抛物线焦点弦公式

关于抛物线焦点弦的弦长公式

在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍

了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：

(1)已知：抛物线的方程为pxy22

)0(p，过焦点F的弦AB交抛物线于AB两点，

且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长。

解：由题意可设直线AB的方程为)

2

(

p

xky)

2

(



将其代入抛物线方程整理得：

0)84(42

2

222k

p

kxkxpp，且tank

设A,B两点的坐标为

),(),,(

2

2

1

1

y

x

y

x则：

k

k

xx

pp

2

2

21

2

，

4

2

21

p

xx

)(sin

)(2

21

2

22

4

21

1||



p

ABxx

xx

k

当

2



时，斜率不存在，1sin，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的

弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。

现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为)0(22ppyx，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，

直线AB倾斜角为，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为),(),,(

2

2

1

1

y

x

y

x，斜率为k)tan(k，而焦点坐标为)

2

,0(

p

，

故AB的方程为kx

p

y

2

，将其代入抛物线的方程整理得：

,022

2p

xpkx从而p

xxxxpk2

2121

,2，

弦长为：)(cos

)(2

21

2

22

4

21

1||



p

ABxx

xx

k

pAB2||,1cos,0，即为通径。

而pxy22与（1）的结果一样，pyx22与（2）的结果一样，但是（1）与（2）

的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈

述于下：

（3）已知：抛物线的方程为pxy22

)0(p，过焦点F的弦AB交抛物线于A，B

两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。

解：由题意可设直线AB的方程为)

2

(

p

xky)

2

(



将其代入抛物线方程整理得：

0)84(42

2

222k

p

kxkxpp，

若倾斜角

2



，则tantan,k；

若倾斜角,

2



则)tan(tan,k。

设A,B两点的坐标为

),(),,(

2

2

1

1

y

x

y

x

则：

k

k

xx

pp

2

2

21

2

，

4

2

21

p

xx

)(sin

)2(

)tan

)(

2

4

4

2

2

2

21

2

2

2

2

(1

4

21

1||





p

AB

k

k

p

p

k

p

xx

xx

k













而sin)sin(,sinsin，故)(sin2

2

||



p

AB；

当

2



时，1sin，|AB|=2p.即为通径。

而pxy22与（3）的结果一样

同理：（4）已知：抛物线的方程为)0(22ppyx，过焦点的弦AB交抛物线于A,B

两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为),(),,(

2

2

1

1

y

x

y

x，若倾斜角为



，斜率为k，

则tank，而焦点坐标为)

2

,0(

p

，

故AB的方程为kx

p

y

2

，将其代入抛物线的方程整理得：

,022

2p

xpkx从而p

xxxxpk2

2121

,2，

弦长为：)(cos

)(2

21

2

22

4

21

1||



p

ABxx

xx

k

当倾斜角

2



，则







sin)

2

cos(cos,

2

；

当倾斜角,

2



则







sin)

2

cos(cos,

2



所以)(sin2

2

||



p

AB恒成立。

当

2



时，1sin，|AB|=2p.即为通径。

而pyx22与（4）的结果一样。

故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，那么不论抛物线的开口向上，向下，向

左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即)(sin2

2

||



p

AB。这个公式

包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应

用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。