拐点和驻点的区别

驻点、极值点、拐点、鞍点的区别与联系

最近有些考研的⼩伙伴问到我这个问题，正好也给⾃⼰梳理⼀下思路，毕竟在机器学习⾥⾯这4个概念也是⾮常重要的，不过这⾥由于知识所限，就只整理

跟考研部分⽐较相关的知识点了。

既然是4种点，⾸先就需要将其进⾏⼤致的分类，⼤致来说如下。

$$begin{cas}⼀元函数quadbegin{cas}⼀阶导数f'(x)quad驻点、极值点、鞍点[3ex]⼆阶导数f''(x)quad拐点end{cas}[3ex]多元函数quad

极值点、鞍点end{cas}$$

⼀元函数

在⼀元函数有3种点——驻点、极值点和拐点。要想完全理解这三个定义的话就需要从函数的性质⼊⼿，对于函数来说，与极值点相关的就是函数的极⼤

值、极⼩值、最⼤值和最⼩值。因此⾸先可以来看极⼤值、极⼩值的定义。

(Def1极值)设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去⼼邻域$mathring{U}(x_0)$内的任意⼀个$x$，有$$f(x)

(或f(x)>f(x_0))$$那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的⼀个极⼤值(极⼩值)。

从上述定义就可以看到，极⼤值和极⼩值其实和导数是没有任何关系的，所以如果真的要判断极⼤值和极⼩值的话，最为本质的⽅法应该是⽐较在待观察

点邻域内函数值的变化情况，那么，导数在这⾥起到了什么作⽤呢？这是由极值的⼀个必要条件得到的。

(Thm2极值的必要条件)设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x=x_0$处取得极值，那么有$f'(x_0)=0$。

注意⼀下这个是必要条件，也就是说从可导的极值点才有导数值为0，这句话并不能⽤于通过导数去判断极值，也就是充分条件。但是⾄少给了我们⼀个思

考的⽅向，那就是当思考从导数去判断极值的时候，我们应该要去寻找哪些点。

仔细观察Thm2中的描述，现在我们思考它的逆否命题，那便是，设函数$f(x)$在$x_0$处可导，如果有$f'(x_0)≠0$，那么在$x=x_0$处，$f(x)$不能取得极

值。于是，我们其中⼀个思考的⽅向便是$f'(x)=0$的点，此外，如果⼀开始的假设就不成⽴的话，那么也有可能使得结论是成⽴的，这就是$f'(x)$不存在的点。

(Def3驻点)设$f(x)$可导，则使得$f'(x)=0$的点称为$f(x)$的驻点。

下⾯给出2个例⼦，说明驻点和不可导的点都可以是极值点。

(1)考虑函数$f(x)=x^2$，有$f'(x)=2x$，那么在$x=0$处的导数值$f'(0)=0$，根据图像容易得到$f(0)=0$是$f(x)$的极⼩值点。

(2)考虑函数$f(x)=|x|$，那么在$x=0$处连续，且左导数$f'_{-}(0)=-1$，右导数$f'_{+}(0)=1$，因此$f(x)$在$x=0$处不可导，但是根据图像也容易得到

$f(0)=0$是$f(x)$的极⼩值点。

因此，我们在利⽤导数去考虑⼀个函数的极值的时候，需要判断2种点，第⼀种就是驻点，第⼆种就是导数不存在的点。然后接下来应该如何利⽤导数呢，

我们就需要如下的定理，它给出了利⽤导数的符号去判断驻点是否为极值点的充分条件。

(Thm4极值第⼀充分条件)设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$附近的空⼼邻域$mathring{U}(x_0,delta)$内可导。则有

(1)若$xin(x_0-delta,x_0)$时，$f'(x)>0$，⽽$xin(x_0,x_0+delta)$时，$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x=x_0$处取得极⼤值。

(2)若$xin(x_0-delta,x_0)$时，$f'(x)<0$，⽽$xin(x_0,x_0+delta)$时，$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x=x_0$处取得极⼩值。

(3)若$xinmathring{U}(x_0,delta)$时，$f'(x)$的符号保持不变，那么$f(x)$在$x_0$处没有极值，把这样⼦的点称为鞍点。

有了Thm4，我们求出来的驻点就有所发挥了，只要考虑在驻点周围的导函数的符号即可，这句话其实也是瞄着极值的定义来写的，我们可以将$f'(x)>0$简

单的翻译成$f(x)$单调递增，将$f'(x)<0$简单的翻译成$f(x)$单调递减，这样⼦就从Thm4转化为Def1。

下⾯给出⼀个例⼦。

例：求函数$f(x)=x+frac{1}{x}$的极值和极值点。

解：

由$f(x)=x+frac{1}{x}$可得定义域为$(-∞,0)cup(0,+∞)$，接下来求导数可得$$f'(x)=1-frac{1}{x^2}$$

令$f'(x)>0$可得$x<-1$或者$x>1$，令$f'(x)<0$可得$-1

因此可以知道$f(x)$在$(-∞,-1)$上递增，在$(-1,0)$上递减，在$(0,1)$上递减，$(1,+∞)$上递增，从⽽在$x=-1$上取得极⼤值$f(-1)=-2$，在

$x=1$上取得极⼩值$f(1)=2$，$x=0$没有定义。

除了这种⽅法以外，还有⼀种⽅法就是利⽤⼆阶导数$f''(x)$，注意我们这⾥可以先把$f''(x)$与函数的凹凸性的恩怨情仇分开，关于函数的凹凸性我们⼀会

⼉可以在后⾯接着写，这⾥我们只讨论$f''(x)$和极值的关系，有这么⼀个极值第⼆充分条件。

(Thm5极值第⼆充分条件)设函数$f(x)$在$x_0$处具有⼆阶导数且$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)≠0$，那么有

(1)当$f''(x_0)<0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极⼤值。

(2)当$f''(x_0)>0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极⼩值。

注意⽤极值第⼆充分条件时⼀定要有的条件$f'(x_0)=0$，很多考研的学⽣都只知道可以通过求⼆阶导数来判断极值，但是求完以后就总是忘记了检查⼀阶

导数在$x_0$处是不是为0，从⽽导致错误。

其实本质上来说，极值第⼆充分条件是极值第⼀充分条件的⼀个特殊的情况，如果我们⽤定义去考虑这两个⼆阶导数，就会发现$$f''(x_0)=limlimits_{xto

x_0}frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$$容易观察到，如果满⾜$f''(x_0)>0$，说明分⼦分母同号，刚好就对应着第⼀充分条件中的极⼩值情况，⽽$f''(x_0)<0$时，说明分

⼦分母异号，刚好就对应着第⼀充分条件中的极⼤值的情况。

下⾯依旧给出⼀个例⼦。

例：求函数$f(x)=x+frac{1}{x}$的极值和极值点。

解：

由$f(x)=x+frac{1}{x}$可得定义域为$(-∞,0)cup(0,+∞)$，接下来求导数可得$$f'(x)=1-frac{1}{x^2}，f''(x)=frac{2}{x^3}$$

令$f'(x)=0$可得$x=±1$，再代⼊⼆阶导数可得$f''(-1)=-2,f''(1)=2$，因此有$x=-1$是极⼤值点，$x=1$是极⼩值点，⽽$x=0$为⽆定义点，讨论起

来⽆意义。

总的来说，上⾯两个条件都是针对驻点的情况的，⽽对于导数不存在的情况，则需要我们利⽤极值的定义去判断。这⾥⾸先需要澄清⼀个观念，那就是导

函数的⽆定义点对于原来的函数来说不⼀定是⽆定义点。前⾯提到的$f(x)=|x|$在$x=0$处就是典型的导函数为跳跃间断点的情况，另外⼀个例⼦是$f(x)=

sqrt(x)$，它的导函数在$x=0$处就是⽆穷间断点。但这两个函数显然在$x=0$处是右连续的。

因此，对于判断导数不存在的情况时，我们需要考察的是导函数$f'(x)$在间断点$x=x_0$的左右两侧的符号情况，再根据符号来判断函数$f(x)$在

$x=x_0$的增减性情况，理论说起来⽐较枯燥，还是直接看⼀个例⼦好了。

例：求函数$f(x)=|x|$的极值。

解：⾸先可以写成分段函数的形式$$f(x)=begin{cas}xquadx≥0-xquadx<0end{cas}$$因此接下来我们根据定义求在$x=0$处的导数情

况，我们有$$limlimits_{xto0^-}frac{f(x)-f(0)}{x-0}=limlimits_{xto0^-}frac{-x}{x}=-1，limlimits_{xto0^+}frac{f(x)-f(0)}{x-0}=limlimits_{x

to0^+}frac{x}{x}=1$$因此在$x=0$左右两侧的导数不相等，在$x=0$这⼀点不可导，但从$f(x)=|x|$的⾓度来说，显然$x=0$是连续点，且为极⼩

值点，极⼩值为0。

多元函数

多元函数的情况其实和刚才的极值第⼆充分条件⾮常的类似，只不过这个时候，需要判断的函数的极⼤值极⼩值变成了多元函数，为了讲清楚多元函数判

断极⼤值极⼩值的原理，我们需要对⼀元函数中的极值第⼆充分条件要有更深⼀步的认识，就是下⾯描述的内容。

(Thm5a极值第⼆充分条件的泰勒公式理解)设$f(x)$在$x=x_0$处⼆阶可导，且满⾜$f'(x_0)=0,f''(x_0)≠0$，则利⽤泰勒公式在$U(x_0,delta)$处展开

可得。$$begin{align}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(xi)(x-x_0)^2(xiinU(x_0,delta))&=f(x_0)+f''(xi)(x-x_0)^2end{align}$$因此很容易得到

$f(x)$和$f(x_0)$的关系就取决于$f''(xi)$的符号，这就是我们极值第⼆充分条件所表达的形式。

有了⼀元函数的基础以后，我们就可以根据多元函数的泰勒公式，类似的进⾏判断，由于考研中只涉及⼆元函数的极值，且对于多元泰勒公式基本不涉

及，这⾥就只讨论⼆元函数了，在此之前还需要先引⼊⼀个基本概念。

(Def6Hessian矩阵)它是⼀个由多元函数的⼆元偏导数偏导数构成的⽅阵，描述了函数的局部曲率，形式上如下$$begin{bmatrix}{frac{partial^2

f}{partialx_1^2}}&{frac{partial^2f}{partialx_1x_2}}&{cdots}&{frac{partial^2f}{partialx_1x_n}}{frac{partial^2f}{partialx_2x_1}}&

{frac{partial^2f}{partialx_2^2}}&{cdots}&{frac{partial^2f}{partialx_2x_n}}{vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}{frac{partial^2f}

{partialx_nx_1}}&{frac{partial^2f}{partialx_nx_2}}&{cdots}&{frac{partial^2f}{partialx_n^2}}end{bmatrix}$$

如果是对于⼆元函数，那么就是如下的形式$$begin{bmatrix}{{partial^2f}over{partialx_1^2}}&{{partial^2f}over{partialx_1x_2}}{{partial^2f}

over{partialx_2x_1}}&{{partial^2f}over{partialx_2^2}}end{bmatrix}$$接下来如果令$A={{partial^2f}over{partialx_1^2}}$，$C={{partial^2f}over

{partialx_2^2}}$，以及$B={{partial^2f}over{partialx_1x_2}}={{partial^2f}over{partialx_2x_1}}$。是不是就感觉有点熟悉了？当然了，这⾥最后的两

个混合偏导数能相等的充要条件是⼆阶混合偏导数连续。有了这个以后，我们就可以根据泰勒公式去理解多元函数的极值的，类似的，我们也先引⼊多元函数

极值的⼀些定义，这⾥⼀些相关概念就不再展开，可以直接翻考研辅导课本。

(Def7多元函数极值)设函数$z=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$为$D$的内点，若存在$P_0$的某个邻域$U(x_0)subtD$，使得对于该

邻域内异于$P_0$的任何点$(x,y)$，都有$$f(x,y)

⼤值点，若对于该邻域内异于$P_0$的任何点$(x,y)$，都有$$f(x,y)>f(x_0,y_0)$$则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$有极⼩值$f(x_0,y_0)$，点

$(x_0,y_0)$称为函数的极⼩值点。极⼤值与极⼩值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。

和⼀元函数类似，这⾥也完全不涉及到⼀阶偏导数的任何概念，然后也是从⼀个必要条件开始的。

(Thm8多元函数极值的必要条件)设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$具有偏导数，且在$(x_0,y_0)$处有极值，则有$$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$$

然后就把$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$的点也同样的称为驻点，和⼀元函数不⼀样的是，⼀元函数只需要考察定义域左右两侧的导函数的符号变化就可以

了，从⼆元函数开始，要考虑的是定义域内全部的⽅向的函数变化，由于平⾯上有⽆穷多个⽅向可以逼近导函数，因此不可以再应⽤"极值第⼀充分条件"，那

么就只剩下“极值第⼆充分条件”了，下⾯先来看看这个条件。

(Thm9多元函数极值的充分条件)设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内具有⼀阶和⼆阶连续偏导数，⼜有$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$，

令$$A=f_xx(x_0,y_0),B=f_xy(x_0,y_0),C=f_yy(x_0,y_0)$$则$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处是否取得极值的条件如下：

(1)$AC-B^2>0$时具有极值，且当$A<0$时具有极⼤值，当$A>0$时具有极⼩值。

(2)$AC-B^2<0$时没有极值。

(3)$AC-B^2=0$时是否有极值还需要讨论。

这个定理就直接给出了⽆条件极值下判断多元函数的极⼤值和极⼩值的⽅法了，下⾯我们可以利⽤⼆元泰勒对它进⾏理解，⾸先来看看⼆元函数的泰勒公

式的形式。

(Thm10⼆元函数的泰勒展开式)⼆元函数在点$(x_k,y_k)$处的泰勒展开式为：$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+(x-x_k)f'_x(x_k,y_k)+(y-y_k)f'_y(x_k,y_k)+frac{1}

{2!}(x-x_k)^2f''_xx(x_k,y_k)+frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_xy(x_k,y_k)+frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_yx(x_k,y_k)+frac{1}{2!}(y-

y_k)^2f''_yy(x_k,y_k)+o^n$$

如果写成矩阵的形式，那么就是$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+(x-x_k)f'_x(x_k,y_k)+(y-y_k)f'_y(x_k,y_k)+begin{bmatrix}x-x_k,y-y_kend{bmatrix}begin{bmatrix}

{partial^2f}over{partialx^2}&{partial^2f}over{partialxpartialy}{partial^2f}over{partialypartialx}&{partial^2f}over{partialy^2}

end{bmatrix}begin{bmatrix}x-x_ky-y_kend{bmatrix}$$

有了矩阵展开式以后，我们就能很容易理解Thm9所表⽰的内容。这⾥⾸先要注意的是，我们判断极值的正确与否利⽤的是多元函数极值的定义，如果有

$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$时，那么整个矩阵展开式就可以转变为$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+begin{bmatrix}x-x_k,y-y_kend{bmatrix}begin{bmatrix}{partial

^2f}over{partialx^2}&{partial^2f}over{partialxpartialy}{partial^2f}over{partialypartialx}&{partial^2f}over{partialy^2}end{bmatrix}

begin{bmatrix}x-x_ky-y_kend{bmatrix}$$这其中，后⾯矩阵的形式是⼀个⼆次型，关键就在于⼆次型矩阵的情况，利⽤线性代数的知识，容易得到。

(1)$AC-B^2>0$时具有极值，且当$A<0$时具有极⼤值，当$A>0$时具有极⼩值，这对应着⼆次型矩阵的负定和正定的情况。

(2)$AC-B^2<0$时没有极值，这对应着⾮正定的情况。

(3)$AC-B^2=0$时是否有极值还需要讨论，这也是对应着⾮正定的情况。

如果⼆次型对应的矩阵是正定的，那么泰勒展开式中第⼆项矩阵项就全部⼤于0，于是就有$f(x,y)>f(x_k,y_k)$，就得到极⼩值；如果⼆次型对应的矩阵是负

定的，那么泰勒展开式中第⼆项矩阵就全部⼩于0，于是就有$f(x,y)

依旧是⼀个例⼦。

例：求函数$f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$的极值

解：先求⼀阶偏导数，得到如下结果$$begin{cas}f_x(x,y)=3x^2+6x-9=0f_y(x,y)=-3y^2+6y=0end{cas}$$因此驻点为$(1,0)、(1,2)、(-3,0)、

(-3,2)$，再求出⼆阶偏导数得到。$$f_{xx}(x,y)=6x+6，f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=0，f_{yy}(x,y)=-6y+6$$依次求解得

在点$(1,0)$处，$AC-B^2=12*6>0$，⼜有$A>0$，所以函数在$(1,0)$处有极⼩值$f(1,0)=-5$。

在点$(1,2)$处，$AC-B^2=12*(-6)<0$，因此$f(1,2)$不是极值。

在点$(-3,0)$处，$AC-B^2=-12*6<0$，因此$f(-3,0)$不是极值。

在点$(-3,2)$处，$AC-B^2=-12*(-6)>0$，⼜有$A<0$，因此函数在$(-3,2)$处有极⼤值$f(-3,2)=31$。

另外⼀个例⼦。

例：求函数$z=sqrt{x^2+y^2}$的极值

解：先求⼀阶偏导数，得到$$z_x=frac{x}{sqrt{x^2+y^2}},z_y=frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}$$

注意这两个函数是典型的⼆元极限不存在的函数，否则令$y=kx$，代⼊$z_x$得$$begin{aligned}I&=limlimits_{xto0}frac{x}

{sqrt{x^2+k^2x^2}}&=limlimits_{xto0}sqrt{frac{x^2}{x^2+k^2x^2}}&=sqrt{frac{1}{1+k^2}}end{aligned}$$

显然这个式⼦的值与k相关，故⼆元极限不存在，但是从函数的图像容易得到，$(0,0)$显然是函数的极⼩值点。$z=0$是函数的极⼩值。

拐点与凹凸性

在把极值点讲完以后，还剩下⼀类点是拐点。这类点与函数的⼆阶导数⾮常相关的，既然谈到⼆阶导数，那么就免不了要谈函数的凹凸性，于是⾸先就要

统⼀⼀下凹凸性的语⾔，凹凸性⾸先要分为2类，⼀类是函数的凹凸性，另外⼀类是图形的凹凸性，出于直观考虑，我这⾥先描述图形的凹凸性。

(Def11图形的凹凸性)根据下⾯的图形，设函数$f$在区间$I$上连续.

(1)如果对于$I$上的任意两点$a,b$，恒有$$f(frac{a+b}{2})>frac{f(a)+f(b)}{2}$$那么称$f(x)$在$I$上的图形是上凸的，如左侧图。

(2)如果对于$I$上的任意两点$a,b$，恒有$$f(frac{a+b}{2})

PS：同济课本上对于图形的“凸”的定义通常认为是上凸的，对于图形的“凹”的定义通常认为是下凸的。

作为对⽐，我们直接来看关于函数的凹凸性。

(Def12函数的凹凸性)根据上⾯的图形，如果函数$f(x)$在区间$I$上连续

(1)如果对于$I$上的任意两点$a,b$，恒有不等式$f(frac{x_1+x_2}{2})>frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，那么称$f(x)$为凸函数。

(2)如果对于$I$上的任意两点$a,b$，恒有不等式$f(frac{x_1+x_2}{2})

PS：同济课本上对这⼀块没有描述，只定义了图形的凹凸性。

这样⼦⼀对⽐，很容易就能够看到如下的结果。

表达式图形的凹凸性函数的凹凸性

$f(frac{a+b}{2})>frac{f(a)+f(b)}{2}$上凸(凸)凹函数

$f(frac{a+b}{2})

因此，在凹凸性这块，函数的凹凸性和图形的凹凸性是刚好相反的。我个⼈的记忆⽅法是只记下凸图形对应凸函数，下凸函数的形式就和抛物线是类似

的。接下来就是凹凸性和⼆阶导数的关系了，这部分有如下定理。

(Thm13图形的凹凸性判断与⼆阶导数的关系)设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a.b)$内具有⼀阶和⼆阶导数，那么有

(1)若在$(a,b)$内有$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凹的，即$f(x)$是凸函数。

(2)若在$(a,b)$内有$f''(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凸的，即$f(x)$是凹函数。

观察这个定理可以知道，它和前⾯的函数的极值与导数的关系(极值第⼀充分条件)⾮常的类似，事实上也确实如此的，如果将⼀阶导数视为函数，那么⼆阶

导数就是⼀阶导数的导数，于是它就可以⽤于判断⼀阶导数的极值点，为了区分函数的极值点和⼀阶导数的极值点，我们定义了驻点。

(Def14拐点)设$f(x)$⼆阶可导，则称使得$f''(x)=0$的$x$为拐点。

因此根据Thm13以及Def14，我们可以整理出⼀套流程。

求函数的极值求函数的凹凸性

(1)求出⼀阶导数f'(x)

(2)求出f'(x)定义域不存在的点，得到不可导点。

(3)求解⽅程f'(x)=0，得到驻点。

(4)判断不可导点以及驻点左右两侧的f'(x)符号变化情况。

(1)求出⼆阶导数f''(x)

(2)求出f''(x)定义域不存在的点，得到f'(x)的不可导点。

(3)求解⽅程f''(x)=0，得到拐点

(4)判断f'(x)的不可导点以及拐点的符号，得到凹凸性。

嗯，接下来来看⼀道例题了。

例：判断$f(x)=x^(1/3)$的凹凸性。

解：先求出$f(x)$的⼆阶导数，有$$f'(x)=frac{1}{3x^{frac{2}{3}}}，f''(x)=-frac{2}{9x^3sqrt{x^2}}$$

因此容易得到当$x<0$时，$f''(x)>0$，图像为凹的，所以函数为凸函数，当$x>0$时，$f''(x)<0$，图像为凸的，所以函数为凹函数。在$x=0$处

发⽣了凹凸性的转变，但在$x=0$处⼆阶导数不存在，它不是拐点。

拐点与极值的关系

这个今年考研问我的⼈当中问的最多的⼀种类型的题⽬，这⾥⾯取了⼀道作为例⼦，如下：

例：设$f''(x)$连续，且$f'(0)=0$，$limlimits_{xto0}frac{f''(x)}{|x|}=1$，则有()

A.$f(0)$是$f(x)$的极⼤值

B.$f(0)$是$f(x)$的极⼩值

C.$(0,f(0))$是$y=f(x)$的拐点

D.$f(0)$⾮极值，$(0,f(0))$也⾮$y=f(x)$的拐点

解：由题中的极限容易得到两个关系，那就是$$limlimits_{xto0^+}frac{f''(x)}{x}=1，limlimits_{xto0^-}frac{f''(x)}{-x}=1$$

再由$f''(x)$连续，得$f''(0)=0$，由保号性可以得知可以得知当$x>0$时有$f''(x)>0$，当$x<0$时有$f''(x)>0$，所以这⾥没有发⽣凹凸性的转

变，$x=0$不是拐点。

但由$f''(x)>0$可以推得$f'(x)$在$U(0,delta)$内单调递增，且满⾜$f'(0)=0$，所以在$U(0,delta)$内$f'(x)$发⽣的符号的改变，具体的说，当

$x>0$时有$f'(x)>0$，当$x<0$时有$f'(x)<0$，因此是极⼩值，这题选B。

PS：这⾥要注意的是$f'(0)=0$，然后要判断的是$f''(0)$的符号，才能判断是极⼤值或者极⼩值。然后发现$f''(0)=0$，于是不满⾜极值的条件，再判

断$f''(x)$在$U(0,delta)$的情况，来判断凹凸性。⼀定要注意顺序。

(如果今年还遇到其他拐点和极值的关系的题⽬，欢迎评论到下⽅，到时候可以⼀起总结到这⾥!）