勾股定理教案

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新人教版八年级下册数学第十七章勾股定理教案

勾股定理（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定

理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，

促其勤奋学习。

二、教学重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明.

2．难点：勾股定理的证明.

三、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了

许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，

发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人"，那么他们一定会识别

这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非

常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把

一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形，勾广三,股修四，弦隅五。”这句

话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股)的长

是4,那么斜边（弦)的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系,即32+42=52，52+122=132，

那么就有勾2+股2=弦2.

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

完成23页的探究,补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？

A的面积（单位面

积）

B的面积（单位面

积)

C的面积(单位面

积）

图1

图2

由此我们可以得出什么结论？可猜想：

命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c,

那么。

四、合作探究：

方法1：已知：在△ABC中,∠C=90°，∠A、∠B、∠

C的对边为a、b、c。

求证:a2＋b2=c2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹

塑纸，让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S

△

+S

小正

=S

大正

c

b

a

D

C

AB

2

4×

2

1

ab＋（b－a）2=c2，化简可证.

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代

无名数学家之手.激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

方法2：已知：在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

2

1

ab＋c2

右边S=(a+b)2

左边和右边面积相等，即

4×

2

1

ab＋c2=（a+b）2

化简可证。

五、课堂小结

六、作业P28页习题第1题

七、教学反思

勾股定理(二）

一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算.

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算.

2．难点：勾股定理的灵活运用。

三、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在

应用。

四、合作探究

问题（1)在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系?

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过?

②若薄木板长3米，宽1。5米呢？

③若薄木板长3米，宽2。2米呢?为什么?

b

b

b

b

c

c

c

c

a

a

a

a

b

b

b

b

a

a

c

c

a

a

B

C

1m

2m

A

3

例：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为

2。5米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C。

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

五、课堂小结

六、作业P28页习题第2、5题

七、教学反思

勾股定理（三）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1．重点:勾股定理的综合应用。

2．难点:勾股定理的综合应用。

三、课堂引入

复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。

四、合作探究：

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点

与实数一一对应的理论。如图,已知OA=OB,

（1)说出数轴上点A所表示的数.

O

BD

C

A

C

A

O

B

O

D

4

图17.2-2

(2）在数轴上作出8对应的点？

A

O

1

B

-4

-3

1

2

3

-1-20

变式训练：在数轴上画出表示22,13的点。

五、课堂小结

六、作业P28页习题第6题

七、教学反思

勾股定理的逆定理（一）

一、教学目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法.

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点

1．重点:掌握勾股定理的逆定理及证明。

2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

三、课堂引入

创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对

比，从勾股定理的逆命题进行猜想.

四、合作交流：

1、如图17.2—2，若△ABC的三边长

a

、

b

、

c

满足

222cba

，试证明△

ABC是直角三角形,请简要地写出证明过程．

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形,然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角

形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

5

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解

决.

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A

1

B

1

=c，则通过

三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的

兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，

由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

2、。此定理与勾股定理之间有怎样的关系？

（1）什么叫互为逆命题

。

（2）什么叫互为逆定理

。

(3)任何一个命题都有_____，但任何一个定理未必都有__

3.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？

（1）两直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等；

（3）全等三角形的对应角相等;

（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但

要分清题设和结论,并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系,原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，

也可能一真一假，还可能都假。

解略。

例1:判断由线段

a

、

b

、

c

组成的三角形是不是直角三角形:

（1)

17,8,15cba

；（2)

15,14,13cba

．

(3）

25,24,7cba

;（4）

5.2,2,5.1cba

；

五、课堂小结

六、作业P34页习题第1题

七、教学反思

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勾股定理的逆定理（二）

一、教学目标

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点

1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、课堂引入

创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识

和数学方法。

四、自学展示:

已知:如图，四边形ABCD,AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5,AD=3。

求:四边形ABCD的面积。

归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形

分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB

（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5

勾股数,△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角

形的面积.

五、合作探究

例2“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿

一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”

号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30

海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”

号沿哪个方向航行吗？

分析：⑴了解方位角,及方位名词;

⑵依题意画出图形;

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1。5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理,知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°.

六、课堂小结

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理"的意识。

七、作业P34页习题第3题

八、教学反思

P

N

E

S

Q

R

A

BC

D

E

7

勾股定理复习(一）

教学目标

1。理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.

2。勾股定理的应用。

3。会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形。

重点：掌握勾股定理及其逆定理。

难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.

一、复习回顾

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理,

并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学

习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

1。勾股定理：

（1）直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说,对于任意的

直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：

这就是勾股定理．

(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的

重要依据．

22222222,,bacacbbca

,

2222,acbbca

．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形

面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________。”

这一命题是勾股定理的逆定理。它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的

关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法。利用已知三

角形的边a，b，c（a2+b2=c2）,先构造一个直角边为a,b的直角三角形,由勾股定

理证明第三边为c，进而通过“SSS"证明两个三角形全等,证明定理成立.

3.勾股定理的作用:

（1)已知直角三角形的两边，求第三边；

(2）在数轴上作出表示

n

（n为正整数）的点．

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定

理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定

理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角

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形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利

用勾股定理的逆定理，通过计算来证明,体现了数形结合的思想．

（3）三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若

222cba

，则三角

形是直角三角形；若

222cba

,则三角形是锐角三角形；若

cba22

，则三

角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

二、合作交流：

例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周

长和面积分别是多少？

例2：如图,在四边形ABCD中，∠C=90°,AB=13,BC=4，CD=3，AD=12，求证:AD

⊥BD．

例3：。如图

ABC

中，

90C

,

12

，

1.5CD

,

2.5BD

，求

AC

的长

例4：。如图有两棵树，一棵高

8cm

，另一棵高

2cm

，两树相距

8cm

，一只小鸟

从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了

m

A

BC

D

E

四、学习检测：

2

1

E

D

C

B

A

9

1。如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是（）

A．7,24，25B．3

2

1

，4

2

1

，5

2

1

C．3，4，5D．4，7

2

1

，8

2

1

2。如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原

来的(）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

3。直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（)

A．6cmB．8．5cmC．

13

30

cmD．

13

60

cm

4.在△ABC中，三条边的长分别为a,b，c，a＝n2－1，b＝2n,c＝n2+1（n＞1，且

n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角

5．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖，每分

钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距(）

A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm

6．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm,则它的周长为．

7．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为．

8．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是。

勾股定理复习（课时二)

教学目标

1。掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾

股定理和逆定理来解决实际问题．

2。经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．

重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．

难点:应用勾股定理以及逆定理．

考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm,则斜边长为______．

2．已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________．

3．在数轴上作出表示10的点．

4．已知,如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．

求①AD的长；②ΔABC的面积．

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考点二、利用列方程求线段的长

1．如图，铁路上A，B两点相距25km,C，D为两村庄，DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,

已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C，

D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2。如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站(D

点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点),使之与该校A及车

站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5(2)5、12、13（3)8、

15、17

（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

2.若三角形的三别是a2+b2，2ab,a2—b2（a〉b>0)，则这个三角形是.

3.如图1，在△ABC中，AD是高，且

CDBDAD2

，求证：△ABC为直角三角形。

考点四、灵活变通

1。在Rt△ABC中，a,b,c分别是三条边,∠B=90°，已知a=6,b=10，则边长c=

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm,则以斜

边为边长的正方形的面积为_________2cm．

3.如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm，一只蚂蚁沿外

壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm

4。如图：带阴影部分的半圆的面积是（



取3）

A

D

E

B

C

A

B

68

11

5.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱

的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线

的长是。

6.若一个三角形的周长12

3cm,一边长为3

3cm,其他

两边之差为

3cm，则这个三角形是

_____________________．

7。如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯,

则该地毯的长度至少是米。

考点五、能力提升

1.如图，四边形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一点，

且

BCCE

4

1



．你能说明∠AFE是直角吗？

2。如图，有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿

直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合,你能求出CD的长吗？

C

B

A

D

E