tanx的不定积分

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三角函数有理式的不定积分

由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有

理式，并用R(u(x),v(x))表示.

dxxxR)cos,(sin

是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan

2

x

,可把他化为

有理函数的不定积分。这是因为

Sinx=

2

2221

2

2

tan1

2

tan2

2

cos

2

sin

2

cos

2

sin2

t

t

x

x

xx

xx











(8)

Cosx=

2

2

2

2

22

22

1

1

2

tan1

2

tan1

2

cos

2

sin

2

sin

2

cos

t

t

x

x

xx

xx

















(9)

dx=

dt

t21

2



所以

dt

tt

t

t

t

RdxxxR

22

2

21

2

)

1

1

,

1

2

()cos,(sin







（10）

例3求

dx

xx

x







)cos1(sin

sin1

解令t=tan

2

x

,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式，

dx

xx

x







)cos1(sin

sin1

=dt

t

t

t

t

t

t

t

2

2

2

2

2

1

2

)

1

1

1(

1

2

1

2

1



















=

)ln2

2

(

2

1

)

1

2(

2

12

tt

t

dt

t

t+C

=C

xxx



2

tanln

2

1

2

tan

2

tan

4

1

2

注意上面所用的交换t=tan

2

x

对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，

但并不意味着在任何场合都是简便的.

例4求

)0(

cossin2222





ab

xbxa

dx

解由于

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,

tan

)(tan

tan

c

cossin222222

2

2222









bxa

xd

dx

bxa

x

xbxa

dx

故令t=tanx,就有

,

tan

)(tan

tan

c

cossin222222

2

2222









bxa

xd

dx

bxa

x

xbxa

dx

=

C

b

at

ab

arctan

1

适当当被积函数是xx22cos,sin及sinxcosx的有理式时，采用变换t=tanx往往

比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。

三某些无理根式的不定积分

1.

dx

dcx

bax

xR),(





型不定积分（ad-bc0）.对此只需令t=

,

dcx

bax





就可化为有

理函数的不定积分。

例5求

dx

x

x

x2

21







解令t=

,

2

2





x

x

则有x=

,

)1(

8

,

1

)1(2

222

2

dt

t

t

dx

t

t











dt

tt

t

dx

x

x

x











)1)(1(

4

2

21

22

2

,

=

dt

tt

)

1

2

1

2

(

22







=lnCt

t

t







arctan2

1

1

=

C

x

x

x

x

x

x



















2

2

arctan2

2

2

2

2

1

ln

.

例6求

22)1(xxx

dx

解由于

,

2

1

)1(

1

2)1(

1

2

2x

x

x

xxx











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故令t=

,

2

1

x

x





则有x=,

1

6

,

1

12

22

2

dt

t

t

dx

t

t











22)1(xxx

dx

=

dx

x

x

x









2

1

)1(

1

2

=

dt

t

dt

t

t

t

t









2222

22

3

2

)1(

6

9

)1(

=

.

1

2

3

2

3

2

C

x

x

C

t









2.

dxcbxaxxR),(2

型不定积分（a>0时.2b-4aco时，)042acb由于

,

4

4

)

2

(

2

2

22















a

bac

a

b

xacbxax

若记u=

,

2a

b

x

,

4

4

2

2

2

a

bac

k



则此二次三项式必属于以下三种情形之一：

).(),(),(222222ukakuakua

因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:

dukuuR),(22

,

.),(22duukuR

例7求





422xxx

dx

I

解【解法一】按上述一般步骤，求的

I=







)1

4)1(2u

du

xx

dx

（x=u+1）

=





tan2)1c2

tanc2

d(u=2c)

=dt

t

t

t

d















2

2

2

2

1

1

1

2

cos2



(t=)

2

tan



C)

2

tan

3

1

arctan(

3

2

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由于









c1

tan

cos1

sin

2

tan









=,

1

32

1

2

)

2

(

2

1

2











x

xx

u

u

因此

I=

,

1

32

arctan

3

22





x

xx

【解法二】若令

则,322txxx

可解出

,

)1(2

32

,

)1(2

3

2

22

dt

x

tt

dx

t

t

x













.

)1(2

)322(

)1(2

3

32

22

2













t

xt

t

t

t

xx

于是所求不定积分直接化为有理函数得不定积分：

I=

注1可以证明

,

3

)1(3

32

arctan

3

32

arctan

22











x

xxxxx

所以两种方法得结果是一致的。此外，上述结果对x<0同样成立。

注2相比之下，解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为有理

式（而解法一通过三次换元才化为有理式）。如果改令

,322txxx

显然有相同效果———两边各自平方后能消去2x项，从而解出x为t得有理函数。

一般地，二次三项式

cbxax

中若a>0,则可令

;2txacbxax

若c>0,还可令

cxtcbxax2

这类变换称为欧拉变换.

至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的

求法。需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数得形式把这

个不定积分表示出来。在这个意义下，并不是任何初等函数得不定积分都能“求

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出”来的。例如

)10(sin1,

sin

,

ln

,2222kxdxkdx

x

x

x

dx

dxex

等等，虽然没他们都存在，但却无法用初等函数来表示（这个结论证明起来是非

常难的，刘纬尔（liouville）于1835年做出过证明）。因此可以说，初等函数的

原函数不一定是初等函数。在下一章将会知道。这类非出等函数可采用定积分形

式来表示。

最后顺便指出，再求不定积分时,换可利用现成的积分表.在积分表中所有的

积分公式是按被积函数分类编排的人们只要根据被积函数的类型，或经过适当变

形化为表中列出的类型，查阅公式即可。此外，有些计算器（例如TI-92型）和

电脑软件（例如Mathemetica,Maple等）也具有求不定积分的使用功能.但对于初

学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法.

在附录Ⅲ中列出了一份容量不大的积分表，他大体上是典型例题和习题的总

结.列出这份积分表的主要目的的是为了大家学习后记课程提供方便.