当

n

为奇数时，

1

2

241

11

919

1

1

22

1333312

2219

n

n

n

nn

n

Sn



























2

1

219

31

48

n

nn





；

②当

n

为偶数时，







2

2

24

919

11

9

2

13331331

21948

n

nn

n

n

n

n

Sn



















.

综上所述，





2

1

2

219

31,

48

9

31,

48

n

n

n

nn

n

S

n

n

























为奇数

为偶数

.

【点睛】

本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题

.

22、（

1

）见解析（

2

）见解析

【解析】

（

1

）求得函数fx

的定义域和导函数'fx

，对

a

分成

11

0,,0

88

aaa

三种情况进行分类讨论，判断出fx

的极值点个数

.

（

2

）由（

1

）知

1

(0,)

8

a

，结合韦达定理求得

12

,xx

的关系式，由此化简12

12

()()fxfx

xx





的表达式为

1

2ln2

22

a

aa

，

通过构造函数法，结合导数证得

13

2ln2ln2

224

a

aa，由此证得12

12

()()

3

ln2

4

fxfx

xx







成立

.

【详解】

（

1

）函数22

1

()lnln2

2

fxaxxxaxx

x



的定义域为

(0,)x

得

2121

()21,(0,)

axx

fxaxx

xx





，

（

i

）当0a时；

1

()

x

fx

x







，

因为

(0,1)x

时，()0,(1,)fxx时，

()0fx





，

所以1x是函数

()fx

的一个极小值点；

（

ii

）若0a时，

若180a，即

1

8

a

时，()0fx，

()fx

在

(0,)

是减函数，

()fx

无极值点

.

若180a，即

1

0

8

a

时，

2()210fxaxx有两根

121212

11

,,0,0

22

xxxxxx

aa



，

12

0,0xx

不妨设

12

0xx

当

1

(0,)xx

和

2

(,)xx

时，

()0fx





，

当

12

(,)xxx

时，

()0fx





，

12

,xx

是函数

()fx

的两个极值点，

综上所述0a时，

()fx

仅有一个极值点；

1

8

a

时，

()fx

无极值点；

1

0

8

a

时，

()fx

有两个极值点．

（

2

）由（

1

）知，当且仅当

1

(0,)

8

a

时，

()fx

有极小值点

1

x和极大值点

2

x

，且

12

,xx是方程2210axx的两

根，

1212

11

,

22

xxxx

aa



，则

所以

22

12

1122

1212

()()

11

(lnln)(2)

22

fxfx

axxaxxa

xxxx







22

121212

[(ln2ln2)()()]2xxaxxxxa

22

121212

[ln(4)()()]2xxaxxxxa

2

2111

[ln()]2

42

aa

aaaa



111

(ln1)22ln2

24222

aa

aaa

aa



设

1

()2ln2

22

a

gaaa

，则

()2ln4

2

a

ga

，又

1

(0,)

8

a

，即

1

0

216

a



，

所以

1

()2ln42ln44ln440

216

a

ga

所以

()ga

是

1

(0,)

8

上的单调减函数，

13

()()ln2

84

gag

()fx

有两个极值点

12

,xx

，则12

12

()()

3

ln2

4

fxfx

xx







【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与

转化的数学思想方法，属于中档题

.