两个重要极限公式

.

;.

模块基本信息

一级模块名称函数与极限二级模块名称计算模块

三级模块名称极限的计算---两个重要极限模块编号

1-9

先行知识极限的计算---常用计算方法模块编号

1-8

知识内容教案要求掌握程度

1、两个重要极限的证明1、理解两个重要极限

一般掌握

2、

x

x

x

sin

lim

0

型极限的计算（第一个重要极限公

式）

2、熟练掌握简单的利用两个

重要极限公式求函数的极限

3、x

xx

)

1

1(lim



型极限的计算（第二重要极限公

式）

3、一般掌握较复杂的利用两

个重要极限求函数的极限

能力目标

1、培养学生的计算能力

2、培养学生对知识的归纳能力

时间分配45分钟编撰陈亮校对王清玲审核危子青

修订熊文婷二审危子青

一、正文编写思路及特点：

思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。让

学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。

特点：以两个重要极限的基本模型为基础，对类似的两个重要极限进

行转换计算，让学生在对同类型的极限进行计算过程中，掌握利用两

个重要极限进行相关计算。

二、授课部分

（一）预备知识

0

0

型极限的计算

（二）新课讲授

.

;.

1、无穷小的定义

定义：如果当

0

xx（或

x

）时,函数fx的极限为零，那么函

数fx就称为

0

xx（或

x

）时的无穷小量（简称fx为无穷

小）。

引例

?

sin

lim

0



x

x

x

(说明：当

0x

时，

xx,sin

均为无穷小量.)

2、（第一个重要极限）

1

sin

lim

0



x

x

x

(选讲)证明思路：函数的夹逼准则

由于

x

x

x

sin

lim

0

为

0

0

型极限，之前我们有因式分解法，而对于

x

x

x

sin

lim

0

显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解

法。

首先注意到函数

x

xsin

对于一切x0都有定义

如右图，图中的圆为单位圆BCOADAOA圆心角AOBx

(0x

2



)

显然sinxCBx

ABtanxAD因为

S

AOB

S

扇形AOB

S

AOD



所以

2

1

sinx

2

1

x

2

1

tanx

即sinxxtanx

.

;.

不等号各边都除以sinx就有

xx

x

cos

1

sin

1或1

sin

cos

x

x

x

注意：此不等式当

2



x0时也成立而1coslim

0





x

x



根据夹逼准则得

1

sin

lim

0



x

x

x

.

使用说明在极限

)(

)(sin

lim

x

x





中只要(x)

是无穷小就有

1

)(

)(sin

lim

x

x







例1求

x

x

x

3sin

lim

0

（一级）

解

x

x

x

3sin

lim

0

33

3

3sin

lim

0



x

x

x

例2求

x

x

x

tan

lim

0

（一级）

解

x

x

x

tan

lim

0xx

x

xcos

1sin

lim

0





1

cos

1

lim

sin

lim

00



xx

x

xx



例3求

2

0

cos1

lim

x

x

x





（二级）

解

2

0

cos1

lim

x

x

x



=

2

2

0

2

2

0)

2

(

2

sin

lim

2

1

2

sin2

lim

x

x

x

x

xx



（选讲）例4求

x

x

x3sin

2sin

lim



（三级）

解：令xt，则

3

2

3sin

2sin

lim

)(3sin

)(2sin

lim

3sin

2sin

lim

00









t

t

t

t

x

x

ttx





3、（第二个重要极限）

e

x

x

x





)

1

1(lim

.

;.

考虑特殊情况

e

n

n

n





)

1

1(lim

.对n取不同正整数，可得数列

})

1

1{(n

n



的取值的表格如下：

n123



102030100



})

1

1{(n

n



2

4

9

27

64



2.5942.6532.6582.705



（注：表格中算出的值均为无理数）

根据上述的表格，可得以下结论：

⑴数列

})

1

1{(n

n



单调、有界；

⑵数列

})

1

1{(n

n



的极限存在；

⑶数列

})

1

1{(n

n



的极限为无理数.

使用说明：在极限)(

1

)](1lim[xx

中只要

)(x

是无穷小（1型

极限），就有

exx)(

1

)](1lim[

例5求n

nn

)

1

1(lim



（一级）

解令t=n,则n时t于是

n

nn

)

1

1(lim



t

tt





)

1

1(lim

e

t

t

t

1

)

1

1(

1

lim









或)1()

1

1(lim)

1

1(lim



n

n

n

nnn

11])

1

1(lim[







e

n

n

n

例6求x

x

x

1

0

)1(lim



（一级）

.

;.

解令

x

t

1



则x0时t于是

x

x

x

1

0

)1(lim



e

t

t

t





)

1

1(lim



注：

exx

x





1

0

)1(lim

为

e

x

x

x





)

1

1(lim

的等价形式.

例7求22

2

)

1

1

1(limx

xx





(二级)

解令

12xt

则x时t于是

2

)1(2)1(2

)1(22

2

lim])

1

1[(lim)

1

1(lim)

1

1

1(lim2ee

tt

x

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x



















（选讲）例8求x

x

x

2

0

)sin1(lim



（三级)

解：

2

sin2

sin

1

0

sin2

sin

1

0

2

0

]))sin(1[(lim

))sin(1(lim)sin1(lim



















ex

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

注：例6、例7和例8中的函数均为幂指函数，幂指函数形如

)()]([xgxf.若

BxgAxf)(lim,0)(lim

，则BxgAxf)()](lim[.

三、能力反馈部分

（一）第一个重要极限

（1）

x

x

x

5sin

lim

0

（一级）

（2）

)

1

sinsin

1

(lim

0x

xx

xx





（一级）

（3）

2

0

14cos

lim

x

x

x





（二级)

.

;.

（4）

2

tan)1(lim

0

x

x

x







（三级)（选做）

（二）第二个重要极限

（1）x

x

x

1

0

)21(lim



（一级）

（2）

x

x

x

)1ln(

lim

0





(二级)

（3）2)

1

1

(lim

2

2

x

xx

x







（二级)

（4）x

x

x2sin

1

2

0

)(coslim



（三级)（选做）

.

;.