阿贝尔定理

阿贝尔关于一般五次方程不可解证明思想的演变

王晓斐

【摘要】目的以新的角度阐释阿贝尔关于一般五次方程不可解的证明过程,为这一

思想的来源及演进提供新的线索.方法以对原文及相关著作的研究为基础,对数学内

在思想联系进行分析及推理.结果拉格朗日(1736-1813)、高斯(1777-1855)等人

对代数方程可解的定义及革新是阿贝尔(1802-1829)证明的思想基础.结论从数学

史发展的角度,便能清楚地看到新的数学内容的发现及数学结构的完整都并非凭空

产生,而是沿着数学内在的严密逻辑和方法建立起来的.%AimMakingthe

developmenthistoryofequationtheoryasthemainlineofthepaper,to

exploretheprocedureoftheproofontheunsolvabilityofgeneralquintic

equationfromanewperspective;toprovidenewwayandinformationfor

understandingtheemergenceofAbel'sBadon

studyingtheoriginalpapersandotherrelatedworks,toanalyzeand

sThe

definitionandrevisionbyLagrangeandGaussforthesolvabilityof

algebraicequationslaidfoundationsfortheideaofAbel'sproof.

ConclusionItisclearthatthediscoveryofnewmathematicalfactscould

notcomeintobeingwithoutpreviousworks,andtheymustbeestablished

alongtheinnerstrictlogicandbadonformermethodsinmathematics.

【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2011(041)003

【总页数】4页(P553-556)

【关键词】阿贝尔(1802-1829)；五次方程；可解

【作者】王晓斐

【作者单位】西北大学数学与科学史研究中心,陕西西安,710127

【正文语种】中文

【中图分类】N09

阿贝尔(AbelNilesHenrik，1802—1829)是数学史上一个命运传奇而多坎坷的天

才人物，他在高中时代即开始自学欧拉(，1707—1783)、拉格朗日

(ge，1736—1813)及高斯(，1777—1855)等人的的著作，

并表现出对当时最具挑战性的问题的浓厚兴趣。这其中包括对五次代数方程求解问

题的研究。一般三次及四次方程解法在16世纪已由意大利数学家卡尔达诺

(1501—1576)及他的学生费列罗给出，然而在以后的近两百年时间里，对五次及

更高次数的方程，数学家们却一直不得其解。正是阿贝尔第一次给出了五次及五次

以上的一般代数方程不可根式求解的严格证明。从此结束了一个时代数学家们的困

扰。

最开始阿贝尔认为他已找到了五次方程的解，然而仍有一些关于一般性的问题困扰

着他。事实上，阿贝尔应该读过高斯闻名于世的著作，在其1799年的博士论文

“DisquisitionesArithmeticae”中高斯首次提出一般五次方程的解在仅有的运

算方法下是不能表示成公式的，但他并没有给出任何解释。而像拉格朗日一样，阿

贝尔当时更倾向于要找出方程的解，对于存在性问题则考虑较少。值得注意的是，

意大利数学家鲁菲尼(PaoloRuffini，1765—1822)在拉格朗日工作的启发下第一

次给出了一般五次方程不可解的证明。然而，由于他的文章中缺失了对一个重要定

理(即后来的“阿贝尔定理”)的证明，以及他所采用的证明方法与符号被认为难以

理解，从而使他的这一重要的结论未能得到同时代数学家的认可。同样，阿贝尔在

发表其关于五次方程解的论文之前也并不知道鲁菲尼的证明。

1824年，阿贝尔对五次方程解的问题有了新想法，这一次他开始考虑解的存在性

问题，并最终证明了一般五次方程的不可解性。他自费发表了该论文，即《论代数

方程，证明一般五次方程的不可解性》［3］。但是，这篇文章由于过于简洁且晦

涩难懂，结果并未引起其他数学家的反响。在1826年，他给出了一个新的更详细

的证明，发表在《克雷尔杂志》上。

阿贝尔对一般五次方程不可解的证明是代数学发展历史上的一个重要转折，然而在

国内现有的数学史研究著作中，对阿贝尔这一工作的叙述往往是纲领性的，难以使

更多人了解到更深层的数学思想。本文在研读原文的基础上，以数学知识内在思想

联系为基础，将通过对代数方程求解问题历史发展主线的梳理，来说明阿贝尔关于

五次方程不可解证明的思想及其承袭和影响。

这里讨论的代数方程即多项式方程，n次方程的一般形式如下:

对于四次以下的方程，我们知道其解可由方程系数表示出来。例如:n=2时，方程

为α0x2+α1x+α2=0，其解可表示为三次及四次方程的解同样也可通过对方程系

数做加减乘除及开根运算而表示出来，只是次数越高，其表达式就越复杂。五次方

程则涉及更大量的运算，数学家们一直无法解决。所以，在拉格朗日之前，所谓方

程根式可解，或者代数可解，“就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加

减乘除(基本代数运算)以及开整数次方等运算表示出来”［4］。

18世纪下半叶，代数方程理论进入了新的时期。数学家们的注意力开始从对方程

求解的实用性计算开始转向对纯粹数学理论的研究。1770年拉格朗日发表的“关

于方程的代数解法的思考”［5］就充分体现了这一思想性的变革。拉格朗日首先

想从对欧拉，切森豪斯(Tschirnhaus，1651—1708)等人对三次及四次一般方程

的解法回顾中，归纳出这些解法可行的原因，并期望由此得出对高次方程可行的办

法。这一思考最终引发出他关于方程根的置换理论，并且其蕴含了置换群的早期概

念的萌芽。

拉格朗日对这些前人方程解法的讨论并不仅仅是简单的罗列总结，而是从大量的分

析中探寻其方法中蕴含的共同特点。从这一过程中，拉格朗日提出方程求解的关键

即找到一个可行的预解式，该预解式是一个关于原方程根的函数，以此预解式为根

的方程的次数低于原方程的次数，故可知如何求解它，这个方程被称为预解方程。

通过解预解方程将间接得到原方程的根。这里，拉格朗日进行了大量的运算，抽象

出了一个令人惊奇的意想不到的结论，即在方程根的置换下预解式所取值的个数等

于预解方程次数，并且此结论也得到了已知的三次及四次方程的验证。

这一结论将单纯计算性的方程求解问题带入了对代数方程本质及结构的分析性思考

上，从而统一了一般方程可解的理论。因而在拉格朗日的时代，方程可解即意味着

通过选择适合的预解式得到次数较低的预解方程，再由解得的预解式得到原方程的

根。但是，此方法仍没能化解五次方程的困难。这使得拉格朗日对五次方程的可解

性产生了些许怀疑。但他仍没有放弃求解的希望，只是对于高次方程，他的结论需

要推广到多个预解式及预解方程的情况。之后他便转向对置换性质的研究，并发现

了早期群的重要定理，为鲁菲尼、阿贝尔及伽罗瓦(1811—1832)的研究奠定了深

厚的基础。

高斯是拉格朗日之后又一对方程理论作出重要贡献的数学家，他在他著名的论文集

《算术研究》中，证明了一类特殊方程的代数可解性。这类方程被称为分圆方程。

即:xn－1=0。n为任意正整数。事实上，对于高斯，n为素数，因为任意的整数

都可以分解为一些素数的乘积。

拉格朗日提出高次一般方程的解法是通过确定一系列预解式从而解得原方程的根。

高斯在这一启示下发现一个p次分圆方程:xp－1=0，p为素数，其解可以通过求

以p－1的素因子为次数的一列方程而得到。不得不提的是，这些方程在功能上正

对应了拉格朗日的预解方程。例如，对17次分圆方程，p－1=16=24说明通过求

解4个二次方程便可求出原方程的解。

假设原方程系数域为K0，即由所有系数的有理函数构成的域。找到一个方程的根

式解意味着存在一个K0的根式扩张Km，而方程的解即在该扩域中。高斯解决分

圆方程的过程即可看作一系列扩域的过程。每求一个预解方程Ej，即对K0根式扩

张一次，得到一个扩域Kj，直至扩张至Km。如此我们可得到一个域的根式扩张塔。

可记为

其中，Km=K0(ηi)，ηi是原方程的一个根。又对分圆方程而言，

K0(ηi)=K0(η1…ηp－1)，η1，…，ηp－1是原方程除过1以外的所有根。所以

因而，方程可解的定义随着数学知识的不断突破又一次变得更加抽象，也更加严密

与完整。在高斯之后，方程可解意味着存在一个由系数域出发的扩张塔，并且塔的

末端域是包含方程所有根的一个最小域。

在高斯已解决的一类特殊分圆方程的基础上，阿贝尔考虑了一般代数方程可解的条

件。阿贝尔从寻找根式扩张塔的角度意识到，如果扩域的过程失败，则方程的根式

解是不存在的。因而，阿贝尔将其证明分为两部分。

阿贝尔采用反证法的思想，首先假设对五次一般方程:

其根式解是存在的，即方程的解可由系数a，b，c，d，e作加减乘除及开方运算

而表示出来，对基础域K(a，b，c，d，e)进行不断根式扩张，可得到域Kn，使得

方程的一个根包含在内，从而存在得到一个域扩张塔，记为:K⊂K1⊂…⊂Kn。

因此，他给出解的一般形式为是一些根式及多项式的有限和，其形式与y相同。

在阿贝尔的原文中提到“如果我们按这种方法继续下去，直至得到a，b，c，d，

e的有理函数”［6］。也就是说，构成y的项是关于原方程系数的根式套及形如

的无理式。若五次方程解存在，则其形式为

阿贝尔第一步要证明的重要定理是:“所有包含在y的表达式中的无理函数都是原

方程的根的有理函数”。这一定理即被称为“阿贝尔定理”，亦即鲁菲尼的证明中

所缺失的。这一定理即证明了Kn=K(x1，…，xn)。这说明y及其表达式中所有的

无理式如都是关于原方程根的有理函数。

阿贝尔认为，这一定理是整个证明中最关键的部分，也是最难的。这也正显示了他

高超的技巧及数学才能。之后，他要做的便是导出解存在这一假设的矛盾。

为了证明高于四次的方程不可解，必须证明包含方程根的扩域是不存在的。在此，

阿贝尔引用了柯西关于置换研究的重要定理:“一个五变量的有理函数在所有变量

的置换下，取到不同值的个数只可能是1，2及5，而不可能是3或4.”。以此定

理为杠杆，阿贝尔演示了试图构造扩张塔的失败，也就证明了前提假设的方程解是

不可能的，从此撬开了这个被疑问了无数次的世纪难题。

当我们对系数域进行第一次扩张，即K1=K()。由第一部分证明的阿贝尔定理，我

们知道是关于方程五个根的有理函数，可表示为=φ(x1，…，x5)。在第一次扩张

时，此处R是关于方程系数的有理函数。由柯西定理，可取到不同值的个数为2

或5(由于方程五个根式不同的，因此个数不能为1)，即m=2或m=5。在此，阿

贝尔展示了他天才的构造技巧，证明m=5导致了矛盾的结果。=K则第一次扩张

只可能为:K1()。对第二次扩张K2=K1()，阿贝尔证明了m=2及m=5均导致了矛

盾，从而无法通过逐步扩张找到包含方程根的扩域。由此证明了结论:一般五次代

数方程不可解。

阿贝尔的这一证明使代数学从此脱离了方程求解的思想束缚，而后在又一位伟大的

数学天才伽罗瓦的引领下，进入了更为广阔的代数群及结构的抽象世界。然而，从

研究数学史发展的角度，能清楚地看到，新的数学内容的发现及数学结构的完整都

并非凭空产生，而是沿着数学内在的严密逻辑和方法建立起来的。

【相关文献】

［1］Theory［M］.NewYork:Springer-Verlag.

［2］'TheoryofAlgebraEquations［M］.NewYork:LongmanGroupUK

Limited，1987.

［3］李文林.数学史概论［M］.2版.北京:高等教育出版社，2000.

［4］吴文俊.世界数学家传记［M］.北京:科学出版社，1995.

［5］胡作玄.近代数学史［M］.济南:山东教育出版社，2001.

［6］李文林.数学珍宝:历史文献精选［M］.北京.科学出版社，1998:471-476.

［7］莫里斯·克莱因.古今数学思想［M］.3册.北京大学数学系数学史翻译组，译.上海:上海科学技

术出版社，2002:146-161.

［8］'sProof:AnEssayontheSourcesandMeaningofMathematical

Unsolvability［M］.London:TheMITPress，2003.

［9］elopmentofgaloistheoryfromlagrangetoartin［J］.Archive

fortheHistoryoftheExactSciences，1971，8:40-154.