二倍角公式及半角公式

半角公式

利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方

倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.

现列出公式如下:

sin2α=2sinαcosα

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.

号外:

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

其他一些公式

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)

八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

【本讲教育信息】

一.教学内容：

3.1和角公式

3.2倍角公式和半角公式

二.教学目的

1.了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的

余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、

正弦、正切公式的内在联系；

2.掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、

余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联

系。

三.教学重点、难点

重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、

正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。

难点：能够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。

四.知识分析

（一）两角和与差的余弦

1、两角差的余弦公式

推导方法1：向量法

把

cos()

看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如

图1，设

、

的终边分别与单位圆交于点P

l

(

cos

，

sin

)，P

2

(

cos

，

sin

)，由于余

弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑

0

的情况。

图1

设向量12

(cos,sin),(cos,sin)aOPbOP

则

||||cos()cos()abab

。

另一方面，由向量数量积的坐标表示，有

coscossinsinab

cos()coscossinsinC



于是，对于任意的

、

，都有上述式子成立。

推导方法2：三角函数线法

设

、

、



都是锐角，如图2，角



的终边与单位圆的交点为P

l

，∠POP

1

＝



，则∠Pox＝



。过点P作MN⊥x轴于M，则OM即为



的余弦线。在这里，

我们想法用

、

的三角函数线来表示OM。

图2

过点P作PA⊥OP

1

于A，过点A作AB⊥x轴于B，过P作PC⊥AB于C，则OA表示

cos

，AP表示

sin

，并且∠PAC＝∠P

1

Ox＝



，于是

cossincoscossinsinOMOBBMOBCPOAAP

即

cos()coscossinsinC



要说明此结果是否对任意角

、

都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的

过程也是比较繁难的，在此就不进行研究了。

2.两角和的余弦公式

比较

cos()

与

cos()

，并且注意到



与



之间的联系：

()

则由两角差的余弦公式得：

cos()cos[()]coscos()sinsin()coscossinsin

即

cos()coscossinsinC



3.对公式的理解和记忆

（1）上述公式中的

、

都是任意角。

（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。

（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如

2()()

，

()

等。

（二）两角和与差的正弦

1.公式的导出

sin()sin[()]sincos()cossin()sincoscossin

即

sin()sincoscossinS



sin()sincoscossinS



2.公式的理解

（1）

SSCC



、与、

一样，对任意角

、

均成立，是恒等式。

（2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。

如

cos()coscossinsin222

10cossincos

sin()sincoscossin222

01cossinsin

（3）明确

SC



与

公式的区别与联系：

sin()sincoscossin

cos()coscossinsin

两公式右边均为两乘积项和差形式，但

S

公式中，左边为角的“和”或“差”，右边

也为两项之“和”或“差”，而

C

公式中，左边为角的“和”或“差”，右边则为两项之

“差”或“和”，另外

S

公式中右边两项均为角

、

的异名函数之积，牢记公式，才能

正确使用这些公式。

3.函数

()cossinfab

的最值（a、b为常数，



为任意角）

将函数

()f

化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项之“和”式，所以考虑

应用两角和与差的正弦、余弦公式，可化为一个三角函数形式，化简过程如下：

fab()cossin













ab

a

ab

b

ab

ab

b

a

ab

22

2222

22

22

(cossin)

(coscossinsin)(tan)

cos()







令

又∵11cos()

∴，fabfab()()

maxmin

2222

也可如下化简：

fab()cossin













ab

a

ab

b

ab

ab

a

b

ab

22

2222

22

22

(cossin)

(sincoscossin)(tan)

sin()







令

∴abfab2222()

即

fabfab()()

maxmin

2222，

注：此处内容与教材P143的例4是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同学们

灵活掌握，运用自如。

（三）两角和与差的正切

1.正切公式的推导过程

当

cos()0

时，将公式

SC



、

的两边分别相除，有

tan()

sin()

cos()

sincoscossin

coscossinsin























当cosαcosβ≠0时，将上式的分子分母分别除以cosαcosβ，得：

tan()

tantan

tantan

()









1

T

由于

tan()

sin()

cos()

sin

cos

tan





















，

在

T

中以－β代β，可得

tan()

tantan

tantan

()









1

T

2.公式的理解

（1）公式成立的条件

①公式

T

±在















≠，≠，≠需满足kkkT

222

()

，α－β≠

kTkZ







2

()需满足，

时成立，否则是不成立的。

②当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式

T

±，处理有关问题时，

应改用诱导公式或其他方法来解。

（2）公式的变形形式

①由

tan()

tantan

tantan











1

得

tantantan()(tantan)

tantan

tantan

tan()

















1

1

；

·；

②由

tan()

tantan

tantan











1

得

tantantan()(tantan)1

；

tantan

tantan

tan()







·





1

。

（四）倍角公式

1.本节中公式的证明过程较为简单，只要将

SCT

()()()

、、

中的β换作α即可得

到

SCT

222

、、

的形式，再结合平方关系

sincos221

可推得

C'

2。

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形

sinsincos()

coscossin()

tan

tan

tan

()

22

2

2

2

1

2

22

2

2

2

























，S

C

T

另外，

coscossin(')2211222

2





C

。

公式

C'

2还可变形为升幂公式：

12212222coscoscossin，

，

降幂公式：

cos

cos

sin

cos

22

12

2

12

2

















，

以上公式中除

tan

tan

tan

()2

2

1

242















中，≠

k

kZ

且α≠

kkZ





2

()

外，其余公式中角α为任意角。

（五）半角的正弦、余弦和正切

1.应用三个半角公式

SCT



222

、、

时，要特别注意根号前的符号，选取依据是



2

所在

的象限的原三角函数的符号。同学们往往误认为是根据cosα的符号，确定

sin



2

，

cos



2

、

tan



2

的符号。

如α为第二象限角，且

cos

2

3

，则



2

为第一或第三象限角，∴

sin



2

可正可负，

cos



2

可正可负，

tan



2

为正。

∴±±±sin

cos

2

1

2

1

2

3

2

30

6











cos

cos

2

1

2

1

2

3

2

6

6









±±±

，

tan

cos

cos



2

1

1

5







2.公式

T



2，共有三个，即

tan

cos

cos

sin

cos

cos

sin











2

1

11

1















±

，显然公式

tan

cos

cos



2

1

1







±

由于符号问题有时不方便，后两个无符号问题，但易记混淆。对于

后两个公式关键是明确公式的推导，如下：

tan

sin

cos

sincos

cos

sin

cos













2

2

2

2

22

2

2

12





，同理可推得

tan

cos

sin



2

1





，后两个

公式在化简中往往起到事半功倍的效果。

3.升幂公式：

12

2

12

2

22coscoscossin







，

降幂公式

cos

cos

2

2

1

2







，

sin

cos

2

2

1

2







，等同于倍角公式的升幂与降幂公

式。

升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在应用时要根据题目的角的特点，函数的特点

及结构特点选取公式。一般地升幂的同时角减小，降幂的同时角增大。

【典型例题】

例1.

sin()cos()









2

32

3

52

，，，，，

，求

cos()

的值。

解析：由





()sin

2

2

3

，及，

得cossin()11

2

3

5

3

22

又由









()cos，及，

2

3

5

得

sincos()11

3

5

4

5

22

由余弦的和角公式，得

cos)coscossinsin()()()





5

3

3

5

2

3

4

5

835

15

点评：已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的

象限，从而确定三角函数值的符号。

例2.已知Rt△ACB中，两垂直边AC＝b，BC＝a，斜边AB＝c，周长为定值l，求斜边

c的最小值。

解析：Rt△ACB中∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c

则a＝c·sinA，b＝c·cosA

∴labccAA(sincos)1

∴c

l

AA

l

A









1

12

4

sincos

sin()



∵

∴

sin()

sin()

A

c

l

A

l















4

1

12

4

12

即当

sin()A



4

1

A



4

时，斜边c最小，最小值为

l

12

。

点评：（1）应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式（三角形

式），再求最值。

（2）型如

()cossinfxaxbx

的函数均可化为

22()sin()fxabx

（θ为

确定数值），或化为

22()cos()fxabx

，再利用三角函数的值域可求最值。

例3.计算：（1）

175

175

215301530







tan

tan

tantantantan；（）

解析：（1）解法1：

tantan()

tantan

tantan

754530

4530

14530



















1

3

3

1

3

3

1263

6

23

∴

175

175

123

123

33

13

23

2

3



















tan

tan

解法2：

175

175

4575

14575











tan

tan

tantan

tantan·





tan()tantan457512060

3

（2）公式

tan()

tantan

tantan











1·

，可变形为

tantantan()(tantan)1

∴·tantantantan15301530





tan(tantan)tantan

tan

45115301530

451

··

点评：（1）题（1）中的解法1是正用公式

T

，从而将非特殊角75°的正切化为两特

殊角45°与30°的正切，使问题得解；而题（1）中的解法2通过变换凑出两角和的正切公

式形式，逆用公式

T

使问题得到解决。题（2）是逆用公式

T

求解的。

（2）公式

T

可正用、逆用、变形应用。应用公式解题时，由于所求式子与公式有一

定距离，可先变形、整理，再应用公式。

（3）对于型如：

cossin

cossin





（或

cossin

cossin





）的式子，常常分子分母同时除以

cos

为

1tan

1tan





（或

1tan

1tan





）的形式，再化为

tantan

tantan

45

145







·

（或

tantan

tantan

45

145







·

）

的形式，再用公式

T

即可。

例4.设

tantan、

是方程

xx2330

的两实根。

求

sin()sin()cos()cos()2233

之值。

解析：由题意知：

tantantantan33，·

∴

∴

tan()

tantan

tantan

sin()sin()cos()cos()



















1

3

4

3322













sin()sin()cos()cos()

sin()cos()

tan()tan()

tan()

22

22

2

2

33

33

1

















()

()

3

4

3

3

4

3

3

4

1

3

2

2

×

点评：（1）由tan(α＋β)＝

3

4

如何求待求式

sin()sin()cos()23

32cos()

的值是难点，而将待求式转化为

tan()

的待求式是关键，如何转化呢？

关键之关键是将原待求式看成分母为“1”的分式，而分母“1”又可表示为

22sin()cos()

（2）由

tana

，可求下列代数式的值：

型如

sincos

sincos

ab

cd





，可化为

tan

tan

ab

cd





；

型如

22

22

sincos

sincos

ab

cd





，可化为

2

2

tan

tan

ab

cd





；

型如

22sin3sincoscos

，

可化为

222

222

sin3sincoscostan3tan1

sincostan1







例5.解答下列各题：

（1）求

coscos



12

5

12

的值；

（2）已知

sin()





5

132

，，

，求

sincostan222、、

的值；

（3）求

tan

tan

15

1152

°

°

的值。

解析：（1）

coscoscossin



12

5

121212





1

2

2

1212

1

26

1

4

·cossinsin



；

（2）∵

sin()





5

132

，，

∴cossin()11

5

13

12

13

22

故

sinsincos()222

5

13

12

13

120

169

××

cossin()21212

5

13

119

169

22×

tan

sin

cos

2

2

2

120

169

119

169

120

119











÷

（3）∵

tan

tan

tan

tan

tan

15

115

1

2

215

115

1

2

30

3

622

°

°

·

°

°

°









点评：（1）对于第（1）题要注意将

5

cos

12



变换成

sin

12



，再配以系数2，即可适合二

倍角的正弦公式的形式，利用二倍角的正弦公式求值；

对于第（2）题首先利用同角三角函数的关系求出

cos

的值，然后利用二倍角公式求

出

sin2,cos2

的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出

tan2

的值。

对于第（3）题配上系数2，即为二倍角的正切公式，逆用二倍角正切公式即可。

（2）二倍角公式可正用、逆用、变形用，牢记公式及其特点才能正确灵活地使用二倍

角公式；

（3）二倍角正弦公式连续使用时要注意构造余弦的二倍角关系，类似地，可以证明恒

等式：

1

*

1

sin(2)

coscos2cos4cos(2)()

2sin

n

n

n

nN











如求值sin10°·sin50°·sin70°，可以先化为cos20°·cos40°·cos80°

再化为

820204080

820

160

820

20

820

1

8

sincoscoscos

sin

sin

sin

sin

sin



















···

同学们可以试着求下面的式子的值：

sinsinsinsin6426678

例6.已知

sincos

1

3

0，且

，求

sincostan222，，

的值。

解析1：∵

sincos

1

3

∴sincossincos222

1

9



∴且

∵，，∴

∴

sinsincos

sincos

sincos

2

8

9

4

9

0

000

0













∴sincos(sincos)

sin









2

12

17

3

∴

×

coscossin

(sincos)(cossin)

()

2

1

3

17

3

17

9

22









tan

sin

cos

2

2

2

817

17









解析2：∵

sincos

1

3

平方得

sincos

4

9

∴sinα、cosα可看成方程

xx2

1

3

4

9

0

的两根，

解方程

xx2

1

3

4

9

0

，可得

xx

12

17

6

17

6

00

17

6

17

6

22

8

9





















，，

∵，，∴

∴，

∴







()sin

sincos

sinsincos

coscossin

tan

sin

cos

2

17

9

2

2

2

817

17

22











点评：已知



的一个三角函数值及所在象限，可求2



的正弦、余弦、正切，而本题已

知三角函数式

1

sincos

3



，可先求出

sin,cos,tan

的值，再用二倍角公式，但要

判断出

2





，另外本题解法较多，认真研究可以提高解题的灵活变形能力。

例7.已知

|cos|sincostan









3

5

5

2

3

222

，且，求，，

的值。

解析：∵

|cos|









3

52

3，

∴，

由

cos

cossin













3

5

5

42

3

2

12

2

2

有

又

sin

cos

coscos







2

1

2

1

3

5

2

25

5

2

2

12













有cos

cos

2

1

2

5

5







tan

sin

cos







2

2

2

2

点评：半角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的

1

2

，不一定是单角的形式，

根号前面的符号，由

2



所在象限来确定，如果没有给出限定符号的条件，根号前应保留正

负两个符号。

例8.已知

tan

sincos

sincos













a，求

122

122

的值。

解析：解法1：∵

tan

sin

cos

cos

sin







21

1









∴tan

sin

cos

cos

sin

















2

12

12

2

利用比例性质：

∴

即

122

122

122

122













sincos

sincos

tan

sincos

sincos











a

解法2：∵

1222cossin

1222coscos

∴

122

122

122

122

22

22

2

2

2

2

























sincos

sincos

cossin

cossin

sinsincos

cossincos

sin(sincos)

cos(cossin)

tan



















又∵

tana

，

∴

122

122







sincos

sincos





a

解法3：原式























1

2

1

2

22

22

22

22

22

22

sincos

sincos

cossin

sincos

sincos

sincos

cossin

sincos







































1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

tan

tan

tan

tan

tan

tan

tan

tan































121

121

21

21

22

22

tantantan

tantantan

tan(tan)

(tan)

tan











又∵

tana

，

∴

122

122







sincos

sincos





a

点评：（1）给值求值问题一般有两个思路：一是先化简（变形）三角式，再代入求值（法

2，法3）；二是由已知变形，获得所求解的式子（法1），相比而言法2为通法，法1技巧太

高不易掌握，法3太麻烦，但它与题型“由

tan

的值，求

sincos

3sin2cos





的值”有异曲

同工之妙。

（2）法2中用到的化简技巧：

21cos22sin

，

21cos22cos

，在化简

三角函数式中含有“

1cos2

”时常用到。

（3）法1中的公式

sin1cos

tan

21cossin







在化简三角式中也经常使用。

【模拟试题】

1.下列四个命题中的假命题是（）

A.存在这样的α和β的值使得

cos()coscossinsin

B.不存在无穷多个α和β的值使得

cos()coscossinsin

C.对于任意的α和β有

cos()coscossinsin

D.不存在这样α和β的值使得

cos()coscossinsin≠

2.化简

sin()sin()cos()cos()xyxyxyxy

的结果是（）

2xC.－cos2xD.－sin2x

3.在△ABC中，若

sinsincoscosABAB··

，则△ABC一定为（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

4.化简

sin()coscos()sin

的结果为（）

A.1B.

sin

ααcosβ

5.若

3323sincossin()()xxx，，

，则



等于

A.





6

B.



6

C.

5

6



D.



5

6



6.

tantantantan204032040

的值为（）

A.

3

B.

3

C.3D.

3

3

7.当

cos2

2

3



时，

sincos44

的值是（）

A.1B.

7

9

C.

11

18

D.

13

18

8.化简：

188

188





sincos

sincos





＝（）

A.

tan4

B.

cot4

C.

tan2

D.

cot2

9.已知：

xxx()costan



2

0

4

5

2，，，则

等于（）

A.

7

24

B.



7

24

C.

24

7

D.



24

7

10.已知

sincoscossinsin()

1

2

1

3

，，则

＝_________。

11.函数

yxxsincos222

的最大值是___________。

12.已知

sincos()



2

2

，，a

，则tanα＝__________。

13.函数

fxxxx()cossincos223

的最小正周期是__________。

14.求值：

21020

20

cossin

cos





。

15.在锐角△ABC中，

（1）求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；

（2）化简：

tantantantantantan

ABBCCA

222222



。

16.已知函数

fxxxxx()cossincossin442

。

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若

xfx[]()0

2

，，求



的最大值、最小值。

17.已知

sin()sin()()













44

1

62

，，

，求

sin4

的值。

18.求下列各式的值。

（1）

tancot



812



；

（2）

(tancot)

cos

sin

55

70

170







·

。

【试题答案】

1～9：BCDBABCAD

10.

59

72

11.

21

12.

3

3



13.π

14.解：原式







2302020

20

cos()sin

cos















23020302020

20

2

3

2

20

1

2

2020

20

3

(coscossinsin)sin

cos

[cossin]sin

cos

15.（1）证明：∵A＋B＋C＝



，∴A＋B＝

C

∴

∴

∴

tan()tan()

tantan

tantan

tan

tantantan(tantan)

ABc

AB

AB

C

ABCAB













1

1

∴tantantantantantanABCABC

（2）解：原式

tan(tantan)tantan

ABCBC

22222





tantan(tantan)tantan

ABCBCBC

22

1

2222

·





tantan()(tantan)tantan

tan

tan

(tantan)tantan

AABCBC

A

A

BCBC

222

1

2222

2

1

2

1

2222

1



16.解：

fxxxxxx()(cossin)(cossin)sin22222

cossincos()2222

4

xxx



（1）

fx()

的最小正周期是



。

（2）∵







4

2

44

x

∴当

2

44

2

2

2

1xfx



时，×

max

()

；

当

2

4

2xfx



，

min

()

17.解：由

sin()sin()









44

1

6



有

sin()cos()









44

1

6



即

1

22

2

1

6

sin()





于是

cos2

1

3



又

22()，

，故

sin2

2

3

2

，

所以

sinsincos4222

42

9



。

19.解：（1）

tancot



812









































1

4

1

4

1

6

1

6

1

2

2

1

2

2

1

3

2

1

3

2

22

22

23

23

123

cos

cos

cos

cos









（2）

(tancot)

cos

sin

55

70

170





















tan

tan

sin

cos

cottan

251

5

20

120

21010

2

·

··