2013福建高考

2013年普通高等学校招生全国统一考

试（福建卷）

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）【2013年福建，文1】复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位

于（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限

（D）第四象限

【答案】C

【解析】在复平面内，对应点的坐标为，故选C．

（2）【2013年福建，文2】设点，则“且”是“点在直线上”的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要

条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】点(2，-1)在直线l：x+y-1=0上，而直线l上的点的坐标不一定为

(2，-1)，故“x=2且y=-1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件，

故选A．

（3）【2013年福建，文3】若集合，则的子集个数为（）

（A）2（B）3（C）4（D）16

【答案】C

【解析】由题知，故它的子集个数为，故选C．

（4）【2013年福建，文4】双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）

（A）（B）（C）1（D）

【答案】B

【解析】的渐近线方程为，顶点坐标为，点到的距离为，

故选B．

（5）【2013年福建，文5】函数的图象大致是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】由可知函数图象经过原点．又，所以函数图象关于轴对称，故

选A．

（6）【2013年福建，文6】若变量满足约束条件，则的最大值和最小值

分别为（）

（A）4和3（B）4和2（C）3和2

（D）2和0

【答案】B

【解析】画出可行域如下图阴影部分所示．画出直

线，并向可行域方向移动，当

直线经过点时，取最小值．当直线经过点

时，取最大值．

故，，故选B．

（7）【2013年福建，文7】若，则的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】∵，∴，即．∴，故选D．

（8）【2013年福建，文8】阅读如图所示的程序框图，运行相

应的程序，如果输入某个正整数后，输

出的，那么的值为（）

（A）3（B）4（C）5（D）6

【答案】B

【解析】若，则输出；若，则输出，符合题意，故选B．

（9）【2013年福建，文9】将函数的图象向右平移个单位长度后

得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】∵的图象经过点，∴．又∵，∴．∴．

由题知，又图象经过点，∴．

当时满足，故选B．

（10）【2013年福建，文10】在四边形中，，则该四边形的面积为（）

（A）（B）（C）5（D）10

【答案】C

【解析】∵·，∴．

，故选C．

123456

021334

（11）【2013年福建，文11】已知与之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上

表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（

）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】，，，，

，，故选C．

（12）【2013年福建，文12】设函数的定义域为，是的极大值点，以下结

论一定正确的是

（）

（A）（B）是的极小值点

（C）是的极小值点（D）是的极小值点

【答案】D

【解析】由函数极大值的概念知A错误；因为函数的图象与的图象关于轴

对称，所以是的极大值点．B选项错误；因为的图象与的图象关

于轴对称，所以是的极小值点．故C选项错误；因为的图象与的

图象关于原点成中心对称，所以是的极小值点，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡

的相应位置．

（13）【2013年福建，文13】已知函数，则．

【答案】

【解析】∵，．

（14）【2013年福建，文14】利用计算机产生之间的均匀随机

数，则事件“”发生的概率为．

【答案】

【解析】由，得．∵，∴．根据几何概型知所求概率为．

（15）【2013年福建，文15】椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线

与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于．

【答案】

【解析】∵由知直线的倾斜角为，∴，．∴．

∴，．又，∴，即．

（16）【2013年福建，文16】设是的两个非空子集，如果存在一个从到

的函数满足；

（i）；（ii）对任意，当时，恒有．

那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：

①；

②；

③．

其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同

构”的集合对的序号）．

【答案】①②③

【解析】①若是从到的一个函数，且，则满足（i）．又是单调递增的，所

以也满足（ii）；②若时，满足（i），又是单调递增的，所以也

满足（ii）③若时，满足（i）．又在上是单调递增的，所以也满

足（ii）．

三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤

或证明过程．

（17）【2013年福建，文17】（本小题满分12分）已知等差数列的公

差，前项和为．

（1）若成等比数列，求；

（2）若，求的取值范围．

解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，

即，解得或．

（2）因为数列的公差，且，所以；即，解得．

（18）【2013年福建，文18】（本小题满分12分）如图，在四

棱锥中，面，，，，，，．

（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥

的正视图．（要求标出尺

寸，并画出演算过程）；

（2）若为的中点，求证：面；

（3）求三棱锥的体积．

解：（1）在梯形中，过点作，垂足为，由已知得，四边形

为矩形，，

在中，由，，依勾股定理得：，从而，

又由平面得，从而在中，由，，

得，正视图如右图所示：

（2）解法一：

P(χ2≥k)

0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

取中点，连结，，在中，是中点，∴，，

又，，∴，∴四边形为平行四边形，∴．

又平面，平面，∴平面．

解法二：

取的中点，连结，，在梯形中，，且，

∴四边形为平行四边形，∴，又平面，

平面，

∴平面，又在中，，平面，平面，

∴平面．又，∴平面平面，又平面，

∴平面．

（3），又，，所以

．

（19）【2013年福建，文19】（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上

（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日

平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了

100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年

龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两

组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，分别加以统计，得到

如图所示的频率分布直方图．

25周岁以上组25周岁以下组

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少

抽到一名“25周岁以下组”工人的

频率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据

已知条件完成的列联表，并判断是

否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附：

解：（1）由已知得，样

本中有25周岁以上组

工人60名，25周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产

件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有（人），记

为，，；25周岁以下组

工人有（人），记为，，从中随机抽取2名工人，所有可能的

结果共有10种，他们是：

，，，，，，，，，，其

中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们

是：，，，，

，，．故所求的概率：．

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中

的生产能手（人），

“25周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：

生产能手非生产能手合计

25周岁以上组154560

25周岁以下组152540

合计3070100

所以得：，因为，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的

年龄组有关”．

（20）【2013年福建，文20】（本小题满分12分）如图，在

抛物线的焦点为，准线

与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心为半径作

圆，设圆与准线的

交于不同的两点．

（1）若点的纵坐标为2，求；

（2）若，求圆的半径．

解：（1）抛物线的准线的方程为，由点的纵坐标为2，得点的坐标为

所以点到准线的距离，又．所以．

（2）设，则圆的方程为，即．

由，得，设，，则：，

由，得，所以，解得，此时，

所以圆心的坐标为或从而，，即圆的半径为．

（21）【2013年福建，文21】（本小题满分12分）如图，在

等腰直角三角形中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；

（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积

最小？

并求出面积的最小值．

解：（1）在中，，，，由余弦定理得，

，得，解得或．

（2）设，，在中，由正弦定理得，，

同理，故

因为，，所以当时，的最大值为1，此时

的面积取到最小值．即时，的面积的最小值为．

（22）【2013年福建，文22】（本题满分14分）已知函数（，为自然对数

的底数）．

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）求函数的极值；

（3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．

解：（1）由，得．又曲线在点处的切线平行于轴，

得，即，解得．

（2），

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．

②当时，令，得，．，；，．

所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，

且极小值为，无极大值．

综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大

值．

（3）解法一：

当时，，令，则直线：与曲线

没有公共点，等价于方程在上没有实数解．假设，此时，

，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少

有

一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．又时，，知方程

在上没有实数解．所以的最大值为1．

解法二：

当时，．直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上

没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解．

①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．

②当时，方程（*）化为．令，则有．令，得，

当变化时，的变化情况如下表：

当时，，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为．

所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．

综上，得的最大值为1．