中考数学

第1页（共22页）

中考数学试卷真题及答案

一、选择题：本大题共

6

小题，每小题

4

分，共

24

分

1

．如果

a

与

3

互为倒数，那么

a

是（）

A

．﹣

3B

．

3C

．

1

3



D

．

1

3

2

．下列单项式中，与2ab

是同类项的（）

A

．22ab

B

．22ab

C

．2ab

D

．

3ab

3

．如果将抛物线22yx

向下平移

1

个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）

A

．212yxB

．212yxC

．21yxD

．23yx

4

．某校调查了

20

名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这

20

名男生该周参加篮

球运动次数的平均数是（）

次数

2345

人数

22106

A

．

3

次

B

．

3.5

次

C

．

4

次

D

．

4.5

次

5

．已知在△

ABC

中，

ABAC

，AD是角平分线，点D在边

BC

上，设

BCa

，

ADb

，那么向量

AC

用向量

a

、

b

表示为（）

A

．

1

2

ab

B

．

1

2

ab

C

．

1

2

ab

D

．

1

2

ab

6

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

C=90°

，

AC=4

，

BC=7

，点

D

在边

BC

上，

CD=3

，⊙

A

的半径长为

3

，⊙

D

与⊙

A

相交，且点

B

在⊙

D

外，那么⊙

D

的半径长

r

的取值范围是（）

A

．

1

＜

r

＜

4B

．

2

＜

r

＜

4C

．

1

＜

r

＜

8D

．

2

＜

r

＜

8

二、填空题：本大题共

12

小题，每小题

4

分，共

48

分

7

．计算：3aa

．

8

．函数

3

2

y

x





的定义域是．

9

．方程

12x

的解是．

10

．如果

1

,3

2

ab

，那么代数式

2ab

的值为．

第2页（共22页）

11

．不等式组

25

10

x

x











的解集是．

12

．如果关于

x

的方程230xxk

有两个相等的实数根，那么实数

k

的值是．

13

．已知反比例函数0

k

yk

x



，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，

y

的值随着

x

的值增大而减

小，那么

k

的取值范围是．

14

．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有

1

点、

2

点、

…6

点的标记，掷一次骰子，向上

的一面出现的点数是

3

的倍数的概率是．

15

．在△

ABC

中，点

D

、

E

分别是边

AB

、

AC

的中点，那么△

ADE

的面积与△

ABC

的面积的比是．

16

．今年

5

月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图

1

和图

2

是收集数

据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数

是．

17

．如图，航拍无人机从

A

处测得一幢建筑物顶部

B

的仰角为

30°

，测得底部

C

的俯角为

60°

，此时航拍

无人机与该建筑物的水平距离

AD

为

90

米，那么该建筑物的高度

BC

约为米．（精确到

1

米，

参考数据：

31.73

）

18

．如图，矩形

ABCD

中，

BC=2

，将矩形

ABCD

绕点

D

顺时针旋转

90°

，点

A

、

C

分别落在点

A′

、

C′

处．如

果点

A′

、

C′

、

B

在同一条直线上，那么

tan

∠

ABA′

的值为．

三、解答题：本大题共

7

小题，共

78

分

19

．计算：

2

1

2

1

31412

3









．

20

．解方程：

2

14

1

24xx





．

第3页（共22页）

21

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

ACB=90°

，

AC=BC=3

，点

D

在边

AC

上，且

AD=2CD

，

DE

⊥

AB

，垂足为点

E

，联结

CE

，求：

（

1

）线段

BE

的长；

（

2

）∠

ECB

的余切值．

22

．某物流公司引进

A

、

B

两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运

5

小时，

A

种机器人于某日

0

时开始搬运，过了

1

小时，

B

种机器人也开始搬运，如图，线段

OG

表示

A

种机器人的

搬运量

y

A

（千克）与时间

x

（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（

1

）求

y

B

关于

x

的函数解析式；

（

2

）如果

A

、

B

两种机器人连续搬运

5

个小时，那么

B

种机器人比

A

种机器人多搬运了多少千克？

23

．已知：如图，⊙

O

是△

ABC

的外接圆，

ABAC

，点

D

在边

BC

上，

AE

∥

BC

，

AE=BD

．

（

1

）求证：

AD=CE

；

（

2

）如果点

G

在线段

DC

上（不与点

D

重合），且

AG=AD

，求证：四边形

AGCE

是平行四边形．

第4页（共22页）

24

．如图，抛物线25yaxbx0a

经过点

4,5A

，与

x

轴的负半轴交于点

B

，与

y

轴交于点

C

，且

OC=5OB

，抛物线的顶点为点

D

．

（

1

）求这条抛物线的表达式；

（

2

）联结

AB

、

BC

、

CD

、

DA

，求四边形

ABCD

的面积；

（

3

）如果点

E

在

y

轴的正半轴上，且∠

BEO=

∠

ABC

，求点

E

的坐标．

25

．如图所示，梯形

ABCD

中，

AB

∥

DC

，∠

B=90°

，

AD=15

，

AB=16

，

BC=12

，点

E

是边

AB

上的动点，

点

F

是射线

CD

上一点，射线

ED

和射线

AF

交于点

G

，且∠

AGE=

∠

DAB

．

（

1

）求线段

CD

的长；

（

2

）如果△

AEC

是以

EG

为腰的等腰三角形，求线段

AE

的长；

（

3

）如果点

F

在边

CD

上（不与点

C

、

D

重合），设

AE=x

，

DF=y

，求

y

关于

x

的函数解析式，并写出

x

的取值范围．

第5页（共22页）

2016

年上海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共

6

小题，每小题

4

分，共

24

分

1

．如果

a

与

3

互为倒数，那么

a

是（）

A

．﹣

3B

．

3C

．﹣

D

．

【考点】倒数．

【分析】根据乘积为

1

的两个数互为倒数，可得答案．

【解答】解：由

a

与

3

互为倒数，得

a

是，

故选：

D

．

【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．

2

．下列单项式中，与

a2b

是同类项的是（）

A

．

2a2bB

．

a2b2C

．

ab2D

．

3ab

【考点】同类项．

【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．

【解答】解：

A

、

2a2b

与

a2b

所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；

B

、

a2b2

与

a2b

所含字母相同，但相同字母

b

的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；

C

、

ab2

与

a2b

所含字母相同，但相同字母

a

的指数不相同，不是同类项，本选项错误；

D

、

3ab

与

a2b

所含字母相同，但相同字母

a

的指数不相同，不是同类项，本选项错误．

故选

A

．

【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．

3

．如果将抛物线

y=x2+2

向下平移

1

个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）

A

．

y=

（

x

﹣

1

）2+2B

．

y=

（

x+1

）2+2C

．

y=x2+1D

．

y=x2+3

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．

第6页（共22页）

【解答】解：∵抛物线

y=x2+2

向下平移

1

个单位，

∴抛物线的解析式为

y=x2+2

﹣

1

，即

y=x2+1

．

故选

C

．

【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移

|a|

个单位长度纵坐标要减

|a|

．

4

．某校调查了

20

名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这

20

名男生该周参加篮

球运动次数的平均数是（）

次数

2345

人数

22106

A

．

3

次

B

．

3.5

次

C

．

4

次

D

．

4.5

次

【考点】加权平均数．

【分析】加权平均数：若

n

个数

x

1

，

x

2

，

x

3

，

…

，

x

n

的权分别是

w

1

，

w

2

，

w

3

，

…

，

w

n

，则

x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn

叫做这

n

个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．

【解答】解：（

2×2+3×2+4×10+5×6

）

÷20

=

（

4+6+40+30

）

÷20

80÷20

=4

（次）．

答：这

20

名男生该周参加篮球运动次数的平均数是

4

次．

【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求

2

，

3

，

4

，

5

这四个数的平均数，对平

均数的理解不正确．

5

．已知在△

ABC

中，

AB=AC

，

AD

是角平分线，点

D

在边

BC

上，设

=

，

=

，那么向量用向

量、表示为（）

A

．

+B

．﹣

C

．﹣

+D

．﹣﹣

【考点】

*

平面向量．

【分析】由△

ABC

中，

AD

是角平分线，结合等腰三角形的性质得出

BD=DC

，可求得的值，然后利用

三角形法则，求得答案．

【解答】解：如图所示：∵在△

ABC

中，

AB=AC

，

AD

是角平分线，

∴

BD=DC

，

∵

=

，

第7页（共22页）

∴

=

，

∵

=

，

∴

=+=+

．

故选：

A

．

【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．

6

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

C=90°

，

AC=4

，

BC=7

，点

D

在边

BC

上，

CD=3

，⊙

A

的半径长为

3

，⊙

D

与⊙

A

相交，且点

B

在⊙

D

外，那么⊙

D

的半径长

r

的取值范围是（）

A

．

1

＜

r

＜

4B

．

2

＜

r

＜

4C

．

1

＜

r

＜

8D

．

2

＜

r

＜

8

【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．

【分析】连接

AD

，

根据勾股定理得到

AD=5

，

根据圆与圆的位置关系得到

r

＞

5

﹣

3=2

，

由点

B

在⊙

D

外，

于是得到

r

＜

4

，

即可得到结论．

【解答】解：连接

AD

，

∵

AC=4

，

CD=3

，∠

C=90°

，

∴

AD=5

，

∵⊙

A

的半径长为

3

，⊙

D

与⊙

A

相交，

第8页（共22页）

∴

r

＞

5

﹣

3=2

，

∵

BC=7

，

∴

BD=4

，

∵点

B

在⊙

D

外，

∴

r

＜

4

，

∴⊙

D

的半径长

r

的取值范围是

2

＜

r

＜

4

，

故选

B

．

【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为

d

，则当

d=r

时，点在

圆上；当

d

＞

r

时，点在圆外；当

d

＜

r

时，点在圆内．

二、填空题：本大题共

12

小题，每小题

4

分，共

48

分

7

．计算：

a3÷a=a2

．

【考点】同底数幂的除法．

【专题】计算题．

【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．

【解答】解：

a3÷a=a3﹣1=a2

．

故答案为：

a2

．

【点评】本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．

8

．函数

y=

的定义域是

x≠2

．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．

【解答】解：函数

y=

的定义域是：

x≠2

．

故答案为：

x≠2

．

第9页（共22页）

【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．

9

．方程

=2

的解是

x=5

．

【考点】无理方程．

【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．

【解答】解：方程两边平方得，

x

﹣

1=4

，

解得，

x=5

，

把

x=5

代入方程，左边

=2

，右边

=2

，

左边

=

右边，

则

x=5

是原方程的解，

故答案为：

x=5

．

【点评】本题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关

键．

10

．如果

a=

，

b=

﹣

3

，那么代数式

2a+b

的值为﹣

2

．

【考点】代数式求值．

【专题】计算题；实数．

【分析】把

a

与

b

的值代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：当

a=

，

b=

﹣

3

时，

2a+b=1

﹣

3=

﹣

2

，

故答案为：﹣

2

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11

．不等式组的解集是

x

＜

1

．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：，

解①得

x

＜，

第10页（共22页）

解②得

x

＜

1

，

则不等式组的解集是

x

＜

1

．

故答案是：

x

＜

1

．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，

再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

12

．如果关于

x

的方程

x2

﹣

3x+k=0

有两个相等的实数根，那么实数

k

的值是．

【考点】根的判别式；解一元一次方程．

【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于

k

的一元一次方程，解方程即可得

出结论．

【解答】解：∵关于

x

的方程

x2

﹣

3x+k=0

有两个相等的实数根，

∴△

=

（﹣

3

）

2

﹣

4×1×k=9

﹣

4k=0

，

解得：

k=

．

故答案为：．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出

9

﹣

4k=0

．本题属于基础题，难

度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．

13

．已知反比例函数

y=

（

k≠0

），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，

y

的值随着

x

的值增大而

减小，那么

k

的取值范围是

k

＞

0

．

【考点】反比例函数的性质．

【分析】直接利用当

k

＞

0

，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内

y

随

x

的增大而减小；

当

k

＜

0

，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内

y

随

x

的增大而增大，进而得出答案．

【解答】解：∵反比例函数

y=

（

k≠0

），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，

y

的值随着

x

的值

增大而减小，

∴

k

的取值范围是：

k

＞

0

．

故答案为：

k

＞

0

．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．

第11页（共22页）

14

．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有

1

点、

2

点、

…6

点的标记，掷一次骰子，向上

的一面出现的点数是

3

的倍数的概率是．

【考点】概率公式．

【专题】计算题．

【分析】共有

6

种等可能的结果数，其中点数是

3

的倍数有

3

和

6

，从而利用概率公式可求出向上的一面

出现的点数是

3

的倍数的概率．

【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是

3

的倍数的概率

==

．

故答案为．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件

A

的概率

P

（

A

）

=

事件

A

可能出现的结果数除以所有可能出现

的结果数．

15

．在△

ABC

中，点

D

、

E

分别是边

AB

、

AC

的中点，那么△

ADE

的面积与△

ABC

的面积的比是．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】构建三角形中位线定理得

DE

∥

BC

，推出△

ADE

∽△

ABC

，所以

=

（）

2

，由此即可证

明．

【解答】解：如图，∵

AD=DB

，

AE=EC

，

∴

DE

∥

BC

．

DE=BC

，

∴△

ADE

∽△

ABC

，

∴

=

（）

2=

，

故答案为．

第12页（共22页）

【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比

等于相似比的平方，属于中考常考题型．

16

．今年

5

月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图

1

和图

2

是收集数

据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是

6000

．

【考点】条形统计图；扇形统计图．

【分析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．

【解答】解：由题意，得

4800÷40%=12000

，

公交

12000×50%=6000

，

故答案为：

6000

．

【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计

图能清楚地表示出每个项目的数据．

17

．如图，航拍无人机从

A

处测得一幢建筑物顶部

B

的仰角为

30°

，测得底部

C

的俯角为

60°

，此时航拍

无人机与该建筑物的水平距离

AD

为

90

米，那么该建筑物的高度

BC

约为

208

米．（精确到

1

米，参

考数据：

≈1.73

）

【考点】解直角三角形的应用

-

仰角俯角问题．

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出

BD

，

DC

的长，进而求出该建筑物的高度．

第13页（共22页）

【解答】解：由题意可得：

tan30°===

，

解得：

BD=30

，

tan60°===

，

解得：

DC=90

，

故该建筑物的高度为：

BC=BD+DC=120≈208

（

m

），

故答案为：

208

．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

18

．如图，矩形

ABCD

中，

BC=2

，将矩形

ABCD

绕点

D

顺时针旋转

90°

，点

A

、

C

分别落在点

A′

、

C′

处．如

果点

A′

、

C′

、

B

在同一条直线上，那么

tan

∠

ABA′

的值为．

【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．

【分析】设

AB=x

，根据平行线的性质列出比例式求出

x

的值，根据正切的定义求出

tan

∠

BA′C

，根据

∠

ABA′=

∠

BA′C

解答即可．

【解答】解：设

AB=x

，则

CD=x

，

A′C=x+2

，

∵

AD

∥

BC

，

∴

=

，即

=

，

解得，

x

1

=

﹣

1

，

x

2

=

﹣﹣

1

（舍去），

∵

AB

∥

CD

，

∴∠

ABA′=

∠

BA′C

，

tan

∠

BA′C===

，

∴

tan

∠

ABA′=

，

故答案为：．

第14页（共22页）

【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以

及锐角三角函数的定义是解题的关键．

三、解答题：本大题共

7

小题，共

78

分

19

．计算：

|

﹣

1|

﹣﹣

+

．

【考点】实数的运算；负整数指数幂．

【分析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．

【解答】解：原式

=

﹣

1

﹣

2

﹣

2+9=6

﹣

【点评】本题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法则，

难度不大．

20

．解方程：﹣

=1

．

【考点】解分式方程．

【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为

1

进行计算即可．

【解答】解：去分母得，

x+2

﹣

4=x2

﹣

4

，

移项、合并同类项得，

x2

﹣

x

﹣

2=0

，

解得

x

1

=2

，

x

2

=

﹣

1

，

经检验

x=2

是增根，舍去；

x=

﹣

1

是原方程的根，

所以原方程的根是

x=

﹣

1

．

【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化

为

1

是解题的关键，注意验根．

21

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

ACB=90°

，

AC=BC=3

，点

D

在边

AC

上，且

AD=2CD

，

DE

⊥

AB

，垂足为

点

E

，联结

CE

，求：

第15页（共22页）

（

1

）线段

BE

的长；

（

2

）∠

ECB

的余切值．

【考点】解直角三角形；勾股定理．

【分析】（

1

）由等腰直角三角形的性质得出∠

A=

∠

B=45°

，由勾股定理求出

AB=3

，求出∠

ADE=

∠

A=45°

，

由三角函数得出

AE=

，即可得出

BE

的长；

（

2

）过点

E

作

EH

⊥

BC

，垂足为点

H

，由三角函数求出

EH=BH=BE•cos45°=2

，得出

CH=1

，在

Rt

△

CHE

中，由三角函数求出

cot

∠

ECB==

即可．

【解答】解：（

1

）∵

AD=2CD

，

AC=3

，

∴

AD=2

，

∵在

Rt

△

ABC

中，∠

ACB=90°

，

AC=BC=3

，

∴∠

A=

∠

B=45°

，

AB===3

，

∵

DE

⊥

AB

，

∴∠

AED=90°

，∠

ADE=

∠

A=45°

，

∴

AE=AD•cos45°=2×=

，

∴

BE=AB

﹣

AE=3

﹣

=2

，

即线段

BE

的长为

2

；

（

2

）过点

E

作

EH

⊥

BC

，垂足为点

H

，如图所示：

∵在

Rt

△

BEH

中，∠

EHB=90°

，∠

B=45°

，

∴

EH=BH=BE•cos45°=2×=2

，

∵

BC=3

，

∴

CH=1

，

在

Rt

△

CHE

中，

cot

∠

ECB==

，

即∠

ECB

的余切值为．

第16页（共22页）

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三

角形的性质，通过作辅助线求出

CH

是解决问题（

2

）的关键．

22

．某物流公司引进

A

、

B

两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运

5

小时，

A

种机器人于某日

0

时开始搬运，过了

1

小时，

B

种机器人也开始搬运，如图，线段

OG

表示

A

种机器人

的搬运量

y

A

（千克）与时间

x

（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（

1

）求

y

B

关于

x

的函数解析式；

（

2

）如果

A

、

B

两种机器人连续搬运

5

个小时，那么

B

种机器人比

A

种机器人多搬运了多少千克？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（

1

）设设

y

B

关于

x

的函数解析式为

y

B

=kx+b

（

k≠0

），将点（

1

，

0

）、（

3

，

180

）代入一次函数

函数的解析式得到关于

k

，

b

的方程组，从而可求得函数的解析式；

（

2

）设

y

A

关于

x

的解析式为

y

A

=k

1

x

．将（

3

，

180

）代入可求得

y

A

关于

x

的解析式，然后将

x=6

，

x=5

代入一次函数和正比例函数的解析式求得

y

A

，

y

B

的值，最后求得

y

A

与

y

B

的差即可．

【解答】解：（

1

）设

y

B

关于

x

的函数解析式为

y

B

=kx+b

（

k≠0

）．

将点（

1

，

0

）、（

3

，

180

）代入得：，

解得：

k=90

，

b=

﹣

90

．

所以

y

B

关于

x

的函数解析式为

y

B

=90x

﹣

90

（

1≤x≤6

）．

（

2

）设

y

A

关于

x

的解析式为

y

A

=k

1

x

．

根据题意得：

3k

1

=180

．

解得：

k

1

=60

．

所以

y

A

=60x

．

第17页（共22页）

当

x=5

时，

y

A

=60×5=300

（千克）；

x=6

时，

y

B

=90×6

﹣

90=450

（千克）．

450

﹣

300=150

（千克）．

答：若果

A

、

B

两种机器人各连续搬运

5

小时，

B

种机器人比

A

种机器人多搬运了

150

千克．

【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．

23

．已知：如图，⊙

O

是△

ABC

的外接圆，

=

，点

D

在边

BC

上，

AE

∥

BC

，

AE=BD

．

（

1

）求证：

AD=CE

；

（

2

）如果点

G

在线段

DC

上（不与点

D

重合），且

AG=AD

，求证：四边形

AGCE

是平行四边形．

【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】（

1

）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠

B=

∠

ACB

，再根据全等三角形的判定得△

ABD

≌△

CAE

，

即可得出

AD=CE

；

（

2

）连接

AO

并延长，交边

BC

于点

H

，由等腰三角形的性质和外心的性质得出

AH

⊥

BC

，再由垂径定理

得

BH=CH

，得出

CG

与

AE

平行且相等．

【解答】证明：（

1

）在⊙

O

中，

∵

=

，

∴

AB=AC

，

∴∠

B=

∠

ACB

，

∵

AE

∥

BC

，

∴∠

EAC=

∠

ACB

，

∴∠

B=

∠

EAC

，

在△

ABD

和△

CAE

中，，

∴△

ABD

≌△

CAE

（

SAS

），

∴

AD=CE

；

（

2

）连接

AO

并延长，交边

BC

于点

H

，

第18页（共22页）

∵

=

，

OA

为半径，

∴

AH

⊥

BC

，

∴

BH=CH

，

∵

AD=AG

，

∴

DH=HG

，

∴

BH

﹣

DH=CH

﹣

GH

，即

BD=CG

，

∵

BD=AE

，

∴

CG=AE

，

∵

CG

∥

AE

，

∴四边形

AGCE

是平行四边形．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、

弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．

24

．如图，抛物线

y=ax2+bx

﹣

5

（

a≠0

）经过点

A

（

4

，﹣

5

），与

x

轴的负半轴交于点

B

，与

y

轴交于点

C

，

且

OC=5OB

，抛物线的顶点为点

D

．

（

1

）求这条抛物线的表达式；

（

2

）联结

AB

、

BC

、

CD

、

DA

，求四边形

ABCD

的面积；

（

3

）如果点

E

在

y

轴的正半轴上，且∠

BEO=

∠

ABC

，求点

E

的坐标．

第19页（共22页）

【考点】二次函数综合题．

【分析】（

1

）先得出

C

点坐标，再由

OC=5BO

，得出

B

点坐标，将

A

、

B

两点坐标代入解析式求出

a

，

b

；

（

2

）分别算出△

ABC

和△

ACD

的面积，相加即得四边形

ABCD

的面积；

（

3

）由∠

BEO=

∠

ABC

可知，

tan

∠

BEO=tan

∠

ABC

，过

C

作

AB

边上的高

CH

，利用等面积法求出

CH

，

从而算出

tan

∠

ABC

，而

BO

是已知的，从而利用

tan

∠

BEO=tan

∠

ABC

可求出

EO

长度，也就求出了

E

点

坐标．

【解答】解：（

1

）∵抛物线

y=ax2+bx

﹣

5

与

y

轴交于点

C

，

∴

C

（

0

，﹣

5

），

∴

OC=5

．

∵

OC=5OB

，

∴

OB=1

，

又点

B

在

x

轴的负半轴上，

∴

B

（﹣

1

，

0

）．

∵抛物线经过点

A

（

4

，﹣

5

）和点

B

（﹣

1

，

0

），

∴，解得，

∴这条抛物线的表达式为

y=x2

﹣

4x

﹣

5

．

（

2

）由

y=x2

﹣

4x

﹣

5

，得顶点

D

的坐标为（

2

，﹣

9

）．

连接

AC

，

∵点

A

的坐标是（

4

，﹣

5

），点

C

的坐标是（

0

，﹣

5

），

又

S

△

ABC

=×4×5=10

，

S

△

ACD

=×4×4=8

，

∴

S

四边形

ABCD

=S

△

ABC

+S

△

ACD

=18

．

第20页（共22页）

（

3

）过点

C

作

CH

⊥

AB

，垂足为点

H

．

∵

S

△

ABC

=×AB×CH=10

，

AB=5

，

∴

CH=2

，

在

RT

△

BCH

中，∠

BHC=90°

，

BC=

，

BH==3

，

∴

tan

∠

CBH==

．

∵在

RT

△

BOE

中，∠

BOE=90°

，

tan

∠

BEO=

，

∵∠

BEO=

∠

ABC

，

∴，得

EO=

，

∴点

E

的坐标为（

0

，）．

【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、

勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（

3

）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答

关键．

25

．如图所示，梯形

ABCD

中，

AB

∥

DC

，∠

B=90°

，

AD=15

，

AB=16

，

BC=12

，点

E

是边

AB

上的动点，

点

F

是射线

CD

上一点，射线

ED

和射线

AF

交于点

G

，且∠

AGE=

∠

DAB

．

（

1

）求线段

CD

的长；

（

2

）如果△

AEC

是以

EG

为腰的等腰三角形，求线段

AE

的长；

（

3

）如果点

F

在边

CD

上（不与点

C

、

D

重合），设

AE=x

，

DF=y

，求

y

关于

x

的函数解析式，并写出

x

的取值范围．

【考点】四边形综合题．

【专题】综合题．

【分析】（

1

）作

DH

⊥

AB

于

H

，如图

1

，易得四边形

BCDH

为矩形，则

DH=BC=12

，

CD=BH

，再利用勾

股定理计算出

AH

，从而得到

BH

和

CD

的长；

第21页（共22页）

（

2

）分类讨论：当

EA=EG

时，则∠

AGE=

∠

GAE

，则判断

G

点与

D

点重合，即

ED=EA

，作

EM

⊥

AD

于

M

，如图

1

，则

AM=AD=

，通过证明

Rt

△

AME

∽

Rt

△

AHD

，利用相似比可计算出此时的

AE

长；当

GA=GE

时，则∠

AGE=

∠

AEG

，可证明

AE=AD=15

，

（

3

）作

DH

⊥

AB

于

H

，如图

2

，则

AH=9

，

HE=AE

﹣

AH=x

﹣

9

，先利用勾股定理表示出

DE=

，

再证明△

EAG

∽△

EDA

，则利用相似比可表示出

EG=

，则可表示出

DG

，然后证明

△

DGF

∽△

EGA

，于是利用相似比可表示出

x

和

y

的关系．

【解答】解：（

1

）作

DH

⊥

AB

于

H

，如图

1

，

易得四边形

BCDH

为矩形，

∴

DH=BC=12

，

CD=BH

，

在

Rt

△

ADH

中，

AH===9

，

∴

BH=AB

﹣

AH=16

﹣

9=7

，

∴

CD=7

；

（

2

）当

EA=EG

时，则∠

AGE=

∠

GAE

，

∵∠

AGE=

∠

DAB

，

∴∠

GAE=

∠

DAB

，

∴

G

点与

D

点重合，即

ED=EA

，

作

EM

⊥

AD

于

M

，如图

1

，则

AM=AD=

，

∵∠

MAE=

∠

HAD

，

∴

Rt

△

AME

∽

Rt

△

AHD

，

∴

AE

：

AD=AM

：

AH

，即

AE

：

15=

：

9

，解得

AE=

；

当

GA=GE

时，则∠

AGE=

∠

AEG

，

∵∠

AGE=

∠

DAB

，

而∠

AGE=

∠

ADG+

∠

DAG

，∠

DAB=

∠

GAE+

∠

DAG

，

∴∠

GAE=

∠

ADG

，

∴∠

AEG=

∠

ADG

，

∴

AE=AD=15

，

综上所述，△

AEC

是以

EG

为腰的等腰三角形时，线段

AE

的长为或

15

；

第22页（共22页）

（

3

）作

DH

⊥

AB

于

H

，如图

2

，则

AH=9

，

HE=AE

﹣

AH=x

﹣

9

，

在

Rt

△

ADE

中，

DE==

，

∵∠

AGE=

∠

DAB

，∠

AEG=

∠

DEA

，

∴△

EAG

∽△

EDA

，

∴

EG

：

AE=AE

：

ED

，即

EG

：

x=x

：，

∴

EG=

，

∴

DG=DE

﹣

EG=

﹣，

∵

DF

∥

AE

，

∴△

DGF

∽△

EGA

，

∴

DF

：

AE=DG

：

EG

，即

y

：

x=

（﹣）：，

∴

y=

（

9

＜

x

＜）．

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个

直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数

学问题．