七年级下册数学题

人教七年级下册数学期末试题（含答案）

一、选择题

1

．如图，直线

EF

与直线

AB

，

CD

相交．图中所示的各个角中，能看做

∠1

的内错角的是

（）

A

．

∠2B

．

∠3C

．

∠4D

．

∠5

2

．四根火柴棒摆成如图所示的象形

“

口

”

字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字正确

的是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

3

．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）

A

．5,4

B

．3,4

C

．

2,3D

．4,5

4

．下列命题中假命题有（）

①

两条直线被第三条直线所截，同位角相等

②

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

③

点到直线的垂线段叫做点到直线的距离

④

过一点有且只有一条直线与已知直线平行

⑤

若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．

A

．

5

个

B

．

4

个

C

．

3

个

D

．

2

个

5

．如图，已知直线AB、CD被直线

AC

所截，

//ABCD

，

E

是直线

AC

右边任意一点（点

E

不在直线AB，CD上），设BAE，DCE．下列各式：

①



，

②



，

③



，

④360，

AEC

的度数可能是（）

A

．

①②③B

．

①②④C

．

①③④D

．

①②③④

6

．下列计算正确的是（）

A

．2(3)3

B

．

366

C

．393

D

．382

7

．如图，已知直线

//ABCD

，

GEB

的平分线

EF

交CD于点

F

，

146

，则2等于

（）

A

．

138B

．157C

．

148D

．

159

8

．如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点

O

出发，向正东走

3

米到达点

1

A

，再向

正北方向走

6

米到达点

2

A，再向正西方向走

9

米到达点

3

A

，再向正南方向走

12

米到达点

4

A

，再向正东方向走15米到达点

5

A

，以此规律走下去，当蒲公英种子到达点

10

A

时，它在

坐标系中坐标为（）

A

．

(12,12)

B

．

(15,18)

C

．

(15,12)

D

．

(15,18)

九、填空题

9

．

4

的算术平方根是

_____

．

十、填空题

10

．点

A

（

2

，

4

）关于

x

轴对称的点的坐标是

_____

．

十一、填空题

11

．如图．已知点

C

为两条相互平行的直线

,ABED

之间一动点，

ABC

和

CDE

的角平

分线相交于F，若

3

30

4

BCDBFD，则

BCD

的度数为

________

．

十二、填空题

12

．如图，把一张长方形纸片

ABCD

沿EF折叠后，D、C分别落在D，

C



的位置上，

ED



与

BC

交于

G

点，若

56EFG

，则

AEG______

．

十三、填空题

13

．如图，将长方形纸片

ABCD

折叠，使点

D

与点

B

重合，点

C

落在点

C’

处，折痕为

EF

，

若

∠ABE=30°

，则

∠EFC’

的度数为

____________

．

十四、填空题

14

．若1

m

，

2

m

，

…

，

2019

m

是从

0

，

1

，

2

，这三个数中取值的一列数，

122019

1525mmm

，222

122019

1111510mmm

，则在

1

m

，

2

m

，

…

，

2019

m

中，取值为

2

的个数为

___________

．

十五、填空题

15

．已知点P的坐标

(3-a

，

3a-1)

，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是

_______________

．

十六、填空题

16

．如图，正方形

ABCD

的各边分别平行于

x

轴或

y

轴，且

CD

边的中点坐标为（

2

，

0

），

AD

边的中点坐标为（

0

，

2

）．点

M

，

N

分别从点（

2

，

0

）同时出发，沿正方形

ABCD

的边

作环绕运动．点

M

按逆时针方向以

1

个单位

/

秒的速度匀速运动，点

N

按顺时针方向以

3

个单位

/

秒的速度匀速运动，则

M

，

N

两点出发后的第

2021

次相遇地点的坐标是

_________

．

十七、解答题

17

．（

1

）计算：

16

1

25



（

2

）计算：

3223

（

3

）计算：3

1

0.048

4



（

4

）计算：

16122

十八、解答题

18

．求下列各式中

x

的值

（

1

）

81x2=16

（

2

）3(1)64x

十九、解答题

19

．已知，如图所示，

BCE

，

AFE

是直线，

AB//CD

，

∠1=∠2

，

∠3=∠4

．求证：

AD//BE

证明：

∵AB//CD(

已知

)

∴∠4=∠()

∵∠3=∠4(

已知

)

∴∠3=∠()

∵∠1=∠2(

已知

)

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF()

即：

∠=∠

．

∴∠3=∠

．

∴AD//BE()

二十、解答题

20

．如图，三角形

ABC

的顶点都在格点上，将三角形

ABC

向右平移

5

个单位长度，再向

上平移

3

个单位长度请回答下列问题：

（

1

）平移后的三个顶点坐标分别为：

1

A

______

，

1

B

______

，1

C

______

；

（

2

）画出平移后三角形

111

ABC

；

（

3

）求三角形

ABC

的面积．

二十一、解答题

21

．已知：

31a

的立方根是2，

21b

的算术平方根

3

，

c

是

43

的整数部分．

（

1

）求

,,abc

的值；

（

2

）求

9

2

2

abc

的平方根．

二十二、解答题

22

．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定

资产投资，将原来的

400m2的正方形场地改建成

300m2的长方形场地，且其长、宽的比为

5

：

3

．

（

1

）求原来正方形场地的周长；

（

2

）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．

二十三、解答题

23

．如图

1

，已知直线

CD∥EF

，点

A

，

B

分别在直线

CD

与

EF

上．

P

为两平行线间一点．

（

1

）若

∠DAP

＝

40°

，

∠FBP

＝

70°

，则

∠APB

＝

（

2

）猜想

∠DAP

，

∠FBP

，

∠APB

之间有什么关系？并说明理由；

（

3

）利用（

2

）的结论解答：

①

如图

2

，

AP1，

BP1分别平分

∠DAP

，

∠FBP

，请你写出

∠P

与

∠P1的数量关系，并说明理

由；

②

如图

3

，

AP2，

BP2分别平分

∠CAP

，

∠EBP

，若

∠APB

＝

β

，求

∠AP2B

．（用含

β

的代数式

表示）

二十四、解答题

24

．（

1

）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折

射现象，如图

1

，光线

a

从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线

b

，根据光学

知识有

12,34

，请判断光线

a

与光线

b

是否平行，并说明理由．

（

2

）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与

镜面的夹角相等，如图

2

有一口井，已知入射光线



与水平线

OC

的夹角为

40

，问如何放

置平面镜

MN

，可使反射光线

b

正好垂直照射到井底

?

（即求

MN

与水平线的夹角）

（

3

）如图

3

，直线EF上有两点

A

、

C

，分别引两条射线AB、CD．105BAF，

65DCF，射线AB、CD分别绕

A

点，

C

点以

1

度

/

秒和

3

度

/

秒的速度同时顺时针转

动，设时间为

t

，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？

若存在，求出所有满足条件的时间

t

．

二十五、解答题

25

．在

△ABC

中，

∠BAC

＝

90°

，点

D

是

BC

上一点，将

△ABD

沿

AD

翻折后得到

△AED

，边

AE

交

BC

于点

F

．

(1)

如图

①

，当

AE⊥BC

时，写出图中所有与

∠B

相等的角：；所有与

∠C

相等的

角：．

(2)

若

∠C

－

∠B

＝

50°

，

∠BAD

＝

x°(0

＜

x≤45)

．

①

求

∠B

的度数；

②

是否存在这样的

x

的值，使得

△DEF

中有两个角相等．若存在，并求

x

的值；若不存

在，请说明理由．

【参考答案】

一、选择题

1

．

B

解析：

B

【分析】

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线

（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据内错角的边构成

“Z”

形判断即可．

【详解】

解：由图可知：能看作

∠1

的内错角的是

∠3

，

故选：

B

．

【点睛】

本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，关键是掌握同位角的边构成

“F”

形，内错

角的边构成

“Z”

形，同旁内角的边构成

“U”

形．

2

．

C

【分析】

根据火柴头的方向、平移的定义即可得．

【详解】

解：此象形字火柴棒中，有两根火柴头朝向左，一根火柴头朝向上，一根火柴

头朝向下，

因为平移不改变火柴头的朝向，

所以观察四个选项可知，只有

解析：

C

【分析】

根据火柴头的方向、平移的定义即可得．

【详解】

解：此象形字火柴棒中，有两根火柴头朝向左，一根火柴头朝向上，一根火柴头朝向下，

因为平移不改变火柴头的朝向，

所以观察四个选项可知，只有选项

C

符合，

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了平移，掌握理解平移的概念是解题关键．

3

．

C

【分析】

根据各象限内点的坐标特征判断即可．

【详解】

由图可知，小手盖住的点在第四象限，

∴

点的横坐标为正数，纵坐标为负数，

∴(2

，－

3)

符合．其余都不符合

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．

4

．

B

【分析】

根据平行线的性质和判定，点到直线距离定义一一判断即可．

【详解】

解：

①

两条直线被第三条直线所截，同位角相等，错误，缺少平行的条件；

②

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确；

③

点到直线的垂线段叫做点到直线的距离，错误，应该是垂线段的长度；

④

过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，应该是过直线外一点；

⑤

若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行，错误，条件是同一平面内．

故选

B

．

【点睛】

本题主要考查命题与定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质和判定，点到直线

距离定义．

5

．

A

【分析】

根据点

E

有

3

种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行

计算求解即可．

【详解】

解：（

1

）如图，由

AB∥CD

，可得

∠AOC=∠DCE

1=β

，

∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C

，

∴∠AE1C=β-α

．

（

2

）如图，过

E

2作

AB

平行线，则由

AB∥CD

，可得

∠1=∠BAE2=α

，

∠2=∠DCE2=β

，

∴∠AE2C=α+β

．

（

3

）当点

E

在

CD

的下方时，同理可得，

∠AEC=α-β

．

综上所述，

∠AEC

的度数可能为

β-α

，

α+β

，

α-β

．

即

①α+β

，

②α-β

，

③β-α

，都成立．

故选

A

．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平

行，内错角相等．

6

．

D

【分析】

分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．

【详解】

解：

A

、233

，故本选项不合题意；

B

、

366

，故本选项不合题意；

C

、393

，故本选项不合题意；

D

、382

，故本选项符合题意；

故选：

D

．

【点睛】

本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关

键．

7

．

B

【分析】

根据平行线的性质推出

1GEB

，

GFEFEB

，然后结合角平分线的定义求解即可

得出

GFE

，从而得出结论．

【详解】

解：

∵//ABCD

，

∴146GEB

，

GFEFEB

，

∵GEB

的平分线EF交CD于点

F

，

∴

1

23

2

GEFFEBGEB

，

∴23GFEFEB

，

∴2GFE

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查平行线的性质和角平分线的定义，理解并熟练运用平行线的基本性质是解题关

键．

8

．

B

【分析】

由题意可知：

OA1

＝

3

；

A1A2

＝

3×2

；

A2A3

＝

3×3

；可得规律：

An

﹣

1An

＝

3n

，根

据规律可得到

A9A10

＝

3×10

＝

30

，进而求得

A10

的横纵坐标．

【详解】

解：根据题意可

解析：

B

【分析】

由题意可知：

OA

1＝

3

；

A1A2＝

3×2

；

A2A3＝

3×3

；可得规律：

An﹣1An＝

3n

，根据规律可得到

A9A10＝

3×10

＝

30

，进而求得

A10的横纵坐标．

【详解】

解：根据题意可知：

OA

1＝

3

，

A1A2＝

6

，

A2A3＝

9

，

A3A4＝

12

，

A4A5＝

15

，

A5A6＝

18•••

，

A9A10＝

30

，

∴A1点坐标为（

3

，

0

），

A2点坐标为（

3

，

6

），

A3点坐标为（﹣

6

，

6

），

A4点坐标为（﹣

6

，﹣

6

），

A5点坐标为（

9

，﹣

6

），

A6点坐标为（

9

，

12

），

以此类推，

A

9点坐标为（

15

，﹣

12

），

所以

A

10点横坐标为

15

，纵坐标为﹣

12+30

＝

18

，

∴A10点坐标为（

15

，

18

），

故选：

B

．

【点睛】

本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题，解题

时注意：各象限内点

P

（

a

，

b

）的坐标特征为：

①

第一象限：

a

＞

0

，

b

＞

0

；

②

第二象限：

a

＜

0

，

b

＞

0

；

③

第三象限：

a

＜

0

，

b

＜

0

；

④

第四象限：

a

＞

0

，

b

＜

0

．

九、填空题

9

．【详解】

试题分析：

∵

，

∴4

算术平方根为

2

．故答案为

2

．

考点：算术平方根．

解析：【详解】

试题分析：

∵224

，

∴4

算术平方根为

2

．故答案为

2

．

考点：算术平方根．

十、填空题

10

．（

2

，﹣

4

）

【分析】

根据关于

x

轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可直接

得到答案．

【详解】

点

A

（

2

，

4

）关于

x

轴对称的点的坐标是（

2

，﹣

4

），

故答案为（

2

，﹣

4

）．

【点睛

解析：（

2

，﹣

4

）

【分析】

根据关于

x

轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可直接得到答案．

【详解】

点

A

（

2

，

4

）关于

x

轴对称的点的坐标是（

2

，﹣

4

），

故答案为（

2

，﹣

4

）．

【点睛】

此题主要考查了关于

x

轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

十一、填空题

11

．

120°

【分析】

由角平分线的定义可得，，又由，得，；设，，则；再根据四边形内角和定理

得到，最后根据即可求解．

【详解】

解：和的角平分线相交于，

，，

又，

，，

设，，

，

在四边形中，，，，

解析：

120°

【分析】

由角平分线的定义可得EDAADC，

CBEABE

，又由

//ABED

，得

EDFDAB，DFEABF；设EDFDABx，DFEABFy

，则

DFBxy

；再根据四边形内角和定理得到

3602()BCDxy

，最后根据

3

30

4

BCDBFD即可求解．

【详解】

解：

ABC

和

CDE

的角平分线相交于F，

EDAADC，

CBEABE

，

又

//ABED

，

EDFDAB，

DEFABF

，

设EDFDABx，

DEFABFy

，

BFDEDAADExy

，

在四边形BCDF中，FBCx，

ADCy

，

BFDxy

，

3602()BCDxy

，

0

4

3

3BCDBFD，

120BFDxy

，

3602()120BCDxy

，

故答案为：

120

．

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

十二、填空题

12

．

68°

【分析】

先根据平行线的性质求得

∠DEF

的度数，再根据折叠求得

∠DEG

的度数，最后

计算

∠AEG

的大小．

【详解】

解：

∵AD//BC

，，

∴∠DEF=∠EFG=56°

，

由折叠可得，

∠GEF

解析：

68°

【分析】

先根据平行线的性质求得

∠DEF

的度数，再根据折叠求得

∠DEG

的度数，最后计算

∠AEG

的大小．

【详解】

解：

∵AD//BC

，

56EFG

，

∴∠DEF=∠EFG=56°

，

由折叠可得，

∠GEF=∠DEF=56°

，

∴∠DEG=112°

，

∴∠AEG=180°-112°=68°

．

故答案为：

68°

．

【点睛】

本题考查了折叠问题，平行线的性质，解题时注意：长方形的对边平行，且折叠时对应角

相等．

十三、填空题

13

．

120

【分析】

由折叠的性质知：

∠EBC′

、

∠BC′F

都是直角，因此

BE∥C′F

，那么

∠EFC′

和

∠BEF

互补，欲求

∠EFC′

的度数，需先求出

∠BEF

的度数；根据折叠的性质知

∠BEF=∠DEF

，而

解析：

120

【分析】

由折叠的性质知：

∠EBC′

、

∠BC′F

都是直角，因此

BE∥C′F

，那么

∠EFC′

和

∠BEF

互补，欲

求

∠EFC′

的度数，需先求出

∠BEF

的度数；根据折叠的性质知

∠BEF=∠DEF

，而

∠AEB

的度

数可在

Rt△ABE

中求得，由此可求出

∠BEF

的度数，即可得解．

【详解】

解：

Rt△ABE

中，

∠ABE=30°

，

∴∠AEB=60°

；

由折叠的性质知：

∠BEF=∠DEF

；

而

∠BED=180°-∠AEB=120°

，

∴∠BEF=60°

；

由折叠的性质知：

∠EBC′=∠D=∠BC′F=∠C=90°

，

∴BE∥C′F

，

∴∠EFC′=180°-∠BEF=120°

．

故答案为：

120

．

【点睛】

本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变

换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．

十四、填空题

14

．

508

【分析】

通过，，

…

，是从

0

，

1

，

2

，这三个数中取值的一列数，，从而得到

1

的个数，

再由得到

2

的个数．

【详解】

解：

∵

，

又

∵

，，

…

，是从

0

，

1

，

2

，这三个数中取值的一列数，

∴

，，

…

，中为

解析：

508

【分析】

通过

1

m

，

2

m

，

…

，

2019

m

是从

0

，

1

，

2

，这三个数中取值的一列数，

222

122019

1111510mmm

，从而得到

1

的个数，再由

122019

1525mmm

得到

2

的个数．

【详解】

解：

∵222

122019

1111510mmm

，

又

∵

1

m

，

2

m

，

…

，

2019

m

是从

0

，

1

，

2

，这三个数中取值的一列数，

∴

1

m

，

2

m

，

…

，

2019

m

中为

1

的个数是

2019−1510

＝

509

，

∵

122019

1525mmm

，

∴2

的个数为（

1525−509

）

÷2

＝

508

个．

故答案为：

508

．

【点睛】

此题考查完全平方的性质，找出

1

m

，

2

m

，

…

，

2019

m

中为

1

的个数是解决问题的关键．

十五、填空题

15

．

(2,2)

或

(4,-4)

．

【分析】

点

P

到

x

轴的距离表示为，点

P

到

y

轴的距离表示为，根据题意得到

=

，然后去

绝对值求出

x

的值，再写出点

P

的坐标．

【详解】

解：

∵

点

P

到两坐标轴的距离相等

∴=

∴

解析：

(2,2)

或

(4,-4)

．

【分析】

点

P

到

x

轴的距离表示为

31a

，点

P

到

y

轴的距离表示为

3a

，根据题意得到

31a

=

3a

，然后去绝对值求出

x

的值，再写出点

P

的坐标．

【详解】

解：

∵

点

P

到两坐标轴的距离相等

∴

31a

=

3a

∴3a-1=3-a

或

3a-1=-(3-a)

解得

a=1

或

a=-1

当

a=1

时，

3-a=2

，

3a-1=2

；

当

a=-1

时，

3-a=4

，

3a-1=-4

∴

点

P

的坐标为

(2,2)

或

(4,-4)

．

故答案为

(2,2)

或

(4,-4)

．

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征求出线段的长和判断线段与坐标轴的位置

关系．点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面；

①

到

x

轴的距离

与纵坐标有关；

②

距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰

当的符号．

十六、填空题

16

．（

0

，

2

）．

【分析】

利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边边长为

4

，根据两个点的速度，

求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．

【详解】

解：由已知，正方形周长为

16

，

∵M

、

N

速度分别为

1

单

解析：（

0

，

2

）．

【分析】

利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边边长为

4

，根据两个点的速度，求得每一次

相遇的地点，找出规律即可解答．

【详解】

解：由已知，正方形周长为

16

，

∵M

、

N

速度分别为

1

单位

/

秒，

3

单位

/

秒，

则两个物体每次相遇时间间隔为

16

13

＝

4

秒，

则两个物体相遇点依次为（

0

，

2

）、（﹣

2

，

0

）、（

0

，﹣

2

）、（

2

，

0

）

∵2021

＝

4×505…1

，

∴

第

2021

次两个物体相遇位置为（

0

，

2

），

故答案为：（

0

，

2

）．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中点的规律，找到规律是解题的关键．

十七、解答题

17

．（

1

）；（

2

）；（

3

）；（

4

）

【分析】

（

1

）根据算术平方根的求法计算即可；

（

2

）先化简绝对值，再合并即可；

（

3

）分别进行二次根式的化简、开立方，然后合并求解；

（

4

）先化简绝对值和二次根式，

解析：（

1

）

3

5

；（

2

）

423

；（

3

）

23

10

；（

4

）

3

【分析】

（

1

）根据算术平方根的求法计算即可；

（

2

）先化简绝对值，再合并即可；

（

3

）分别进行二次根式的化简、开立方，然后合并求解；

（

4

）先化简绝对值和二次根式，再合并即可．

【详解】

解：（

1

）

16

1

25



25-16

25



9

25



3

5



（

2

）

3223

32-32

423

（

3

）3

1

0.048

4



1

0.22

2



2205)

(

1010





23

10



（

4

）

16122

42-1-2

3

【点睛】

本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值的化简、开立方等知识．

十八、解答题

18

．（

1

）；（

2

）

【分析】

（

1

）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

（

2

）方程利用立方根的定义开立方即可求出解．

【详解】

解：（

1

）方程变形得：，

解得：；

（

2

）开立方得：，

解得：．

解析：（

1

）

9

4

x；（

2

）

5x

【分析】

（

1

）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

（

2

）方程利用立方根的定义开立方即可求出解．

【详解】

解：（

1

）方程变形得：2

16

81

x

，

解得：

9

4

x；

（

2

）开立方得：14x，

解得：

5x

．

【点睛】

本题考查了立方根，以及平方根，解题的关键是熟练掌握各自的求解方法．

十九、解答题

19

．

FAB

；两直线平行，同位角相等；

FAB

；等量代换；等式的性质；

FAB

；

CAD

；

CAD

；内错角相等，两直线平行

【分析】

根据平行线的性质求出

∠4

＝

∠BAF

＝

∠3

，求出

∠DAC

＝

∠BAF

，推出

∠3

＝

解析：FAB

；两直线平行，同位角相等；

FAB

；等量代换；等式的性质；

FAB

；

CAD

；

CAD

；

内错角相等，两直线平行

【分析】

根据平行线的性质求出

∠4

＝

∠BAF

＝

∠3

，求出

∠DAC

＝

∠BAF

，推出

∠3

＝

∠BAF

，根据平

行线的判定推出即可．

【详解】

证明：

∵AB//CD

（已知）

∴∠4

＝

∠FAB

（两直线平行，同位角相等）

∵∠3

＝

∠4

（已知）

∴∠3

＝

∠FAB

（等量代换）

∵∠1

＝

∠2

（已知）

∴∠1

＋

∠CAF

＝

∠2

＋

∠CAF

（等式的性质）

即：

∠FAB

＝

∠CAD

∴∠3

＝

∠CAD

∴AD//BE

（内错角相等，两直线平行）

故填：

BAF

，两直线平行，同位角相等，

BAF

，等量代换，

DAC

，

DAC

，内错角相等，两直线

平行．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是：

①

两直线平行，同位角

相等，

②

两直线平行，内错角相等，

③

两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．

二十、解答题

20

．（

1

），，；（

2

）见解析；（

3

）

【分析】

（

1

）先画出平移后的图形，结合直角坐标系可得出三点坐标；

（

2

）根据平移的特点，分别找到各点的对应点，顺次连接即可得出答案；

（

3

）将

△ABC

补全为长方形

解析：（

1

）4,7

，1,2

，6,4

；（

2

）见解析；（

3

）

19

2

【分析】

（

1

）先画出平移后的图形，结合直角坐标系可得出三点坐标；

（

2

）根据平移的特点，分别找到各点的对应点，顺次连接即可得出答案；

（

3

）将

△ABC

补全为长方形，然后利用作差法求解即可．

【详解】

解：（

1

）平移后的三个顶点坐标分别为：

1

4,7A

，

1

1,2B

，

1

6,4C

；

（

2

）画出平移后三角形

111

ABC

；

（

3

）

1519

2553

22ABCABEGBCAFC

EBGF

SSSSS

长方形

．

【点睛】

本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是根据平移的特点准确作出图形，第三问求

解不规则图形面积的时候可以先补全，再减去．

二十一、解答题

21

．（

1

）；（

2

）其平方根为．

【分析】

（

1

）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出的值；

（

2

）将（

1

）题求出的值代入，求出值之后再求出平方根．

【详解】

解：（

1

）由题得．

．

又，

解析：（

1

）

3,5,6abc

；（

2

）其平方根为4．

【分析】

（

1

）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出

,,abc

的值；

（

2

）将（

1

）题求出的值代入

9

2

2

abc

，求出值之后再求出平方根．

【详解】

解：（

1

）由题得

318,219ab

．

3,5ab

．

又

364349

，

6437

．

6c

．

3,5,6abc

．

（

2

）当

3,5,6abc

时，



99

2235616

22

abc

．

∴

其平方根为164．

【点睛】

本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．

二十二、解答题

22

．（

1

）原来正方形场地的周长为

80m

；（

2

）这些铁栅栏够用．

【分析】

（

1

）正方形边长

=

面积的算术平方根，周长

=

边长

×4

，由此解答即可；

（

2

）长、宽的比为

5

：

3

，设这个长方形场地宽为

3am

，则长为

解析：（

1

）原来正方形场地的周长为

80m

；（

2

）这些铁栅栏够用．

【分析】

（

1

）正方形边长

=

面积的算术平方根，周长

=

边长

×4

，由此解答即可；

（

2

）长、宽的比为

5

：

3

，设这个长方形场地宽为

3am

，则长为

5am

，计算出长方形的长

与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．

【详解】

解：（

1

）

400

=20

（

m

），

4×20=80

（

m

），

答：原来正方形场地的周长为

80m

；

（

2

）设这个长方形场地宽为

3am

，则长为

5am

．

由题意有：

3a×5a=300

，

解得：

a=±

20

，

∵3a

表示长度，

∴a

＞

0

，

∴a=

20

，

∴

这个长方形场地的周长为

2(3a+5a)=16a=16

20

（

m

），

∵80=16×5=16×

25

＞

16

20

，

∴

这些铁栅栏够用．

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的

周长．

二十三、解答题

23

．（

1

）

110°

；（

2

）猜想：

∠APB=∠DAP+∠FBP

，理由见解析；（

3

）

①∠P=2∠P1

，理由见解析；

②∠AP2B=

．

【分析】

（

1

）过

P

作

PM∥CD

，根据两直线平行，内错角相等可得

∠APM=

解析：（

1

）

110°

；（

2

）猜想：

∠APB=∠DAP+∠FBP

，理由见解析；（

3

）

①∠P=2∠P

1，

理由见解析；

②∠AP

2B=

1

180

2



．

【分析】

（

1

）过

P

作

PM∥CD

，根据两直线平行，内错角相等可得

∠APM=∠DAP

，再根据平行公理

求出

CD∥EF

然后根据两直线平行，内错角相等可得

∠MPB=∠FBP

，最后根据

∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP

等量代换即可得证；

（

2

）结论：

∠APB=∠DAP+∠FBP

．

（

3

）

①

根据（

2

）的规律和角平分线定义解答；

②

根据

①

的规律可得

∠APB=∠DAP+∠FBP

，

∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于

180°

列式整理即可得解．

【详解】

（

1

）证明：过

P

作

PM∥CD

，

∴∠APM=∠DAP

．（两直线平行，内错角相等），

∵CD∥EF

（已知），

∴PM∥CD

（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），

∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP

．（等式性质）即

∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°

．

（

2

）结论：

∠APB=∠DAP+∠FBP

．

理由：见（

1

）中证明．

（

3

）

①

结论：

∠P=2∠P

1；

理由：由（

2

）可知：

∠P=∠DAP+∠FBP

，

∠P

1=∠DAP1+∠FBP1，

∵∠DAP=2∠DAP1，

∠FBP=2∠FBP1，

∴∠P=2∠P1．

②

由

①

得

∠APB=∠DAP+∠FBP

，

∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，

∵AP2、

BP2分别平分

∠CAP

、

∠EBP

，

∴∠CAP2=

1

2

∠CAP

，

∠EBP2=

1

2

∠EBP

，

∴∠AP2B=

1

2

∠CAP+1

2

∠EBP

，

=

1

2

（

180°-∠DAP

）

+

1

2

（

180°-∠FBP

），

=180°-

1

2

（

∠DAP+∠FBP

），

=180°-

1

2

∠APB

，

=180°-

1

2

β

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，

难点在于过拐点作平行线．

二十四、解答题

24

．（

1

）平行，理由见解析；（

2

）

65°

；（

3

）

5

秒或

95

秒

【分析】

（

1

）根据等角的补角相等求出

∠3

与

∠4

的补角相等，再根据内错角相等，两

直线平行即可判定

a∥b

；

（

2

）根据入射光线与镜面的夹角与反

解析：（

1

）平行，理由见解析；（

2

）

65°

；（

3

）

5

秒或

95

秒

【分析】

（

1

）根据等角的补角相等求出

∠3

与

∠4

的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即

可判定

a∥b

；

（

2

）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得

∠1=∠2

，然后根据平

角等于

180°

求出

∠1

的度数，再加上

40°

即可得解；

（

3

）分

①AB

与

CD

在

EF

的两侧，分别表示出

∠ACD

与

∠BAC

，然后根据两直线平行，内

错角相等列式计算即可得解；

②CD

旋转到与

AB

都在

EF

的右侧，分别表示出

∠DCF

与

∠BAC

，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；

③CD

旋转到与

AB

都在

EF

的左侧，分别表示出

∠DCF

与

∠BAC

，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得

解．

【详解】

解：（

1

）平行．理由如下：

如图

1

，

∵∠3=∠4

，

∴∠5=∠6

，

∵∠1=∠2

，

∴∠1+∠5=∠2+∠6

，

∴a∥b(

内错角相等，两直线平行）；

（

2

）如图

2

：

∵

入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，

∴∠1=∠2

，

∵

入射光线

a

与水平线

OC

的夹角为

40°

，

b

垂直照射到井底，

∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°

，

∴∠1

＝1

2

×50°=25°

，

∴MN

与水平线的夹角为：

25°+40°=65°

，

即

MN

与水平线的夹角为

65°

，可使反射光线

b

正好垂直照射到井底；

（

3

）存在．

如图

①

，

AB

与

CD

在

EF

的两侧时，

∵∠BAF=105°

，

∠DCF=65°

，

∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°

，

∠BAC=105°-t°

，

要使

AB∥CD

，

则

∠ACD=∠BAC

，

即

115-3t=105-t

，

解得

t=5

；

如图

②

，

CD

旋转到与

AB

都在

EF

的右侧时，

∵∠BAF=105°

，

∠DCF=65°

，

∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°

，

∠BAC=105°-t°

，

要使

AB∥CD

，

则

∠DCF=∠BAC

，

即

295-3t=105-t

，

解得

t=95

；

如图

③

，

CD

旋转到与

AB

都在

EF

的左侧时，

∵∠BAF=105°

，

∠DCF=65°

，

∴∠DCF=3t°-

（

180°-65°+180°

）

=3t°-295°

，

∠BAC=t°-105°

，

要使

AB∥CD

，

则

∠DCF=∠BAC

，

即

3t-295=t-105

，

解得

t=95

，

此时

t

＞

105

，

∴

此情况不存在．

综上所述，

t

为

5

秒或

95

秒时，

CD

与

AB

平行．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性

质是解题的关键，（

3

）要注意分情况讨论．

二十五、解答题

25

．

(1)∠E

、

∠CAF

；

∠CDE

、

∠BAF

；

(2)①20°

；

②30

【分析】

（

1

）由翻折的性质和平行线的性质即可得与

∠B

相等的角；由等角代换即可得

与

∠C

相等的角；

（

2

）

①

由三角形内角和定理可得，

解析：

(1)∠E

、

∠CAF

；

∠CDE

、

∠BAF

；

(2)①20°

；

②30

【分析】

（

1

）由翻折的性质和平行线的性质即可得与

∠B

相等的角；由等角代换即可得与

∠C

相等

的角；

（

2

）

①

由三角形内角和定理可得

90BC

，再由

50CB-=

根据角的和差计算即

可得

∠C

的度数，进而得

∠B

的度数．

②

根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含

x

的代数式表示出

∠FDE

、

∠DFE

的度数，分三种情况讨论求出符合题意的

x

值即可．

【详解】

（

1

）由翻折的性质可得：

∠E

＝

∠B

，

∵∠BAC

＝

90°

，

AE⊥BC

，

∴∠DFE

＝

90°

，

∴180°

－

∠BAC

＝

180°

－

∠DFE

＝

90°

，

即：

∠B

＋

∠C

＝

∠E

＋

∠FDE

＝

90°

，

∴∠C

＝

∠FDE

，

∴AC∥DE

，

∴∠CAF

＝

∠E

，

∴∠CAF

＝

∠E

＝

∠B

故与

∠B

相等的角有

∠CAF

和

∠E

；

∵∠BAC

＝

90°

，

AE⊥BC

，

∴∠BAF

＋

∠CAF

＝

90°,∠CFA

＝

180°

－（

∠CAF

＋

∠C

）＝

90°

∴∠BAF

＋

∠CAF

＝

∠CAF

＋

∠C

＝

90°

∴∠BAF

＝

∠C

又

AC∥DE

，

∴∠C

＝

∠CDE

，

∴

故与

∠C

相等的角有

∠CDE

、

∠BAF

；

（

2

）

①∵90BAC

∴90BC

又

∵50CB-=

，

∴∠C

＝

70°

，

∠B

＝

20°;

②∵∠BAD

＝

x°,∠B

＝

20°

则

160ADBx=-,20ADFx=+,

由翻折可知：

∵

160ADEADBx==-

,

20EB==

,

∴1402FDEx=-,202DFEx=+,

当

∠FDE

＝

∠DFE

时，

1402202xx-=+,

解得：

30x=

；

当

∠FDE

＝

∠E

时，

140220x-=

，解得：

60x=

（因为

0

＜

x≤45

，故舍去）；

当

∠DFE

＝

∠E

时，

20220x+=

，解得：

0x＝

（因为

0

＜

x≤45

，故舍去）；

综上所述，存在这样的

x

的值，使得

△DEF

中有两个角相等．且30x．

【点睛】

本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、

等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．