cos2x求导

-------------

-------------

第二节函数的求导法则

要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一

点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠

实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少

人的思维活动.

-------F.莱布尼茨

求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题.但根据

定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的.能否找到求导的一般法则或常用函数的求导

公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途

径.牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作.特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出

了不朽的贡献.今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是

由莱布尼茨完成的.

分布图示

★引言★和、差、积、商的求导法则

★例1-2★例3-4★例5

★反函数的导数★例6★例7

★复合函数的求导法则★初等函数的求导法则

★例8★例9★例10

★例11★例12★例13

★例14★例15★例16

★例17★例18★例19

★例20-21★例22

★内容小结★课堂练习

★习题2-2

内容要点：

一、导数的四则运算法则

二、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

三、复合函数的求导法则

定理3若函数

)(xgu

在点x处可导,而

)(ufy

在点

)(xgu

处可导,则复合函数

)]([xgfy

在点x处可导,且其导数为

)()(xguf

dx

dy









或

dx

du

du

dy

dx

dy



-------------

-------------

注:复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以

中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则.

复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合层

次，然后从外向里,逐层推进求导，不要遗漏,也不要重复.在求导的过程中，始终要明确

所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设

中间变量,一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记

在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.

四、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复

合函数的求导法则

五、双曲函数与反双曲函数的导数

例题选讲：

导数的四则运算法则的应用

例1（E01）求xxxysin223的导数.

解)(sin)2()(23













432xxx

例2（E02）求xxysin2的导数.

解)sin(2)sin2(











xxxxy])(sin)sin)[(2







xxxx

















xxx

x

cossin

2

1

2

.cos2sin

1

xxx

x



例3（E03）求

xytan

的导数;

解























x

x

xy

cos

sin

)(tan,

cos

)(cossincos)(sin

2x

xxxx









,c

cos

1

cos

sincos

2

22

22

x

xx

xx







即.c)(tan2xx



同理可得.csc)(cot2xx



例4（E04）求xyc的导数;

解

x

x

x

xy

2cos

)(cos

cos

1

)(c





























.tanc

cos

sin

2

xx

x

x



同理可得

.cotcsc)(cscxxx



反函数的导数

例5求xxyln2sin的导数.

-------------

-------------

解因为

,lncossin2xxxy

所以

xxxxxxyln)(cossin2lncos)sin2(











)(lncossin2



xxx

xxxxxxln)sin(sin2lncoscos2

x

xx

1

cossin2

.2sin

1

ln2cos2x

x

xx

注:此题如果利用后面讲到的复合函数的求导法则则计算过程更为简单.那时，不必按

本题那样拆开为两项来计算.

例6（E05）求函数

xyarcsin

的导数.

例6(E05)求函数xyarcsin的导数.

解

yxsin

在















2

,

2



y

I

内单调、可导,且

,0cos)(sin



yy

在对应区间

)1,1(

x

I

内有

yy

x

cos

1

)(sin

1

)(arcsin







.

1

1

sin1

1

22xy







同理可得,

1

1

)(arccos

2x

x







,

1

1

)(arctan

2x

x







.

1

1

)ot(

2x

xarc







例7（E06）求函数

xy

a

log

的导数.

解yax在),(

y

I内单调、可导，且,0ln)(



aaayy

在对应区间),0(

x

I内有

.

ln

1

ln

1

)(

1

)(log

ax

aaa

x

yy

a









特别地

.

1

)(ln

x

x



复合函数的求导法则

例8（E07）求函数

xysinln

的导数.

解设

,lnuy.sinxu

则

dx

du

du

dy

dx

dy

x

u

cos

1



x

x

sin

cos

.cotx

例9（E08）求函数102)1(xy的导数.

解设.1,210xuuy则

xu

dx

du

du

dy

dx

dy

2109.)1(202)1(109292xxxx

注：复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数

)]}([{xfy

的导数时，要从

-------------

-------------

外层,逐层推进.先求

f

对大括号内的变量u的导数

)]),([(xu

再求对中括号内的变量

v的导数

)),((xv

最后求对小括号内的变量x的导数.在这里，首先要始终明确所求

的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数;其次,在逐层求导时,

不要遗漏,也不要重复.熟练之后可以不设中间变量的字母,心中记住,一气呵成.

例10（E10）求函数32)sin(xxy的导数.

解])sin[(32





xxy)sin()sin(3222

xxxx])(sinsin21[)sin(322

xxxx

).2sin1()sin(322xxx

例11求函数

xey1sin2的导数.

解一设中间变量,令.1,sin,,2xwwvvueyu

于是

xwvux

wvuyy



















)1()(sin)()(2













xwveu)1(cos2wveu

)1cos()1sin(2)1(sin2xxex.)1(2sin)1(sin2xex

解二不设中间变量.

)1()1cos()1sin(2)1(sin2

xxeyx.)1(2sin)1(sin2xex

例12（E09）求函数

)2(

2

1

ln

3

2







x

x

x

y

的导数.

解

),2ln(

3

1

)1ln(

2

1

2xxy

)2(

2

1

3

1

)1(

1

1

2

1

2

2



















x

x

x

x

y

)2(3

1

2

1

1

2

1

2







x

x

x

.

)2(3

1

12







x

x

x

例13求函数)0(arcsin

22

2

22a

a

xa

xa

x

y的导数.

解







































a

xa

xa

x

yarcsin

22

2

22





































a

xa

xa

x

xa

x

arcsin

2

)(

22

2

2222

2

2

22

22

22

1

2

)(

2

1

22

1







































a

x

a

x

a

xa

xax

xa

-------------

-------------

22

2

22

2

22

2

2

1

2

1

xa

a

xa

x

xa









.22xa

例14求函数xxxy的导数.

解

)(

2

1











xxx

xxx

y



























)(

2

1

1

2

1

xx

xx

xxx

























)

2

1

1(

2

1

1

2

1

x

xx

xxx

.

8

124

2

2

xxxxxx

xxxx







例15求函数xy

x

sinlog).1,0(xx

解在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为

.

ln

sinln

x

x

y

这时

x

x

x

xx

y

2ln

sinln

1

lncot





.

lnsin

sinlnsinlncos

2xxx

xxxxx







例16求导数

.log/1x

x

xey

解

.

ln

1

ln

ln

log

xx

e

e

x



)()(log/1









x

x

xey





































x

xe

x

ln

1

ln

1















x

x

e

xx

x

xln

1

ln

1ln

1

2

.

ln1

ln

1

2

1

2

















x

x

x

xx

x

例17（E12）求函数)0(aaaxyxaaaxa的导数.

解)(ln)(ln1







211aaaaaaxxaxaaaxxaaa

例18设













0),1ln(

0,

)(

xx

xx

xf,求).(xf



解当0x时,

;1)(



xf

当0x时,

])1[ln()(







xxf

;

1

1

)1(

1

1

x

x

x











当0x时,

,1

)01ln(0

lim)0(

0











h

h

f

h

,1

)01ln()]0(1ln[

lim)0(

0











h

h

f

h

-------------

-------------

即

.1)0(



f

所以.

0,

1

1

0,1

)(





















x

x

x

xf

例19（E11）求函数











,1

,2

)(

2x

x

xf

21

10





x

x

的导数.

解求分段函数的导数时，在每一段内的导数可按一般求导法则求之，但在分段点处的

导数要用左右导数的定义求之.

当10x时,

,2)2()(







xxf

当21x时,,2)1()(2xxxf







当1x时,

2

1

22

lim

1

)1()(

lim)1(

11



















x

x

x

fxf

f

xx

1

21

lim

1

)1()(

lim)1(

2

11















x

x

x

fxf

f

xx

2)1(lim

1

1

lim

1

2

1











x

x

x

xx

由

2)1()1(









ff知,

.2)1(



f

所以

.

21,2

10,2

)(















xx

x

xf

例20已知

)(uf

可导，求函数

)(cxfy

的导数.

解

)(c)(c])(c[















xxfxfyxxxftanc)(c





注：求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义，此例中,

)(cxf



表示对xc求导，而

])(c[



xf

表示对x求导.

例21求导数

)],(tan[)(tanxfxfy

且)(xf可导.

解).()]([c)(tanc22xfxfxfxy











例22求导数:),lncosln(sinxxfy且)(xf可导.

解

)lncosln(sin)lncosln(sin











xxxxfy

)lncosln(sinxxf



])(lnlnsin)(lnln[cos







xxxx

.

lnsinlncos

)lncosln(sin

x

xx

xxf









课堂练习

-------------

-------------

1.求下列函数的导数:

);0,0,(,)2(

;ln4

1

tan2

)1(

2





































ba

a

x

b

a

y

x

x

x

y

bx

且为常数

(3).

1

1

ln

2

2

xx

xx

y







2.若)(uf在

0

u

不可导,)(xgu在

0

x

可导,且),(

00

xgu则)]([xgf在

0

x

处().

(1)必可导;(2)必不可导;(3)不一定可导.

3.幂函数在其定义域内().

(1)必可导;(2)必不可导;(3)不一定可导.